特殊ユニタリSU(4)と4次方程式の4つの実数解

特殊ユニタリ群というのがあってですね、special unitaryの略でSUとよく呼ぶのですが
これは一般にn次の行列のことでして、SU(n)と表記します。


ユニタリ行列は複素行列なのですが、行列式の絶対値を取ると1になるものを言います。
そのうち特殊ユニタリは絶対値を取ることなく行列式そのものが1になるものを言います。


これは数、スカラーでいうところのexp(iθ)　(θは実数)に相当していまして
ユニタリ行列はよく、長さを変えずに向きだけを変える、拡張された回転を意味するといわれます。


具体的には行列の対角化の際に出てくる固有ベクトルを連ねた、随伴行列がユニタリの形をしているのですが、特殊ユニタリであるとは限らないため、特殊ユニタリを作る生成子というものが存在します。


exp(iθ)のθに相当するもので
θが実数なのと同様に、この生成子はエルミート行列です。

実数とエルミート行列、純虚数と歪エルミート行列、長さが1の単位円を描く複素数がユニタリ行列、複素共役がエルミート共役に相当していて

エルミート共役は転置して複素共役を取る変換を意味するので
生成子に虚数単位iを掛け算して行列指数関数に入れると、特殊ユニタリ群が生成できます。


また、エルミート行列の固有値は必ず実数になります。

2次の生成子はパウリ行列、3次の生成子はゲルマン行列として知られています。

固有値を求める方程式を特性方程式と呼びます。
生成子はnの2乗から1引いた数だけあり、それら生成子の線形結合もまたエルミート行列になります。

n=2のパウリ行列SU(2)なら4-1=3個、3次のゲルマン行列SU(3)なら9-1=8個あります。


ではn=4のSU(n)ならどうなるでしょうか。

生成子は16-1=15個あり、以下のようになります。


これらを線形結合する場合は、15個の任意の実係数を15個の生成子に掛け算し、足し合わせます。


対角成分は実数で、行と列を入れ替えると複素共役になります。
また、生成子s8は√3で、s15は√6でそれぞれ割ります。
トレースはゼロです。
複素数になる部分は実数と純虚数のペアをまとめて1つの数にして簡略化し
手書きする際に煩わしいので大文字のYは小文字yを√3で、Zはzを√6でそれぞれ割ると定義しました。
また、可読性をよくするため、P,Q,R,Sという変数にまとめました。

この線形結合した行列をλと置き、その固有値をrと置くと、以下のようになります。

4次以上はサラスの公式が使えないため、余因子展開を用いて展開しました。


どうも一般に、SU(n)の特性方程式はn-1の項がゼロになるらしく
n-1個の変数をn-1次元と考えた時の距離を規格化して1と定義すると、特性方程式のn-2次の係数がマイナス1になるようです。


SU(4)の場合はこうですね


複素数a～fの絶対値の2乗をA～Fとおくと


となります。


そして以下が特性方程式になります。

すべて実係数となり、平方完成、立方完成のノリの4次版のような変換がすでに施されたような式になります。とてもきれいな式で、各変数の出番に対称性があります。

また、この方程式の解はすべて実数となります。エルミート行列の固有値なので。



4次方程式

の解の公式はフェラーリの公式と呼ばれていて、以下のように書けます


ここで、赤い複合、青い複合同士は同順ですが、赤と青の複合は独立です。
また、
で
AとBはそれぞれ

で定義されます。
定義の異なるrとAとBとCが出てきますが、4次方程式とSU(4)とでいったん分けて考えてください。すみません。