希望的観測日記 ブログ枝部
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20080511~
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
ja
2024-02-11T17:19:45+09:00
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はじめまして
いらっしゃいませこんにちは、期待値観測するには確率の問題に超絶疎い、量子きのこです
好奇心はあるのにメンタル不足でソレ系の職業に就けなかったので
何か出来ないかと思ったわけじゃないですが
結果的に物理や数学とかの面白さを伝えられたらいいなー
なブログになりました。
このブログをきっかけに、一...
いらっしゃいませこんにちは、期待値観測するには確率の問題に超絶疎い、量子きのこです
好奇心はあるのにメンタル不足でソレ系の職業に就けなかったので
何か出来ないかと思ったわけじゃないですが
結果的に物理や数学とかの面白さを伝えられたらいいなー
なブログになりました。
このブログをきっかけに、一人でも多くの人が楽しんで物理や数学を学んでくれるとサイワイです。ヽ゚ー゚ノ
サイエンスファンタジーなアニメの感想も書きます。
あまり伝わらないようなことを毎日ぼちぼちやっています。
伝わらない・人を選ぶ内容なので、ついカッとなって今は公開しています。
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2038-01-01T00:00:03+09:00
量子きのこ
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調和振動子の昇降演算子
量子力学の本を返したのでこのチャンスを活かして、調和振動子のほうの昇降演算子の、
空で書けるようになった部分を書きます。
まず、調和振動子ポテンシャルのハミルトニアンを無次元化します。
ハミルトニアンの次元はエネルギーなので、
同じくエネルギーの次元を持つ
の2倍でハミルトニアン
...
空で書けるようになった部分を書きます。
まず、調和振動子ポテンシャルのハミルトニアンを無次元化します。
ハミルトニアンの次元はエネルギーなので、
同じくエネルギーの次元を持つ
の2倍でハミルトニアン
を割ります。
hにバーがついたのはプランク定数を2πで割ったディラック定数
kはばね定数、mは質量、xは位置、pは運動量、ωは角振動数で
の関係があるので、無次元化したハミルトニアンは以下のようになります。
そしてこれをガウス素数っぽく半分に因数分解します。
この片方、どっちか忘れましたがプラスがついたほうをaと置くと
マイナスがついたほうはaの複素共役(というかたぶんエルミート共役)a†と書くことができます。
†をどっちのaにつける慣習かは忘れましたが
運動量pにプラスiがついたほうを下降演算子、マイナスiがついたほうを上昇演算子と呼び
波動関数に上昇演算子を左からかけると、量子数1個分だけ固有値がアップした波動関数を
波動関数に下降演算子を左からかけると、量子数1個分だけ固有値がダウンした波動関数を
算出することができます。
ではこの芋づるの端っこはといいますと
一番下の波動関数に下降演算子をかけると恒等的にゼロになることが知られているため、それを利用して微分方程式を解くことで算出できます。
つまり具体的にやってみますと
物理量xとpを微分演算子にして
このように解くことができます。(Cは任意の定数です)]]>
量子力学
2024-02-11T17:19:45+09:00
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粘性抵抗、慣性抵抗、落下運動、両方、運動方程式4
前回までは、粘性抵抗と慣性抵抗両方が加わった落下運動の運動方程式の解について
粘性抵抗と慣性抵抗片方ずつに係数を制限して、元々どちらかしか考慮していない運動方程式の解と同じになるかを検証していた。また、それぞれの終端速度についても議論していた。
今回はいよいよ、粘性抵抗と慣性抵抗両方を含んだ状態...
粘性抵抗と慣性抵抗片方ずつに係数を制限して、元々どちらかしか考慮していない運動方程式の解と同じになるかを検証していた。また、それぞれの終端速度についても議論していた。
今回はいよいよ、粘性抵抗と慣性抵抗両方を含んだ状態の終端速度について考えてみる。
微分方程式の解は以下のようになるのだったが
このとき、時間t→∞の極限で終端速度vはどうなるだろうか。
cothの中身が大きくなると1に収束するので
分母分子に をかけて
これは、元の微分方程式である
mv'=mg-c1v-c2v^2の加速度(力)v'をv'=0としてvについて解いた2次方程式の解そのものである。
そのうえ、数回前に としたDがまさに判別式であったこともわかるだろう。
また、すべての変数、関数、パラメータが正の実数と仮定すると
2次方程式の判別式Dのルートは必ず正の実数であり
Dのルート√(c1^2+4mgc2)は必ずc1より大きいため、v=-c1-√(c1^2+4mgc2)/(2c2)の解はありえないこともわかる。]]>
物理
2023-05-30T16:48:11+09:00
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粘性抵抗、慣性抵抗、落下運動、両方、運動方程式3
前回はc1≠0、c2=0の条件で解いたが、今度は逆にc1=0、c2≠0の条件で解いてみよう。
となるが、元の運動方程式
 
も解いてみると
 
部分分数分解を用いて
 
(A1+A2)v=0
からA1=-A2
 
&nbs...
となるが、元の運動方程式
も解いてみると
部分分数分解を用いて
(A1+A2)v=0
からA1=-A2
初期条件t=0でv=0を与えるとG2=-1となって
ここで、式を整理してvの式にする
両辺にv+√(mg/c2)をかけると
ここで、右辺の分母分子にをかけると
これは双曲線関数ハイパボリックタンジェントなので
を得、見事に両者は一致する。
また、終端速度については
t→∞でv=√(mg/c2)になるが、
これについても元の運動方程式
mv'=mg-c2v^2のv'=0の条件で解くことで、単なる代数方程式として
終端速度v=√(mg/c2)を簡単に得ることができる。]]>
物理
2023-05-28T11:48:02+09:00
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粘性抵抗、慣性抵抗、落下運動、両方、運動方程式2
前回、粘性抵抗と慣性抵抗両方を受ける落下運動について運動方程式を解いた。
以下のような結果になったが
 
G=m/c2、B=c1/c2、A=mg/c2
このようにB,A,G,Dを定義したことを踏まえて、元の格好に戻すと
 
このような姿になる。
ここで、c1やc2...
前回、粘性抵抗と慣性抵抗両方を受ける落下運動について運動方程式を解いた。
以下のような結果になったが
G=m/c2、B=c1/c2、A=mg/c2
このようにB,A,G,Dを定義したことを踏まえて、元の格好に戻すと
このような姿になる。
ここで、c1やc2をそれぞれゼロとしたとき、
元の微分方程式の解と一致しているかどうかを確かめてみよう。
c1≠0、c2=0の場合は
となり、
運動方程式
の解と一致しているはずだ。
早速解いてみると
初期条件としてt=0でv=0を与えると任意の定数G2=-mg/c1となるので
一方、 こちらはcothの中身を展開し
大きい分母の分母分子にexp(+)-exp(-)をかけると
となって見事一致する。
ちなみに、終端速度もちゃんと一致していることを確かめておこう。
t→∞でのvはv→mg/c1に収束するが
これは実は、元の運動方程式
mv'=mg-c1vのv'=0の条件で解けば、微分方程式ではなくただの代数方程式として
0=mg-c1v
c1v=mg
v=mg/c1
と、簡単に解けてしまう。]]>
物理
2023-05-28T11:14:33+09:00
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粘性抵抗、慣性抵抗、落下運動、両方、運動方程式
質量をm、重力加速度をg、速度v、時間t
速度の1乗に比例する空気抵抗の係数をc1、速度の2乗に比例する空気抵抗の係数をc2とすると
運動方程式は以下のように書ける。
速度は高さy方向の下向きをプラスに定義する。
 
ここで、v^2の係数を1にしたいので、両辺を-c2で割ると
&n...
速度の1乗に比例する空気抵抗の係数をc1、速度の2乗に比例する空気抵抗の係数をc2とすると
運動方程式は以下のように書ける。
速度は高さy方向の下向きをプラスに定義する。
ここで、v^2の係数を1にしたいので、両辺を-c2で割ると
ここで、式の簡単化のためG=m/c2、B=c1/c2、A=mg/c2とすると
dvの分母に右辺を持ってくると以下のようになる。
両辺を積分してvの式にすると、速度vについての運動が解けるのだが、vの2乗が邪魔でうまく積分できないので、部分分数分解を用いる。
という恒等式を作り、A1、A2、Dがいくつになるのか定めることにする。
まず、 になるようにDを定めたい。
なので、 であることがわかる。なぜいきなりDという文字を仮定したのかはあとでわかるが、これは2次方程式の判別式Dの意味である。
次にA1とA2を定める。
という恒等式からA1とA2を定めたいので
v(A1+A2)=0
からA1=-A2が導かれるので
B/2(A1+A2)もゼロである。
D(A1-A2)=1にA1=-A2を大入して、
を得る。
そうすると元の微分方程式は
なので積分ができ
となる。G2は任意の積分定数。
対数同士の引き算は対数の中の割り算として引っ込めることができるため
両辺に2Dを掛け算して
(ここでG2はまだ任意の定数なので、2DG2を新たなG2として上書きする)
両辺の指数をとって
(ここでもexp(G2)を新たなG2として上書きしている)
左辺の分母分子に2を掛け算してやると
初期条件
t=0でv=0を与えて任意の定数G2を定める。
微分方程式の解は
となる。
これをvの式に直す。
両辺に(B+2D)と(2v+B+2D)を掛け算する。
展開すると
全部左辺に移行し、vを含むか含まないかで整理すると
ここで1/(2v)の式に着目してみることにする。
第1項は約分できるので
問題は第2項だが
の分母分子にexp(x)を掛け算すると
となって、これは双曲線関数ハイパボリックタンジェントtanhの逆数ハイパボリックコタンジェントcothであることがわかる。
ここでようやく2vの式に戻すと
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物理
2023-05-27T11:39:32+09:00
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トンネル障壁にパルス波をぶち込む
]]>
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2022-08-04T10:21:47+09:00
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Excelでマイクラ風フルル
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数学
2021-10-24T19:00:11+09:00
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2次元井戸型ポテンシャル。解析解につきこのような形のポテンシャルに
]]>
量子力学~井戸型ポテンシャル~
2021-06-08T14:39:56+09:00
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4次元空間+1次元時間状態図の熱力学「カルノーサイクル」
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物理
2021-05-22T17:21:16+09:00
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