備忘録：ペンローズ図について

これはシュバルツシルトブラックホールにおけるペンローズダイヤグラムらしいです。
ほかのブラックホールではそれぞれ少しずつ図が違うみたいです。

右側の青いひし形の中身を我々の宇宙全体とすると、左側の緑色のひし形はもう1つの宇宙全体です。

白い領域はホワイトホール、白から青や緑へは一方通行で、白に戻ることはできないという意味で
矢印つきの線で描かれています。


同様に、黒い領域はブラックホールの事象の地平面の内部です。

ギザギザはそれぞれ、ホワイトホールと ブラックホールの特異点らしいです。

青の領域の中心、(t,r)=(0,0)が原点(T,R)=(0,0)です。

t,rとT,Rの変換則はt±r=tan(T±R)

(t±r)/2=tan(T±R)という流派もあるみたいですが、式がより綺麗になるほうを選びました。
2で割らないとと、端っこが±πではなく±π/2となります。


t=r=0だったらT=R=0なのはいうまでもないでしょう。っていうかさっき言いましたね。
イマ・ココです。

無限の未来t=∞、ココr=0だったら
t+r=tan(T+R)
から
t-r=tan(T-R)
を引いた
2r=0=tan(T+R)-tan(T-R)なので
tan(T+R)=∞
tan(T-R)=∞

ということは

T+R=T-R=π/2つまりT=π/2、R=0となります。

これが無限の過去t=-∞、ココr=0だったら同様に、T=-π/2、R=0となります。



イマt=0、無限右r=∞だったら
t+r=tan(T+R)
と
t-r=tan(T-R)
を足した
2t=0=tan(T+R)+tan(T-R)なので
tan(T+R)=∞
tan(T-R)=-∞

T+R=π/2
T-R=-π/2

ということで、T=0、R=π/2

同様に、イマt=0、無限左r=-∞だったらT=0、R=-π/2となります。



上下左右の点が求まったので、四辺の様子も見てみましょう。


右上にある右肩下がりの線の式は
T=-R+π/2なので、移行して

T+R=π/2となります。

T+R=atan(t+r)なので

atan(t+r)=π/2ということは

t+r=∞ということになります。



右下にある左肩上がりの線の式は
T=R-π/2なので、移行して

T-R=atan(t-r)=-π/2なので
t-r=-∞です。


左下にある右肩上がりの線は
T=-R-π/2なので、移行して
T+R=atan(t+r)=-π/2なので
t+r=-∞


左上にある右肩上がりの線は
T=R+π/2なので、移行して
T-R=atan(t-r)=π/2なので
t-r=∞


となります。


ブラックホール、ホワイトホール内部と特異点に関しては、もう少し経ったら計算してみたいです。



とりあえず、これで借りてた本を返却する準備ができました。

カー解、ライスナーノルドシュトルム解、カーニューマン解についても解いてみたいですねえ。
もう少し将来かなあ、(一般)相対論自体あまりよくわかってないからなあ

特殊相対論と、時空と空間同士の回転

重力や加速度が絡む一般相対論ではどうなるかよくわからないが

少なくとも特殊相対論の、慣性系同士の間では

相手の物体は「縮む」のではなく「回転」して「見える」らしい。
実際には縮んでしかいないのだが、相手の物体から発せられる光の到着時刻の影響で
たとえば車だったら後ろのナンバープレートが見えるように回転して見えるらしい。

だから、たとえば相手の物体が真球体だったら「真球体そのまんま」に映る。

ところで、ローレンツ変換を行列で表すと、双曲線関数が混ざるのだが、
これは、四次元時空内の時間軸だけが空間とちょっと異質なために、
ピタゴラスの定理にマイナスが入る

ds^2=x^2+y^2+z^2-(ct)^2=x^2+y^2+z^2+(ict)^2

つまり、wという4つ目の次元はw=ct(cは光速、tは時間)ではなくw=ictと、実数ではなく純虚数で定義すれば、回転行列の三角関数が双曲線関数になってちょうどよいことからきている。


このことは、4次元版ロドリゲスの回転公式を導出する上で何かヒントになりえないだろうか？


回転変数が6つも混じった4次の行列なので、行列指数関数どころか、行列のべき乗すら手が回らない状態であるorzだーれかーたーすーけーてーふんふんふーん

一体何回掛け算すれば一周して元に戻ってくれるのだろう・・・とりあえずウルフラムアルファにぶち込んでみようかな・・・


6変数A,B,C,D,E,Fの関係がA^2+B^2+C^2+D^2+E^2+F^2=1の規格化関係だけだと足りないと思う。


噂で耳にした「任意回転軸が2本必要」ってところに活路を見出したいんだが、わけわからなすぎる


ところで、「慣性系同士の相手の回転」という予想は
相手の回転度合いを一意的に決定しているね。

回転のトルクベクトルTは、進行方向L1に垂直、観測者と観測対象を結ぶ線L2にも垂直

そして右ネジの関係を使うとT=L2×L1というベクトル積で決定できる。トルクTの角度の大きさはまた別の議論になるが。


右から左に向かって見える観測者を手前から奥に向かって見るとき
回転のトルクベクトルは(×)×←=↓で下向きになるわけだ。


逆にいうと、見た感じ上下方向には何も変化していないともいえる。なるほど、そこに不変なものが1つあるのか。うーん



というかこの現象の名前がほしい。ノスタルジアドライブ・・・！という名前ではないが。

二重訂正。やっぱり2次行列ペアに分離できました

なにいってんすかね自分。

ｚ方向に進行する平面波のこの行列方程式、2次行列のペアに分離できるじゃないですか。
僕の目はフシアナですか。
1,3と2,4に分けるんすよ！何考えてたんすか！

2次同士に分離可能ならジョルダンなんて必要ないじゃないですか(少なくともz方向に関しては)

ちゃんとどっちの2元連立方程式とも固有値がE^2=(pc)^2-(mc^2)^2のクラインゴルドン(拡張)になってくれるし。

魔改造タキオン用ディラック方程式の固有値

とりあえず昨日の、改造したディラック方程式の、z方向に進んでる平面波、
こいつがなんとなく解きやすそうだったので固有値を求めておきました。



なんでしょうね、4次行列だから解が3つ以上あるのは当たり前なんですが
クラインゴルドンのタキオン版が重解になってるのと、E=0の重解はなんだろう？
粒子反粒子が地続きなのと関係でもあるんでしょうか
というか次元おかしくない？エネルギーの次元4つ分だと思ったんだけど？


間違えました。固有値はこうでした。E=0なんかありませんでした＞＜

ところで、2重解ペアということは、固有ベクトルを求める際にジョルダン標準形の知識がいるってことじゃないですか・・・

ジョルダン標準形・・・本気で習い始めてからまだ日が浅いんだよなぁ
それに行列について勘違いしてることが多すぎると判明しまくりな最近ｪ・・・

とりあえず3次元＋ダミー1次元のアフィン変換のべき乗を例に対応してみよう

ディラック方程式をタキオン用に改造してみるテスト

昨日の日記で、
「ターディオンとルクソン用のディラック方程式を眺めていたら
平面波における固有値・固有ベクトルを求める際に、意味合いの異なる純虚数が混合してしまいそう」
という問題にぶち当たった気がした。


そこで、ディラックの方法を真似て、タキオン用にディラック方程式を改造してみてはどうか？
と、消灯してから気づいてメモした。

スカラーのエネルギーとベクトルで3要素ある運動量を入れ替えるのは無理があると判断し
ディラック行列の一部を書き替えればいいんじゃないかと思った。


αx、αy、αzは変更せずに、βだけちょっと変える。

それで、クラインゴルドン方程式を
これから
こうするようにしむけたいとすると

3つのαとβの反交換関係{α,β}とα同士の反交換関係{α,α}は変わらずに
βの2乗だけ、1ではなくマイナス1にするとしたら

βだけエルミートではなく歪エルミートにすればいい。
しかし、虚数単位の関わる状態では元通り2種類の虚数単位が混合してしまうので
中身がすべて実数でかつ歪エルミートのβにしなくてはならない

そうすると

この3種類のうち、生き残るのは真ん中の

これだけになると思う。



ただ、これをディラック方程式に採用して平面波の解を求める際、
 
今度は、
連立方程式が2行2列同士のペアに分離してくれず、
4行4列のままの固有値問題になってしまう。
ｘ方向進行
 
ｙ方向進行
 
ｚ方向進行

確かにパウリなやつ以外の余分な虚数単位は消えましたが。

これでいいのだろうか？
これがいいのだろうか？

あ、ｚ方向だけ2次同士のペアに分離できるんですね。ごめんやっぱ分離できてないわ

ディラック方程式にタキオンをぶっ込む方法？

ディラック方程式の平面波の解

この両者どちらか
 複合同順
を永年方程式にするために、エネルギー固有値を求める時点で

クラインゴルドン方程式


に立ち戻るんですが、これをシンプルにタキオンに拡張しようとすると、まず静止質量を純虚数にしたくなるじゃないですか。


こんなふうに。


でも、それを導くためのディラック方程式のありかたが、

こうなってしまうので、どうしたもんかなあと。

これ無理やりやればできるんでしょうか？？
それと、虚数単位の意味合いが微妙に違うみたいで困惑するんですけど。
静止質量の虚数単位はタキオン的なものを純粋にあらわすのに対して
運動量のほうの純虚数って、スピンのパウリ行列で、y軸的な意味合いで役に立ってくるはずだから、なんか違うと思うんですが気のせいなんでしょうか


固有エネルギーをタンジェントと置くやり方が割りとオーソドックスっぽいですけど
タンジェントの中身が複素数になったりって、正直どうなのかなとも思うんですよね。

まあ、できなくはないでしょうけどね。三角関数が部分的に双曲線関数になるだけですし


というか、エネルギー－運動量図(数日前の日記参照)の縦と横が純粋に入れ替わるだけなので
本来ならエネルギーではなく運動量についての双曲線を解きたいんですけど
固有値がそうさせてくれなさそうで困ってます

タンジェントの中身が複素になったら当然、タンジェントそのものも複素でしょうし(たぶんだけど)
固有ベクトルがなんか複雑になりそうだなぁ(憶測)


はぁー、コンサート会場の廊下で途中までやってたんだよなー、複素タンジェント。加法定理使って。やり直すか～。なんか綺麗な感じに収束しそうだったし、もっかいやっても楽しかろう


タキオンのスピンねぇ・・・



あー・・・ターディオン極限の前にタキオン極限をやろうとしてしまった。
そういや今ターディオンって呼ばないんだって？なんでむやみに名前変えんのよ。
それともむやみじゃないの？



そもそも、パウリ行列によるSU(2)がSO(3)の代わりになる流れがナチュラルすぎるんだよ
なんでこうなった？本当に一意的な流れなのこれ？！

タキオンのディラックコーンのようなもの

今日はゴジラを見に行くので、取り急ぎこれだけ。


ディラックコーンともいうかもしれない、エネルギー－運動量図の、二次元運動量verです。
真横から見るとわかりづらいと思いまして、鳥瞰図にしてみました。等角投影法です

オレンジが亜光速粒子ターディオンなので、上が粒子、下が反粒子
青の直線どもが光速粒子ルクソン。粒子と反粒子が同一です。

紫がタキオンです。ルクソン同様、粒子と反粒子が地続きになってます。

ちなみに、エネルギーはE/(mc^2)で規格化
運動量pはp/(mc)で規格化してます。

cは光速、mは固有質量

備忘録：反変・共変ベクトル

今読んでいる本によると、あとでごちゃごちゃするかもしれないが、とりあえずはこういう風に理解しておいていいだろうというもので

反変ベクトルと共変ベクトルの定義はそれぞれ

 
このような微分(座標変換)にしたがうベクトルを反変ベクトル


 
このような微分(座標変換)にしたがうベクトルを共変ベクトル

と定義するらしいです。(ベクトルそのものをdxとか∂/∂●のような微分にしないといけないってこともないみたいです)
右上に添え字なのか右下に添え字なのかについては

分子に’(変換先)がつくものを右上(反変)
分母に’(変換先)がつくものを右下(共変)

と覚えておくといいかもしれません。


どうしてこのような定義が必要なのかについては
座標変換、特に特殊相対論ではミンコフスキー時空などで斜交座標が頻繁に出てくるから、定義しておいたほうが便利

といった感じだと思います。

一般相対論だと斜交に限らず、極座標など？いろんな座標変換が出てくるみたいです。



また、変換規則をA、Bと定義すると、以下のようにAの逆行列＝Bの転置行列
といった具合になるそうです。


相対論には今のところ、主に実数のベクトル・行列やテンソルしか出てこないっぽいので
行列に限ったうえで複素共役を考慮しないとすると、ちょっとユニタリっぽいですね

場と時間空間の物理なう

僕の部屋、机がなくてな。

いや2つあるんですけど1つはPC、もう1つはガラクタ置きになっちゃってるから
テレビ見ながら勉強しようとすると、どうしても床に敷いた布団でやることになるんよ

じゃあ録画データを机がある部屋に移動させればいいじゃん！

ってことを

ダビングしたあとに思い出しました。
同じこと半年くらい前にやりましたね、はい。




やっぱりよくわからない

式を展開してるうちに頭痛がしないのはいいですね
2回分とか通しで勉強できるから、記憶がつながってくれます。
1日空けると勉強してたことも忘れるので、勉強しなくなっちゃうんですよ。
もし大事な用事だったら外部記憶を参照します。０ｗ０＜メモするって大事！


うーん、なんでこう相対論は特殊から一般が急激にわかりづらくなるんだろう

数学的道具の難易度が飛び切り上がるのはもちろんなんですが
その慣れた数学的道具、テンソルに、慣れた人たちが慣れてない人たちの事情を把握できない

いわば慣れの問題「慣れって怖いね」って魔物が棲んでるような気がするんですね。


抽象化しないと計算量が莫大に大きくなるから、具体的な計算例があんまり示せないのも問題かもしれません

今日はテンソルと行列の間をさまよっている感じがしました。
いまいちつながらないんですよ



それと、個人的なことですが
ラグランジアンがよくわかってない！！！
これは量子でも相対でもない古典的なダメージですわ

なんでハミルトニャン で足してたキネティック とホテンサル  を引き算せにゃならんのか！！！
そんなもんだで通すにしても納得がいかん
 
 
カとUNDOの物理を見直せ言うんですね、わかります
全話録画してますからね

あー・・・なんちゅうか、その
その科目が得意になるかどうかって、先生によるところも大きいですよね・・・
要するに要してないんだよ○|￣|＿


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エディントンのイプシロン可視化器

添え字が3つあるので、要素が3×3×3=27個ある3階のテンソルという認識ができます。

 
この27個のうち、ゼロでない要素は6つだけで
プラス1になるもの(ε123、ε231、ε312)を黄色、
マイナス1になるもの(ε321、ε213、ε132)を灰色で書くと、
図のように辺の長さが2の立方体を斜めにぶった切る六角形をしていることがわかります。

 
真正面から見ようとするとほら、上図のように正六角形してるでしょ。









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エディントンのイプシロンとアインシュタインの縮約とベクトル積

放送大学「場と時間空間の物理」でテンソルを教えていたので見ていました。


ベクトル積ってのがどうもエディントンのイプシロンを使って高階にも拡張可能なようで
まあ高階に行くにしたがって必然的にイメージしづらくなるのでイメージに頼らないで進めていったほうがいいんだとは思うんですが

でもまあせめて0階から3階までのテンソルはイメージしてみてもいいよねって感じで。


最初は右手系やら右ねじやらそんな感じで、行列みたいに中身を演算する順番に偏りが生じるんだろうなと信じて疑わなかったんですが
どうもそうでもないのかもしれません。

3次元のベクトルaとベクトルbとのベクトル積は

i,j,kを1～3の整数として
(a×b)i=εijk・aj・bk

という風にかけるんだそうです。

ここで、εはエディントンのイプシロンとよばれるもので
3つの添え字が順方向(ijk=123、231、312)だったらプラス
逆方向(ijk=321、213、132)だったらマイナスの値をとり
それ以外は全部ゼロとし

添え字が重複した変数は和をとる
という「アインシュタインの縮約記法」を用いることとします。

つまり、具体的にx軸方向だけ例にあげますと

(a×b)1=ε1ij・aj・bk

=ε111・a1・b1+ε112・a1・b2+ε113・a1・b3
+ε121・a2・b1+ε122・a2・b2+ε123・a2・b3
+ε131・a3・b1+ε132・a3・b2+ε133・a3・b3

=0・a1・b1+0・a1・b2+0・a1・b3
+0・a1・b1+0・a2・b2+1・a2・b3
+0・a3・b1-1・a3・b2+0・a3・b3

=a2・b3-a3・b2(=aybz-azby)

となるわけです。ほらベクトル積じゃん？


このエディントンのイプシロンが3階のテンソルなのをいいことに
ちょっとテンソルの掛け算をイメージしてみようかなと思ったのが以下の図です。


 

図のイメージとしましては
abの赤い面が青い物体εに近づいて行って、εに3回作用して結果棒の中身3つを決定する感じでしょうか。
このとき、面の中身は要素ごとに掛け算されて、全部和がとられて面ごとに1つの要素になります。

このへんが行列と全然違うんですよ。
正直まだ戸惑ってます。

と同時に、アインシュタインが「生涯最大のなんちゃら」と称賛したのまんざら過大評価ではないなと思いました。

シュタインズ3大大げさってありますよね(大が2個ついちゃってますけどね)

・数学最大の発見(縮約記法)
・人生最大の誤算(宇宙項)
・人生最大の発見(特殊と？一般 相対性原理)
・宇宙最強のパワー(利率)



エディントンのイプシロン(3F)の中身にも早々に手を出したい・・・
あの傾いた六角形、やっぱり自分で表現したいぜよぅ










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アイツはんぺんだったのか・・・！

反変ベクトルをずっと「はんへん」と読んでいました。






知り合いのlGBTが実はトランスフォーマーだったとか、実は百合ポーラだったとか
「鳳ノブナガンの定理」の鳳ってのが敬称ではなく苗字で本名だったとか
ちょっとショックなことはわりとよくありますね

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これが4次元ジャンケンだ！！！

放送大学「場と時間空間の物理」第10話、面白かった！

特に、4本のマックスウェル方程式が半分、四半分になって1本に収束していくくだりは感動しました！

といっても一度やったはずなんですけどね・・・ネットだか本だかで。
やっぱり受動的に情報が受けられる授業はありがたいです。
今年開講したこの講義は、もしかして俺得のために察してくれたのではないかと思うくらい。



まだテンソルの扱いには慣れていませんが
以前「物理では用無し」と言い放った3階のテンソルをすでに僕が知っていたことには驚きました。

エディントンのイプシロン、あいつ3階だってよ！
添え字が3つあるんだから当たり前じゃねーか・・・orz



そして目の前でいともたやすく行われる、4階への拡張・・・
レビチビタ記号がエディントンのイプシロンの拡張だったなんて・・・
まったく気が付かなかった。お前だったのか。
 添え字が1回交換するたびに符号が反転するというルールです。
1つでも重複したらゼロになります。
添え字が3つのときから実は同じルールだったのですが、「順方向だと1、逆方向だと-1、それ以外だと0」という観念がついてしまうとなかなか離れられないものですね。

添え字4つの場合、ぐるっと一周するかどうかとかいう概念は通用しないのかな？
  
  
そんなわけで、具体的に表にしてみました。

 
このジャンケンあいこ多すぎ・・・
そんなあなたのために、あいこ省略バージョンはこちら！
 


よく考えたら4人でしか対戦できないジャンケンっておかしいですよね
しかも4人全員が勝つか負けるかあいこってそれ誰と戦ってんすかね
もはやジャンケンというものじゃないですよね。
なにか別の・・・電車ごっこ？


僕ジャンケンとかパヌリスとかあんま慣れてないんでよくわからんのですわ。






ふと気になったんですが、相対論効果がないと霧箱もちゃんと動作しなかったんでしょうか・・・できるはずの飛行機雲がこんなにマクロに太くなかった、とか？
そんな話は初耳ですが、まあ物理法則でifを考えても仕方ないのでよくわかりません

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追記：
０　　１

３　　２

4階のレビチビタは、添え字の0、1、2、3を図のように配置したとき、
ヌ型、Ｎ型、コ型の順番だとプラス、
α型、Ｚ型、Ｕ型タイプだとマイナスに分類されるようです
だからなんなんだって言われるといまいちわからないんですが。
 

ブラックホール界隈の景色

なんかこのローレンツ変換ニキを見てるとですね

いともたやすくExcelでもゆがんだ時空を2Dグラフでワイヤーフレーム表現できるんじゃないかって錯覚してしまうんですよ。




冗談はこの辺にしてですね
ブラックホール界隈で重力レンズ効果が発生した場合の3DCGって時々見かけるじゃないですか
ミクさんの拡張ダンスでなんとかならないかなぁ


ブラックホールにスイングバイされるという仮定のもとで数値計算した結果を表示してくれてるサイトもあるようでして。


ただ、以前から気になっている動画がありましてね
ブラックホールの「内側」を表現してくれてる動画があるんです。


しかしこれがまた英語なんですよ～


でも現代って音声認識が発達してるじゃないですか。
なんとか文字に起こして、機械的に翻訳して、有機的に意味が表現がつながるところまでやりたいなーって思うんですよね。


そんな感じで、肥やしになりかけてた窓８PCを使い始めましたきのこですこんにちは。


オーディオ界隈のインターフェイスが全然違ってわけわかめ。＞＜

変にいじって最初から状況を悪化させるような気がしたので
ネットの中途リアルを頼らせていただきました。

今は疲れてほとんど何も手につかない状況ですが
どうも、神がかった音声編集に定評のあるあのソフト、audacityさまが役にたってくれるようです。


窓８にはまだほとんどツール入れてないんですよね～
なるべく最近の、とりわけ窓８さんに合いそうなツールを優先して入れてみたいと思っていまして

最初に導入したのがあぽんぐをgifに変換する実行ファイルでしたｗ

実行ファイルで窓８未対応ってどんな現象が起きるんでしょうね。
スルーして徐々に蝕まれるのは勘弁ですよまじでｗｗｗ



しかしそれにしても、
窓８のアプリ一覧みたいなあの画面
てっきりスマホ用画面かなにかだと思っていましたが

もしかしてXPでいうところのスタート→プログラム
を1次元配列から2次元配列にしただけなんでしょうか


なんだろうそんなに厄介じゃないような気がしてきましたよ。

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ところで、日本社会人に英語が必須って、
通り過ぎちゃった気がしませんか
今の時代、むしろ「実現した翻訳蒟蒻を使いこなす」技術のほうが大事なんじゃないかと思ったりしないでもないです

ローレンツ変換はユニタリ行列ではない←結論

昨日の日記の続きなんですけどね

結論から言いますと、「ローレンツ変換はユニタリ行列ではありませんでした」
ごめんなさい

ユニタリ行列Uの定義が僕の中であいまいだったんですね。

||U||=abs(det(U))=1(行列式の絶対値)ならユニタリだと思ってたんです。

でも違いまして
U†U=E
(ただし†はエルミート共役、Eは単位行列の意)

が本当の定義だったんでした。性質その1と定義をごちゃ混ぜにしてはいけませんね

試しに2行2列のローレンツ変換(xとtしか眼中にない)
でやってみますと、ローレンツさんは実対称行列なのでエルミート共役をとっても変わらず

 
ほら、単位行列にならないからユニタリじゃないでしょ。


だから昨日の、
 
コレ↑のθは複素数にも純虚数にも拡張する必要なんてなかったんですよ。




＝＝＝＝＝＝＝＝
まあそれはさておきですよ
2行2列のユニタリ行列を作る生成子
俗にパウリ行列と呼ばれるものの1つ
 
コイツを軸として固有値・固有ベクトルをとり、対角化して指数関数の中にぶち込んでやりますと
 
回転行列ができあがるわけですが(詳しくはブログ内検索)

パウリ行列の次男
 
コイツを軸とした指数関数は
 
こんな感じに、回転行列に似てるけどちょっと違う行列になるわけです。


こいつのaがもし実数ではなく純虚数だったらと思うと・・・ううっ・・・
たとえばa=ia1などとしてみましょうか

 

三角関数だったのがいつの間にか双曲線関数になって
これすなわちローレンツ変換じゃないすか！


ユニタリとは別に、||A||=1になる行列Aの体質にも名前があったらいいなー
と思うのです。

この性質はユニタリを部分集合にしたような感じのユルい縛りで
生成子に掛け算する角度のようなものθは実数か純虚数。（※複素数とは言ってない）
つまりθはどちらかの軸に必ず接していなければならず
これは同時に、行列Aの固有値が、単位円あるいは(正の？)実数どちらか(XOR)であることを意味するわけです


ちょっと興味深くないっすか！ないっすか！


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