20080511~
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
学生時代に挫折してからずーっとほったらかしにしてたのを、つい先日この話で盛り上がったのをきっかけに、十何年ぶりに完成させました。
今回相手にする3次方程式というのは、 解も係数も複素数のものを言います。 したがって、3種類の係数は実数と純虚数の2元ありますし 解も2元ありますし、その解は一般に3つがワンセットです。 それを、一発で求めたい、それも代数的に。 というのが、カルダノの方法と呼ばれるものです。 その前に2次方程式の解の公式の話をしておきましょう。 よく習う際、 というのを相手にするかと思いますが でも結果は変わらないしこのほうが単純なので、一番高い次数の係数は1とします。 同様に、3次方程式も ではなく として扱います。 3次方程式の解の公式であるカルダノの方法によれば 具体的には n=1のとき n=2のとき n=3のとき とされています。 ここで、 nは0,1,2のいずれかの整数 ただし、uv=-p/3となるuとvのカップリングとする。 と、変数の定義はしておきますが、 解説は他の媒体に丸投げします。 Excelで複素数を扱うには、エンジニアリング関数という関数群の中にある 「複素数を扱う関数群」を用いると手っ取り早いです。 ただ、1つのセルに1つの数値しか入れられないExcelで複素数という元が2つある数を扱うため 半ば無理矢理に実部+i虚部という文字列として扱います。 あんまりキレイには見えないかと思います。 複素関数群の中には ・2つの元を連結して複素数として表現するためのcomplex関数 ・複素数同士の積improduct関数(多項演算) ・複素数同士の商imdiv関数(二項演算子の代わり) ・複素数同士の和imsum関数(タコ) ・複素数同士の差imsub関数(ニコ) ・複素変数に拡張対応した指数関数imexp関数(基本的に虚数単位にはiという文字を用いれば良い) ・複素数の絶対値imabs関数 ・複素数の偏角imargument関数 ・複素数の実数乗impower関数 ・複素数の実部imreal関数 ・複素数の虚部imaginary関数 あと複素共役やら三角関数とその逆数・逆関数はないですね・双曲線関数・対数関数 とかがあるようです。 uとvの3乗まではこの図のような感じで、 加減乗除と累乗関数だけでなんとかなります。 uとvそのものがクセモノでしてね・・・ 組み合わせが最大9パターンほど現れるんですよ・・・ というのも、uとvがそれぞれ3つずつ現れるからなんです。 3次方程式の複素解が一般に3つあるのと同様に、複素3乗根は一般に3つ、複素n乗根は一般にn個現れます。 なぜかというと、オイラーの公式、またはド・モアブルの定理あたりで、べき乗根(n分の1乗)というのは、偏角をn等分するため、「根を取る前に周回遅れだったやつら」もフォローしなくてはならなくなるからです そのうち代表的なのを主値と呼びますが uとvそのものはちょうど3乗根の形をしているので 主値にwの1乗か2乗(wの複素共役でもある)を掛け算(120度の三相交流)すれば全部求まることがわかるかと思います。 そして、uかvどちらかを決定してしまえば、もう片方の3つのうち1つを選べばそれで済みます → 実際この部分ではvを固定し、uの候補だけを3つ出してます。 それから、uv=-p/3となる条件を満たすuを探すのですが ここでu=-p/(3v)などと横着してはいけません。 往々にしてpもvもゼロの、0/0(有限値:不定)が現れるでしょう。 そこで用いられるのがvlookup関数やhlookup関数などの、行か列を探索する関数です。 この一見わけわかんないルールの関数は、業務上割りとありがたがられる関数でして たとえば商品の名前をコードで管理している場合などに、 コードから商品名に変換する役目を持つ関数です。 今回は、 の代わりに の表を用いて、uの候補から花道オンステージとなる主役のuを選抜してみます。 しかし、 3uv+pが複素数なので、一旦これの絶対値を取りましょう それから3つのうち一番小さくなるuの候補を選抜することにします。 この図ではhlookup関数を用いて G7=HLOOKUP(MIN($G$8:$I$8),$G$8:$I$9,2,FALSE) このように記述しています。 関数の末尾にfalseがあるのは、重複した場合を考慮してのことで たとえば という表の場合でもエラーを出さないようにする措置のためです。 この表の場合、要件としてはオレンジでもバナナでもどっちでもいいのです。コードさえ001で合っていれば。 3つの3uv+pのうち、2つ以上が同時にゼロになる場合があるのですが、ゼロならばどのuでもいいのです。 どっちなのか迷うならその選択肢ーは割りとどうでもいい選択肢ーである(優柔不断さん対策) というスタンスですね!白とか黒とかどうでもいいよ!!! ということで、いよいよ明日は求めたxを可視化してみようと思います。 つづく にほんブログ村 PR |
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1981/04/04
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WinDOS.N臣T
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日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
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