粘性抵抗、慣性抵抗、落下運動、両方、運動方程式4

前回までは、粘性抵抗と慣性抵抗両方が加わった落下運動の運動方程式の解について
粘性抵抗と慣性抵抗片方ずつに係数を制限して、元々どちらかしか考慮していない運動方程式の解と同じになるかを検証していた。また、それぞれの終端速度についても議論していた。


今回はいよいよ、粘性抵抗と慣性抵抗両方を含んだ状態の終端速度について考えてみる。


微分方程式の解は以下のようになるのだったが

    

このとき、時間t→∞の極限で終端速度vはどうなるだろうか。

cothの中身が大きくなると1に収束するので
 

分母分子に をかけて
 

これは、元の微分方程式である
mv'=mg-c1v-c2v^2の加速度(力)v'をv'=0としてvについて解いた2次方程式の解そのものである。
そのうえ、数回前に としたDがまさに判別式であったこともわかるだろう。

また、すべての変数、関数、パラメータが正の実数と仮定すると

2次方程式の判別式Dのルートは必ず正の実数であり
Dのルート√(c1^2+4mgc2)は必ずc1より大きいため、v=-c1-√(c1^2+4mgc2)/(2c2)の解はありえないこともわかる。