特殊ユニタリSU(4)と4次方程式の4つの実数解

特殊ユニタリ群というのがあってですね、special unitaryの略でSUとよく呼ぶのですが
これは一般にn次の行列のことでして、SU(n)と表記します。


ユニタリ行列は複素行列なのですが、行列式の絶対値を取ると1になるものを言います。
そのうち特殊ユニタリは絶対値を取ることなく行列式そのものが1になるものを言います。


これは数、スカラーでいうところのexp(iθ)　(θは実数)に相当していまして
ユニタリ行列はよく、長さを変えずに向きだけを変える、拡張された回転を意味するといわれます。


具体的には行列の対角化の際に出てくる固有ベクトルを連ねた、随伴行列がユニタリの形をしているのですが、特殊ユニタリであるとは限らないため、特殊ユニタリを作る生成子というものが存在します。


exp(iθ)のθに相当するもので
θが実数なのと同様に、この生成子はエルミート行列です。

実数とエルミート行列、純虚数と歪エルミート行列、長さが1の単位円を描く複素数がユニタリ行列、複素共役がエルミート共役に相当していて

エルミート共役は転置して複素共役を取る変換を意味するので
生成子に虚数単位iを掛け算して行列指数関数に入れると、特殊ユニタリ群が生成できます。


また、エルミート行列の固有値は必ず実数になります。

2次の生成子はパウリ行列、3次の生成子はゲルマン行列として知られています。

固有値を求める方程式を特性方程式と呼びます。
生成子はnの2乗から1引いた数だけあり、それら生成子の線形結合もまたエルミート行列になります。

n=2のパウリ行列SU(2)なら4-1=3個、3次のゲルマン行列SU(3)なら9-1=8個あります。


ではn=4のSU(n)ならどうなるでしょうか。

生成子は16-1=15個あり、以下のようになります。


これらを線形結合する場合は、15個の任意の実係数を15個の生成子に掛け算し、足し合わせます。


対角成分は実数で、行と列を入れ替えると複素共役になります。
また、生成子s8は√3で、s15は√6でそれぞれ割ります。
トレースはゼロです。
複素数になる部分は実数と純虚数のペアをまとめて1つの数にして簡略化し
手書きする際に煩わしいので大文字のYは小文字yを√3で、Zはzを√6でそれぞれ割ると定義しました。
また、可読性をよくするため、P,Q,R,Sという変数にまとめました。

この線形結合した行列をλと置き、その固有値をrと置くと、以下のようになります。

4次以上はサラスの公式が使えないため、余因子展開を用いて展開しました。


どうも一般に、SU(n)の特性方程式はn-1の項がゼロになるらしく
n-1個の変数をn-1次元と考えた時の距離を規格化して1と定義すると、特性方程式のn-2次の係数がマイナス1になるようです。


SU(4)の場合はこうですね


複素数a～fの絶対値の2乗をA～Fとおくと


となります。


そして以下が特性方程式になります。

すべて実係数となり、平方完成、立方完成のノリの4次版のような変換がすでに施されたような式になります。とてもきれいな式で、各変数の出番に対称性があります。

また、この方程式の解はすべて実数となります。エルミート行列の固有値なので。



4次方程式

の解の公式はフェラーリの公式と呼ばれていて、以下のように書けます


ここで、赤い複合、青い複合同士は同順ですが、赤と青の複合は独立です。
また、
で
AとBはそれぞれ

で定義されます。
定義の異なるrとAとBとCが出てきますが、4次方程式とSU(4)とでいったん分けて考えてください。すみません。

３次元スピンの向きを、１軸ごとにいっぺんに表す

 
x方向、y方向、z方向それぞれのプラス、マイナスのスピンをいっぺんに表示する
つまり列ベクトルを並べると

なるほどこれは、それぞれのパウリ行列を対角化したいときに出てくる固有値問題

AP=λPの

規格化した固有ベクトルPそのものだ。

たとえばx方向のパウリ行列sxを対角化させたいときの規格化した固有ベクトルPは
x方向のプラスとマイナスそれぞれのスピンの状態列ベクトルを、行に２つ並べたものに等しい。

つまりこの状態ベクトルを重ねて行列表示したものは
ユニタリ行列であって、この逆行列invPはエルミート共役P†そのものである。
invP=P†

(ただし特殊ユニタリではないため、Pの行列式は1とは限らず、
Pの行列式の絶対値(ノルム)が1であるにすぎない)


これは暗記するのにとても適している。

二周してはじめて元に戻るフェルミオン

どうもこういうことのようだ。


σiのiが1でも2でも3でも、つまりどの向きに360度回しても、マイナスの単位行列になる。
720度回して初めて、プラスの単位行列に戻る。

スピン１／２のフェルミオン(スピノール)の性質というのは、どうもこういうことらしい

なんかいけるっぽい

ロドリゲスの回転公式にぶち込んでみて遊んでたんだけど



なんかこれで


これいけるっぽい気がしてきた

6次行列ともなるとロドリゲス使えないから、テイラー展開したほうが早いっぽい
あとは符号だな。4次・・・いや奇数だから、5次行列でどう符号配置したらいいか考えるか。
4次を飛ばすのは忍びないけどなぁ

4次でやるとしたら、無理やり特殊ユニタリにするために、行列の要素のどこかの符号を反転させる必要があるかもしれない

scilabで特殊ユニタリのお勉強

 
8つのゲルマン行列σ1～σ8と任意の8つの実数s1～s8(ただし8つの2乗和は1)について

8つの生成子の線形結合A=s1σ1+s2σ2+s3σ3+s4σ4+s5σ5+s6σ6+s7σ7+s8σ8
exp(iA)が3次の特殊ユニタリSU(3)。


生成子の固有ベクトルを出す過程で、ただのユニタリU(3)も現れる。
生成子Aの固有値と固有ベクトルは行列指数関数で特殊ユニタリを解析的に求める際に必要不可欠。


4次でやると何か途中で間違えるので、3次で我慢した。


固有値をゆらして多項式をなぞったり、その多項式自体のパラメータをゆらしたりなんてことはまだscilabではできていませんTдT

っていうか歳明けてscilabの本借りなおしたばっかりなんです＞＜


「変数」ってやつの意味とか、グラフへのプロットとか、ちょっと何言ってるかよくわかんないですorz


これまでの記述をきれいなまま保存したり、データを出したり入れたりしたいです
っていうかまだforが出てこなくて、伏線として出てるだけなんですが
プログラム言語として大丈夫なんでしょうか・・・
たぶん本を読み進めると安心するんでしょうが、なんか挫折気味です

時々気分転換に、アフィン変換のジョルダン標準形とかやってみましょうか

4次の特殊ユニタリ生成子の固有値にはどんな特徴があるか

2016/12/25の続きです。


最初に言っておきます。この日記では文脈がかーなーり大事です！
同じ記号なのに4次方程式のことについて言っていたり、3次方程式のことだったり紛らわしいので注意して読んでください。



この4次方程式を解きたいわけですが
まずフェラーリの公式にぶち込みますと
媒介変数uに関する3次方程式にたらいまわしにされます。


ただし、a2=p=-1、a1=q、a0=rです。

そこで、カルダノの公式を使おうとすると
u2乗の係数2pが邪魔だと言われますので、指示通りに消します。

そうして得られた3次方程式

を解いて

元の2次の項を含む3次方程式の解に直してやるために

の変換をしてuを得ますが、ここでいうpは「4次方程式のp」です。つまりp=-1というわけですね
uは3つ出てくるはずですが、どれを選んでもいいです。

こうして得たuを用いて
今度は以下の2次方程式にたらいまわしにされます。
 
ここでいうpとqは4次方程式のpとqです。
また、±がついているので、2本の2次方程式であり、解は4つ(つまり4次方程式)あることに注意しましょう。

整理すると
 
こうなり、目論見に乗っかって2次方程式にたらいまわしにされますと


こうなります。
ただし、3つある±のうち、赤で書いた±だけが複合同純ではなく、独立しています。

整理してみましょう。


ここで、固有値がすべて実数であることを思い出してください。
そうすると、uと判別式のどちらもが、正の実数でなければならないことがわかるかと思います。
u≧0だし

というわけです。また、p=-1であることも踏まえると
qが

この範囲にあることがわかります。


また、2次の項を含まない3次方程式の解は、3つの解を足すとゼロになることがさっきわかったのですが
行列の固有値から作らなくても、つまり1次の項pがp=-1でなくても
トレース＝０のように、3つの解の和がゼロになることがわかりました。
これを踏まえて、2次の項を含む3次方程式の解に変換するには、4次方程式のpを使って、p/3を引いてやると、p=-1なのでつまり1/3を足してやるといいので
元の3次方程式の解uは、合計すると2になることがわかります。

つまり、3つとも正の数でありながら、3つ合計しても2にしかならない
0≦u≦2であることがわかるのです。


ここで、

をuで1階微分してやると

こう。

2階微分は以下のようになるため


u>2/3だと下に凸、u<2/3だと上に凸になり
ん？

まあなんかとにかく、uが0から2までの間は
u=2/3で極大値 をとるので

qの範囲は
であることがわかります。



とりあえず今日のところはここまでにします。

どうしてパウリ行列系SU(2)の固有値は対称なのか

3次の特殊ユニタリ群SU(3)の生成子であるゲルマン行列系は、このように、
8つの自由度を規格化していても非対称になりえます。


ではどうして、2次の特殊ユニタリ群SU(2)は対称なのでしょうか。
SU(2)の生成子はパウリ行列で以下のように表されます。



規格化した状態から考えてみますと

こうなので、固有値はλ=±1と、対称なのが自明になってしまいますが



規格化してないときの特性方程式を見てみますと

このようになっていて、特にノルムがどうとか言っていないので

上の図のような、上下に平行移動する特性方程式となります。(規格化すると上下移動は固定されます)
また、このときの固有値の幾何学的意味としては、半径1の円のコサイン成分と捉えることができるため
これが対称性を維持していると考えることが可能なのです。
円周を2分割しているだけだから、対称なのだといえるでしょう。

ゲルマン行列系の固有値方程式と行列の中身との連動

このようなゲルマン行列があると、特性方程式は以下のようになるのですが




8つの自由度sを規格化してしまってから連動して動かしても、独立性が足りないのか
特性方程式がうまく動いてくれないという悩みの種がありました。


そこで、ちょっと工夫して
特性方程式の中のa0について
aとbとcの絶対値を同じにしてみることにしました。

そうすると、a0の式の

この部分が、トレース＝ゼロの定義により、ゼロになります。

また、arg(a)=-arg(c)として、arg(b)=π/2とすることで、
コサインの項もゼロにできます。

つまり、s1=s6、s2=-s7、s4=0、s5の2乗はs1とs2の2乗和になります。
(aとcは複素共役の関係で、bは純虚数)

あとは、xyzを計算してやればいいだけです。

s3とs8が残るので、8つのsの2乗和が1になるようにs3を定めることにして
s8だけを動かしてみることにしましょう。

そうすると、以下のように連動して動かすことができるようになりました。
ちなみにs1=0.1、s2=0.2と固定しています。

s8は-0.5～0.5の間を移動します。

青線が特性方程式で
黄色が特性方程式の固有値と、その幾何学的意味
オレンジが8つある自由度sの分布です。

ゲルマン行列系から作るSU(3)の固有ベクトルがですね

まあこれの続きなんですが

固有ベクトルを規格化してユニタリにする際の係数の解析解が、数値計算と一致したので載せます。
 
これのR、

n番目の固有値λnごとに

こういう風に並ぶんで

こんな風に定義するんですけど


こうなることがわかりました。
ここで、初めて出てくる文字
a1,a2,b1,b2,c1,c2は、添字1がそれぞれa、b、cの実部で、添字2がそれぞれ虚部です。
つまりそのまま、
a1=s1
a2=s2
b1=s4
b2=s5
c1=s6
c2=s7
に対応します。

SU(3)の生成子の固有値から出した固有ベクトルの規格化がめんどい

 先日までの日記参照



これを規格化ってのはなかなか死ぬる・・・。

まあ、各変数を一様乱数使って割り当ててるから、めったに固有値がカブったり
固有ベクトルの一部が本質的にゼロになったりはしないので
ジョルダン標準形やグラムシュミットの正規直交化法を使う必要はほとんどないんだけども
それでもかなりめんどい。


なにか近道はできないものかと考えて、ちょっと思いついたのは
この行列Pの「逆行列がPのエルミート行列そのもの」であることを使うこと。

つまりEを3次の単位行列として、PP†=Eのことなんだけども

この内訳を考えると

こういうことなので総和記号を用いて、以下のように、l行目k列目の要素は

といえる。
また、l=kのときは1、それ以外はゼロなので、クロネッカーのデルタを用いてこのようなこともいうことができるし

複素内積(u,v)を

このように定義すると

たったこれだけで記述できてしまう。




ここで、今回は行列指数関数を求めたいんだった。

間にこのような、対角行列の指数関数が入ってしまうので、さっきのように簡単にはいかないが、楽をするヒントは得られそうだ。

つまり行列指数関数expの各要素elkは

とできそうなので、
少し計算を省けそうなのだ。

 
この2つの式を用いると

l=kの場合は

なのだし、vl3はlが1から3まで実数なのだから
|vl2|^2が逆算できて、

少～しだけ手間が省けるし、δ=0になる非対角要素も


これを逆算して

さっきよりももうちょっとだけ大掛かりに手間が省けそうだ。

ところで、Σ(λm)=0なのだが、3つではなく実質2つのλで構成された行列指数関数になりはしないかと若干心配だったりする。

SU(3)特殊ユニタリ生成子の固有ベクトルが解析的に出せましたー＼＾o＾／

8つのsを、ノルム(2乗和)が1になるように定め、
複素数a,b,cと実数x,y,zを以下のように定義し、
 
このようなエルミート行列Aを作ったとき、これは特殊ユニタリSU(3)の生成子になります。

この生成子の固有値が以下のような3次方程式で、カルダノの方法を用いて実数λ1、λ2、λ3と求まったとき

固有ベクトルを求める連立方程式は以下のようになり、永年方程式となります。

この連立方程式の変数v1、v2、v3の比は、それぞれの固有値で以下のようになります。

(アスタリスクが掛け算の記号ではなく複素共役を意味することにご注意ください
なお、A=a×a*です)

また、このように固有ベクトルのノルムが1になるように係数Bを決定することで規格化され
ケットベクトル(行列)Pが求まり、これは(一般)ユニタリとなるため

エルミート共役P†が逆行列ブラベクトル(行列)そのものとなって便利です。

対角要素が固有値となる行列Jは

J=P†AP

で求められます


このブラケット(固有ベクトル)と固有値を用いて、行列指数関数exp(iA)を作って
これが特殊ユニタリである(det(exp(iA))=1)ことを数値計算で確認できました。

exp(iA)=Pexp(iJ)P†

ただの(一般)ユニタリUとの違いは
ユニタリがabs(det(U))=||U||1であるのに対し
特殊ユニタリSUはdet(SU)=|SU|=1であることです。
特殊ユニタリは、行列式の複素数の絶対値を取らなくても
行列式そのものが実数の1になるのです。


固有ベクトルの解析解がわかったので、あとは行列指数関数まで解析解で突っ走るのみです
鬼のような計算になるのかなあ／＾o＾＼

備忘録：仮説

やっぱり未規格化状態のSU(2)生成子の固有値の概念は
規格化したあとのSU(2)生成子の固有値同様に価値があるような気がしてきた。

結局n=2でもn=3でも回ってる円のコサイン成分なんだ。回ってるんだよ。
それが、n=3だと回れば非対称になるのに対して、n=2だと対称にしかならないっていうのは大事なことだと思う。

これが、規格化されてしまうと半径が一定になってしまって目に見えにくい。
SU(4)を考えるうえでも、もしかしたら道しるべになるかもしれないし。


ああ、そういえばSU(4)は4次方程式だけど、極大・極小を考えることはたぶん大事で
そういう意味では3次方程式になるね。

ということはSU(5)も部分的に4次方程式にできるから、まったく解析ができないわけでもなくなる

n-1次の係数が0で、n-2次の係数が-1な理由がなんとなくわかってきた。

n-2次が-1なのは規格化のせいというのはノルムの次元解析の観点からもう知ってる。

n-1次はトレースが関係している。そんでもって、n-1次になりえる要素は対角成分しかありえない。対角成分同士の積(x1-r)(x2-r)・・・(xn-1-r)(xn-r)からしか生じない。

だから、特殊ユニタリSU(n)の生成子から得られるn次多項式のn-1次はΣ(xn)つまりトレースでいつもゼロなんだ。



それと、SU(n)においては、計算をかなりモジュール化・ブラックボックス化して見られる部分が多そうな気がする。
いちいち中身を気にする必要がない。

たとえば、エルミートの固有値が実数であることを既知の事実とすれば、
生成子の固有値を解析的に計算する意味はほとんどなく、数値計算で間に合うということだ。
r^4-r^2+a1*r+a0=0のa0、a1の中身が生成子の中身とどうつながるのかとか、ぶっちゃけどうでもいい。

ただ、実数であるには何が必要か、その要請からほとんど、あわよくばすべての分析が可能。

固有値そのもののn次方程式にしても
極大・極小のn-1次方程式にしても
実数であるために、3次方程式の解の公式の、複素共役である要請が役に立ったりする。




あと、これもなんとなくだけど
量子力学でジョルダン標準形がほぼ不要なように
これまでグラムシュミットの正規直交化法を聞いたことがなかったことにもたぶんそれなりの理由があって
ほとんど出番がないからだと思う。


SU(3)の固有ベクトル、出したいなぁ。行列指数関数も解析的に出したいなぁ
どんな形してんのかなあ
SO(3)が2つとSU(3)が1つがネタバレだっけ？
導きてえ～
固有値が3つってことから、たぶんs1～s8の8つも変数がいるような鬼畜仕様にはならないと思うんだ

wikiの「クォーク場に吸収される」がまったく意味わかんないけど
数学だけでなんとかなんねえかなあ。

特殊ユニタリSU(4)生成子の特性方程式～解析・数値答え合わせ編～

wolframalphaとExcelを用いて、やっとうまくいきました・・・。scilabはまだ勉強(サボり)中
C#とサイラボの本、返さなきゃ

四次の特殊ユニタリSU(4)
の生成子A=

の固有値rは
行列式det(A-rI)=0を用いて、以下の式で求められます。(Iは4次の単位行列)



アスタリスクは複素共役を表し、s1～s15の2乗和(ノルム)は1とします。


大文字の扱いは前回のSU(4)のときやSU(3)のとき同様、
基本的には小文字の絶対値の2乗、ただし、cで表されるコサインの括弧の中では複素平面内の偏角を表します。√の中身は直後に来るコサインの中身の和(偏角)を積(絶対値)にしたものとします。

例：
x{bd*g+(bd*g)*}と同等です。




SU(4)は物理的に何に使われるのか僕にはわかりませんが、
数学的には4次方程式の解(すべて実数)の例題に用いることができると思います

この生成子の行列指数関数にはとても手が出せないと思いますが
せめてSU(3)だったらもしかしたら解析的にも手が・・・出せるかな・・・？
固有ベクトルがねえ・・・

SU(4)生成子の幾何学的意味にも再挑戦してみたいです。

SU(3)生成子の固有値がなぜ非対称になるのかは幾何学的に理解できました。


分析用Excelソースファイルは・・・4次方程式を解析または数値的に解いてからアップしたいです・・・いつになるやらｪ


SU(5)生成子の固有値はねえ・・・もし仮に特性方程式が特定できても、アーベルの理論が理解できてないからねえ

特殊ユニタリ生成子SU(3)の特性方程式を解析計算

これ過去にどこまでやったっけ？

λ^3-λ+a0=0のa0を解析的に定められたかどうかよく覚えてないんだけど。

まあとにかく出た。
なんか意外と簡単だったのは、レベルアップで簡単に思えてきたのか、それとも実際に簡単だったからすでに計算を終えているものなのか。


このように、1つ目から8つ目までのsシリーズを、2乗和(ノルム)が1になるように定義し、
複素数a,b,cと実数x,y,zを定義して

このような特殊ユニタリSU(3)生成子いわゆる「ゲルマン行列の和」(エルミート)の中身に設定すると

この生成子の固有値λを求める特性方程式は以下のようになります。

もちろんアスタリスクは複素共役を表します。




ここで、大文字は小文字の絶対値の2乗を意味します
例：A=a×a*

が、c()の意味するコサインの中身においては複素平面での極座標表現における偏角を意味します。
また、コサインの中にたとえばA-B+Cが入っているなら
ルートの中身はABCとなり、√(ABC)という意味です。もちろんコサインの外の大文字は偏角ではなく絶対値のほうです。


wolframalphaとExcelで確認(λ=0つまり生成子そのものの行列式)して、どうも合っているようです。
3次行列まではサラスの方法が有効なので、勉強中のscilabの出番はまだないんですよ＾＾；


多項式はちゃんと、x軸と交わるのが1～3個となっていて、0個にはなりません(接するときは2個の重解、必ず多項式がx軸と「交わる」か「接します」)。


3次方程式を用いる方法や、多項式の1階、2階微分を用いて分析することが可能でしょう。
a0という上下平行移動の項しかないので、この最小値と最大値を解析的に求めることが可能になりました。



できれば行列指数関数の形まで持っていきたいですねえ
固有値が求まったら、次は固有ベクトルになりますか～


あ、でもそういえば、固有値は、一定半径の円のコサイン成分という影を見ている
って結論づけられたんでしたっけ。

じゃあ、a0が解析的に求まって、改めてやることは、その円が「どのくらいの角度だけ回転しうるのか」くらいしかないのかな？

SU(4)の生成子の特性方程式ぐらいwolframalphaにぶち込んでもバチぁ当たらんだろう

4次の複素行列の固有値を求める式をウルフラムアルファにぶち込んで行列式を展開してもらった。


特殊ユニタリの生成子はエルミート行列なので、
アスタリスクのついているものは、ついてないやつの複素共役。
これをi倍して行列指数関数の中に入れると、detそのものがキッチリ1の、特殊ユニタリとなる。

それぞれの変数a,b,c,d,f,g,w,x,y,zは以下に定義される。
a,b,c,d,f,gは複素数で、w,x,y,zは実数。

なお、添え字付きの15個の実数シリーズsjの2乗和(ノルム)は1とする。

特性方程式をまとめたら以下のようになった。


なお、a1とa0は以下に定義する。



ここで、大文字のAは小文字のaの絶対値の2乗である。
例：A=a×a*
a,b,c,d,f,g,w,x,y,zすべてについてそう定義した。
ただし、c()はコサインで、中身にある大文字だけは、複素平面で極座標をとった際の偏角とし、
コサインの直前にあるルートの中身は、コサインの中の文字の積であるとする。

たとえば
c(A-B-F+G)の直前の√の中身はABFGなので、√(ABFG)という意味である。




・・・確かめるのがこわい・・・orz