位置の演算子行列(行列力学)

大学図書館で本を借りて、AIやwikiも頼りつつ、量子力学の行列力学を勉強してみている。
とりあえず調和振動子について考えてみた。

固有状態が3つだと、位置の演算子はシンプルには以下のように書けるらしい。


ちなみに5状態だと以下のように書け、対角成分から少しずれた非対角成分に√nという形で次々値が入るらしい



3状態の固有値は0と±√3の3つである。
波動力学における波動関数のピークの位置とはなぜか少しズレるのが気になっている。
2状態まではズレないのだけど、3状態からなぜかずれ始める


そこで本を読みながら考えていたのだけど
「状態が全部固有状態だからずれるのではないか？」

と思い

固有状態ではない行と列を増やしてみた。

しかしこれの固有値を求めるとやっぱり0と±√3で、波動力学と食い違って見えるのだった。

ただ、それはそれとして、この行列の固有値は0が3つ重複している。
なんかこう「エルミート行列は信頼できる」みたいなのを信じて
ウルフラムαで解いてみたところ
固有ベクトルはちゃんと5つ求められることがわかった。

固有値が重解を持つさい、固有ベクトルの求め方は確か3通りくらいあると記憶している。

俺はその辺をいまいちわかってないんだが、なんとなく「エルミート行列を信じる」ことにして正解だった。

物理としては役立ってはいないが、どうもこのエルミート行列というもの、
線形代数の問題としては結構使えるのかもしれない。

随伴行列をユニタリに規格化してやったものUが

のようにあらわされ、
逆行列がエルミート共役そのものなので、以下のようになり

ちゃんと対角化されて対角成分に各固有値が表れている。



また、これは3行3列の

これと物理的な意味は変わらない

しかしながら、俺はまだまだ行列力学を習いたてで、なぜ固有値ごとに固有ベクトルがある、というのの「物理的な」意味などがよく理解できていない。
固有状態同士を重ね合わせると何かになるのだろうか？？

固有状態が3つなら3つで変わらないのだから、同じエネルギー準位の話だと思うし
同じエネルギー準位同士での線形結合など波動力学にはない概念のように思うのだけど…



あと、行列力学は抽象的なのはいいが、シンプルな例でもせめて本には具体例がほしいと思った。
著者は鍛えているつもりなのか知らないが、具体例の有無で初めて学ぶ人への敷居がずいぶんと変わるように思える。
具体例を載せることで学生が怠けてしまうことを懸念するデメリットよりも、
具体例を載せることで学生の理解を助けるメリットのほうがずっと大きいのではないかと思う