一般ユニタリ群（？）の生成子の例

たとえばSU(2)だったら
 

トレースがゼロではない・・・トレースがゼロではない・・・トレハロースがセロリではない・・・



そういえばうろ覚えですが、対称性の自発的破れって、ゲルマン行列SU(3)のexp{iΣ(σjθj)}　(j=1～8)の算出結果にexp(iw)成分が発生して、特殊ユニタリが一般ユニタリになること、でしたっけ？
j=0からではなくj=1から足し算してるにも関わらず、トレースがゼロにならない現象じゃなかったでしたっけ？
あ、そうだ思い出した。exp(iΣ)の対数を取ってみたいんでした。このln[exp{iΣ}]のトレースがゼロじゃなかったらほぼ確定？

あ！なんか引っかかった！

特殊ユニタリと特殊じゃないユニタリの生成子の違い

行列指数関数のwikiにはこうある。

「Xが歪エルミートなら、expXはユニタリである」
存在を確認・・・！？

一方、特殊ユニタリ群のwikiにはこうある。

「生成子」の項を参照。


何が違うんだろう・・・？

トレースが 0 のエルミート行列で表現される。
トレースがゼロの・・・トレースがゼロの・・・トレースがゼロの・・・

あ！

単位行列のスカラー倍が足されてるかどうかじゃね！？

ちょっとパウリ空間走ってくるー！！！
。


走ってきた結果追記：
exp{i(Σσj×xj)}の総和Σの範囲が0からなのか1からなのか、
つまり、σ0x0=単位行列のx0倍を足すかどうかで、特殊ユニタリなのか、一般ユニタリなのかが違ってくるのか～なるほどな！

特殊ユニタリ×exp(ix0)のexpが掛け算されるかどうかなんだな！

exp{i(wE+x・σx)}と
exp{i(wE+y・σy)}と
exp{i(wE+z・σz)}とでざっくりと計算してみた。

で、このiwEのiが取れてwEになったら、三角関数じゃなくて双曲線関数になるわけか。ほぉぉぉぉぉぉ～！！！

昨日の縛りが

すべて同値だった件ｗｗｗｗｗ

対角化行列が「特殊」ユニタリなエルミート

特殊ユニタリ生成子


きっとこんな縛りがあるのだろうと。


そしてこういう条件もあるでしょうね


を満たすLはL1とL2である、と。 (もしかしたら同値の式同士かもしれない)


ただし、r^2=x^2+y^2+z^2、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r


3行3列以上は手計算ではやりたくないの、わかるでそｗｗ

クルックス管のように熱浴な、クォータニオンが入ったタンジェント

ようやく余裕ができて、Excelの複素行列を使って数値的に検算することができました。







ただしくはこうです。



検算用、複素行列解析エクセルはこちら。
DLしていただいてから、編集を有効にしてくれればdelを押すたびに動くはずです
複素関数なので、配列関数を使うのはやめて、掛け算などに複合参照を用いています。
基本的には青いセルだけいじってください。
初期値として-1～1の一様疑似乱数を入れてありますので、空白セルでdelボタン連打でも割と楽しめるかと思います
例外処理がしやすいように(逆行列がエルミート共役になるように)、固有ベクトルを規格化(ユニタリ化)しました。


 
クォータニオン(パウリ行列、SU(2)：特殊ユニタリ群)
xI+Jy+Kz→-i(xσx+yσy+zσz)=-iAはエルミート行列Aに-iをかけた歪エルミート行列なので

exp(-iA)はユニタリ行列になるはずです。

エルミート行列は実数の行列バージョン
歪エルミート行列は純虚数の行列バージョンとみなせますからね、
exp(実数)が指数関数的に増減する指数関数であるのに対して
exp(純虚数)がぐるぐる回る指数関数であるのとアナロジーがあります。

ちなみにexpのエルミート行列乗はエルミート行列になります


exp(-iA)がすでに求まっているので、

あとはcos(-A)=cos(A)を計算すれば、
オイラーの公式からsin(-A)=-sin(A)は自動的に求まります。

これが、cosAというのが面白い性質がありまして

cosA=cosr×単位行列

なんですよ！
ただし、回転角(固有値)r^2=x^2+y^2+z^2、回転の法線ベクトルx/r=X、y/r=Y、z/r=Zとする。


そうすると、オイラーの公式から得られた-sinAは、
exp(-iA)=cosA-isinAを変形すると
sinA=(exp(-iA)-cosA)/(-i)

と求まり、
両辺をcosAで割ると
tanA=(exp(-iA)-cosA)/(-icosA)=i(exp(-iA)/coaA-1)

となるわけで、このsinやtanは実はエルミート行列なんですよ！


つまりオイラーの公式のクォータニオンバージョンは
exp(歪エルミート)=ユニタリ=スカラー×単位行列+歪エルミート

という、割と不思議な関係になっているわけです。
スカラーのオイラーより不思議さのレベルがあがってる自信がちょっとだけあります


何の役に立つのかわからないまま始まり、わからないまま終わった
この、exp以外にもいろんな関数に複素？行列をぶっ込んでみようというこの企画

tanから始めてよかった！

特に何に使えるわけでもないけど、理解だけは深まった！
まるで羽根車の入ったクルックス管のように
密閉されていても光や熱は出入りできる窓であり
教材としてはかなりいいものだ！ｱﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊ (⌒ワ⌒)

sinやtanは関数の中身がパウリ行列だと、その複素共役(あるいは転置)がそのまま外に出るんですね～
cosは外に出すと単位行列に。
偶関数や奇関数全体に言えることなのかどうか、またパウリ行列以外のエルミート行列だとどうなるかはわかりません

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タンジェント・クォータニオン

とりあえず中間報告を載せておきましょう。

クォータニオンw+Ix+Jy+Kz=w・σ0-i(σx・ｙ+σy・ｙ+σz・ｚ)
といった風にパウリ行列で表現したとして



ここで、r^2=x^2+y^2+z^2とします

ロドリゲスの回転公式でやった計算を彷彿とさせる懐かしいやり取り。
まあ、クォータニオンを対角化させる行列Pとその逆行列ってのがすでにテンプレなんで、必然っちゃ必然なんですよね。

数式エディタでやって、対称性もなんとなくある感じなので大丈夫かと思いますが
符号とか心配ですね。

いちおうwだけ、xだけ、yだけ、zだけ1変数をそれぞれ有限にした検算はやってみましたが
かなり不十分な感じがするというか
クォータニオンなだけに、w+Ixとかw+Jyとかw+Kzくらいやっておかないとまともな検算にすらならないってのがねえ
ただのエルミートや歪エルミートみたいな感じになってしまうんですよね

余裕があったら数値計算して検算したいです。


これで２／３くらいまで終わったと思ったのですが
合体テストが残りの１／３以上占めているかもしれません。


tanqだけでなく、tanhqやatanq、atanhqにも手を出したいんですが
そのころにはもう飽きてるんじゃないか心配です

（ハイパボリック）タンジェント、クォータニオン

なんに使えるのかさっぱりわかんないんだけど、
なんとなく綺麗だったから記念に残しておく。
かわいい置物


双曲線関数の中身にiを生やすと、hが取れてiが外に出るし
三角関数の中身にiを生やすと、hがくっついてiが外に出る。


同様に、双曲線関数の中身にパウリ行列とiを生やすと
hが取れてiσ3が外に出るし
三角関数の中身にパウリ行列とiを生やすと
hがくっついてiσ3が外に出る。


じゃあ、パウリ行列をクォータニオンに応用したら・・・？

-iσx→I、-iσy→J、-iσz→Kとして
tan(w+xI+yJ+zK)とかtan(w+xI+yJ+zK)は？(Pは約分できないよ！)


思ったほど単純じゃないけど、計算していけばたぶんきれいな式になりそう。
意味があるかどうかは相変わらずさっぱりわからなくて笑える。

ゲルマン行列じゃこういうことは無理。



証明は以下。
こういうマトリョーシカ的合体ロボすき。
複素関数なのに偶関数とか奇関数とか議論できるのも興味深い








以下天元突破グレンラガン





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ゲルマン行列とカルダノの公式

五目ゲルマン行列の固有値を求める3次方程式

こんな風に添え字を外すと、ケアレスミスを防げそうな気がしましてね。

2乗を大文字で書いたのもケアレスミス防止のためでした。


カルダノの公式に当てはめますと一発で3uv+p=0になるuとvの組み合わせが得られるのが、また特徴的だと思うんですよね。エルミート行列の固有値がすべて実数っていうのと関連があるかも。



imsqrt　impower　improduct　imsum　imsub　complex　imabs


θ1～θ8を-π/4～π/4の範囲でランダムに動かしてやりますと
こんな感じになります。
カッペー

ソースファイルはこちら。お好みでご使用ください

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ちゃんと五目ゲルマン行列可視化器!!

ほら(delボタン押すたびに再計算が)走ってるよ～
(固有値方程式の行列式が)手を伸ばしてるよ～
とりあえずこうしておけば、よくあるBLOGっぽいでしょ！？

(過去を)振り返ってみた～
(行列指数関数のリベンジに)向き合って立ってみた～
そうこうしているうちに(人生の)尺がなくなっちゃう～

制作委員会名が出るから宇宙征服ｩ！ちたんだ！！


左2列はU=exp{iΣ(σnθn)}とU=Πexp(iσnθn)の固有値の位置を示す図、
上段はexp{iΣ(σnθn)}
下段はΠexp(iσnθn)
左1列は自由度を8つフルに使った図で、右2列は自由度を3つに絞った図
右1列はその3つに絞った自由度で3次元回転を行ってみた図になっております。


固有値の図は円が複素単位円で
円の上でこっち向いてる矢印が実軸
横向いてる矢印が虚軸、
縦になっているのがλE-Uの行列式の絶対値||||の軸となっております。
すなわち、最大3つある零点(複素単位円に接しているポイント)がユニタリ行列の固有値となります。
(λは複素単位円上のてさぐれ固有値、Eは単位行列)


単位円上で動いている点たちは3つあるいは8つの自由度θの値です。



左上の黄色い矢印が示すように、
2行2列のパウリ行列ではなく、3行3列のゲルマン行列の自由度8つをフルに使うことで、
なぜだかわからないけどユニタリ行列の固有値(複素単位円上にある行列式の零点)が実軸対称ではなくなります。

これがいわゆるCP対称性の破れと関係してるのかどうかはしらん？
 
 
 
また、
自由度を適当な3つ(θ2、θ5、θ7)に絞ることで、3次元の回転に相当させることができます。
exp{iΣ(σnθn)}はロドリゲスの回転公式(パウリ行列でクォータニオンに相当させることも可能)
Πexp(iσnθn)は3軸の回転行列の積と同等になります。

Σのほうが任意の1軸回転であるのに対し
Πは軸がブレていることがわかるかと思います

こちらソース(エクセルファイル)となっておりまーす。特にお好みで数値いじんなくてもdel押しとけば動きますから！
よかったら遊んでね！チャリンチャリンチャリン(音はしない)



詳しくはここのブログの、カテゴリ「パウリ行列指数関数」を参照ください

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ゲルマン行列指数関数

小林・益川理論を理解するにはゲルマン行列の指数関数を解くことが必要なような気がするが、生成子の固有値を出す3次方程式の時点(λ2乗の項がない素直なカルダノの解の公式で解けないこともない)で多大な労力を必要としそうなため、

むしゃくしゃして力技で数値計算してやった。
このあとむりやりテイラー展開した。ソースは俺
ちなみに、たかだか8項程度では（？）θ1～θ8の値を-1～1の範囲にしないと収束しない
πなんてとんでもない。これなんとかなるんだろうか

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永年方程式を解くアルゴリズムってどうすれば永年方程式


3次元の回転行列はこいつの部分群だぜ　expの中の虚部θ1=θ2=θ4=θ6=θ8=0で交代行列にしてやればｲｲﾝﾀﾞﾖ。ロドリゲスの回転公式になるよ！


ホントにこれ解析計算しただけでCP対称性の破れが導出できんのかなぁ・・・？
期待２１％不安７５％その他４％は物質

iをYに変えてELミート

なんとなく思ってはいたがずっとスルーしていたことがあって
エルミート(実対称)行列と歪エルミート(交代)行列を行列指数関数に入れる話


なんとなくこういうイメージはあったんですが

まさかこのグラフの「イメージ」をそっくりそのまま「コユーチ」に読み替えてもいいなんて思わなかった！
なんてことは実は人類みな割とよくあることだと思うのです。


ここまで気づいといてそこに気づかないなんてないない＾＾；
いやそれがあるのです。いともたやすく。

ほら、エルミート行列Aがあるでしょ？
exp(A)とexp(iA)は？
exp(A)：エルミート
exp(iA)=cosA+isinA：ユニタリ
気づけよｫ！！！！！


最近めっぽう捏造系宇宙スペースフィクション脳になってしまって
自分の過去を自分で捏造したまま、周りの人間が指摘しないもんだから捏造を事実だと思い込んでしまう事例が増えてしまっているようです。
そりゃぁ人間の思い込みが何万人でも集まれば、あるいは事実そのもののほうが曲がってくれるかもしれませんが
所詮一人の思い込みでは不可能ですよ

しかし・・・うーん・・・誰にも知られてない自分だけの過去すら捏造できないもんなんだろうか
捏造できるかどうかが純粋に人数に比例する、とするのもいかがなものかと思うのですが。



何を知ってて、何を知らなかったのか、知ってからじゃもう思い出せない

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ユニタリ群生成子～内堀から埋めていくスタイル～

ユニタリ群とは、ユニタリ行列の群である。
ユニタリ行列とは、自身のエルミート共役が逆行列になるものである。
また、群とは、単位元と逆元を持ち、二項演算について結合法則が成り立つものである。
つまり、ユニタリ行列は掛け算に関して群である。

たとえば2行2列の回転行列はユニタリ行列である。
ベクトルにこのユニタリ行列を掛け算するとき、ベクトルは向きを変えるが大きさは変えない。

このように、向きだけを変えて、大きさ(複素数なら絶対値)を変えないような変換を施す行列をユニタリ行列と呼ぶ。
2行2列以外にも、n行n列に拡張できる。

n×nの任意のユニタリ行列を生成するための、生成子という行列が存在する。
生成子を(虚数乗した)行列指数関数の中に入れると、ユニタリ行列が出来上がる。


生成子は、次のようなルールで作り出すことができる。

・生成子はエルミート行列である
・まずパウリ行列から作成する。

パウリ行列は3種類あり、トレースがゼロで、行列式が-1の、2行2列の複素行列である。
パウリ行列はエルミート行列であり、ユニタリ行列でもある。

パウリ行列の番号を
ここでは
・非対角成分が有限の実数であるものを1つ目
・非対角成分が有限の純虚数であるものを2つ目
・対角成分だけが有限の実数であるものを3つ目

と定義する。


3×3行列に拡張する際は
1～3番目をパウリ行列とし

・4番目：使われていなかった行と列の右上と左下を有限の実数にする
・5番目：4番目と同じ配置に、有限の純虚数を入れる
・6番目：右上から1つ下と、左下から1つ右に有限の実数
・7番目：6番目と同じ配置に、有限の純虚数を入れる
・8番目：ひと周り小さい行列を単位行列とし、右下を、トレースがゼロになるように入れ、規格化する(掛け算したベクトルの大きさが変わらないようにする)


4×4行列に拡張する際も、3×3行列への拡張同様に行う


このような手順を定義することにより、ユニタリ群生成子の順番は一意に決まる。



フハハ！まるでパウリ行列がパウリの排他律にしたがって埋まっていくようだァーーー！
こいつらはきっとフェルミオンだな。





ちなみに、3×3のゲルマン行列をi倍して指数関数に入れたときの生成されたユニタリ行列のうち、中身が実数のものだけを抽出すると、3次元の回転行列となる。

同様に、2×2のパウリ行列をi倍して指数関数に入れたユニタリ行列のうち、中身が実数しかない行列は2次元の回転行列となるが、このときの回転の自由度は1つしかない。

回転の自由度が4つ以上になると、任意軸回転においても軸が2つ以上になるらしい。
これについてはまだ僕が勉強する余地はたっぷりとある。


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n行n列に拡張したパウリ行列の排他律

おびきよせといてからの銃殺(3色混ぜると黒になる設定は黒歴史。真ん中は黄ではなく緑)
蚊にとってはさぞかしカラー荷を持ったカーニューマンブラックホールに映ることでしょう
コイツが小さいと、ホーキング・ペンローズ両効果による銃殺も速まるので、蚊の死骸を用いた賢者の石はより早く生成されます



フェルミの海・ディラックの海。海ですなぁ。海は夏だよねっ

ああ、フェルミ球の内側から順番に埋まっていきますなぁ

どうしてパウリの排他律と言っといて同種粒子の統計にパウリさんの名前が一度も入ってこないどころか
どうしてこの行列にパウリさんが関わっているんだろう？
と思わせるくらい、素人目に見るとまったく関係のない数学的道具に見えるパウリ行列
ボーズさんでもアインシュタインさんでも、ディラックさんでもフェルミさんでもない、なぜかパウリさん。四天王の5番目的な？


2×2だとパウリ行列
3×3だとゲルマン行列
より高次元は知らない
けど、「ユニタリ群の生成子」ではあるみたい。
1×1は分母がゼロになるためスカラーとしてすら存在しない(たぶん)


1/√{n(n-1)/2}は1/√{n!/2/(n-1)!}と書き換えていいものかどうか
左辺だったらn=1で発散しますが、右辺だったら発散しない代わりに分数になりますね
いややっぱりn=1で√(2)はおかしいでしょう！たぶん・・・だいたいnが半整数でもないのに

訂正：×　1/√{n!/2/(n-1)!}　○1/√{n!/2/(n-2)!}
 n=1でどちらもちゃんと発散します＞＜うっかりしてました
 
 
あ、そうだ思い出した。
もし仮にダイバージェンスメータのダイバージェンスなんて概念があったとして
ダイバージェンスの戻り値と多引数を量子化・標本化することってありうるのかどうかについて。

パウリ行列に回転行列を作用させる際の注意

 

この行列の、y軸回転 の場合、ny=1、nx=nz=0なので、ただの2次元の回転行列



に見えてしまうが、あくまでもクォータニオンに作用させることを忘れてはいけない。
の、y=0なら確かに
これだって これだって
ぶっちゃけ
この2つだって成立する。しかし、これはただの2次元行列だからなせることだ。
しかし、同じy軸回転でも、一旦y≠0になって、複素行列になってしまえば、ただ左右どちらかに掛け算するだけでは、まともな回転は成立しない。

きちんと、座標を表す表列の左右に、角度を半分にした、回転のための行列と、そのエルミートを掛け算しなけば計算はうまくいかない。
 


同様に、z=0、nz=1、nx=ny=0 とした場合
もはや行列関係なく、ただの複素数の積になってしまうだろうが

ひとたびz≠0になってしまうと、たちまち行列にせざるを得なくなり、
 
エルミート共役同士でサンドイッチしなくては、正しい計算結果が得られない。


略そうとするとろくなことがないのだ。


2行2列だが自由度が3つあり、これを素直に3次元ベクトルで行うには

y軸回転はこの2つに相当し


z軸回転は、以下の2種類に相当する。

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ペレリマン氏「最強の次元は３」

そ、そんな・・・すべての答えがただの数だったなんて・・・orz

っていうかお前、フェルマーとポアンカレごっちゃにしてね？

FLT5つ入りまーす

ガロア氏「5・・・だと！？」（ｶﾞﾀｯ



昨日、自らに課した無茶振り「ゲルマン行列指数関数」を眺めてて思ったんですが
指数の肩の、-i×行列の、


「行列」が純虚数成分だけになる
つまり、指数関数の肩そのものが実数になるってことは
肩＝交代行列ってことですよね？

これってどこかで・・・
あ。ロドリゲスの回転公式そのものじゃないすか！

なーるほどな！ゲルマン行列指数関数を実数の範囲に狭めると、ロドリゲスの回転公式になるのかー！


＝＝＝＝＝＝＝＝
じゃあこれを流用して、2次元回転行列のルーツをたどる旅でもしてみます？

が実数に収まるためにはθ2の自由度しかなく
指数の肩はこのような交代行列となる。

テイラー展開すると、

このようになるが、この行列は4乗で一周するので

nの奇数項と偶数項に分けることができ、
テイラー展開より、奇数項はcos、偶数項はsinになるので

と、求めることができる。


なんだか、複素数を習ったあとに、マイナス×マイナスがなぜプラスなのかを振り返ったようなデジャブを感じる。
無茶振りも無駄ではなかったんだなぁ。無茶だったけど。


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あー後半の交代行列の中身、符号丸々間違えたっぽい
どうも線形従属だったら反平行でも合格っていう詰めの甘さが抜けないなぁ