PBB：人工衛星に雷が落ちましてね

道民「雨のせいでBSの映りが悪くってさぁー


内地人「や、違う違う。今回のは人工衛星の向きが変わっちゃったのが原因らしいで。

こっち晴れてたけど同じ症状になったし。


道民「え、何？そうするとやっぱ豪雨のせい？


内地人「そんなわけねーだろ。衛星の高度に雲なんかねえよ！


道民「じゃあ雷？


内地人「雷だって当たる高度じゃねえよ！


道民「え？でも木星では衛星イオとの間に雷が落ちるって言うし




内地人「木星と地球一緒にしてんじゃねえよ！！


道民「っていうかその雷って落ちてんの？上ってんの？


内地人「えっとね、雷は上ることもあるよ


道民「いやそういうことじゃなくてな、そもそもこの場合上ってどっち？って話であって


内地人「じゃあとりあえず重力加速度の向いてるほうが下ってことで！


道民「え？重力加速度ってベクトルだったの？！


内地人「まあそうかもしんないね、とりあえず変数か関数ってことは確かだね


道民「定数ですらなかったの！？


内地人「テンソルかもしれないしね


道民「テンソル！？


内地人「行列をさらに拡張したやつ


道民「行列！？


内地人「ベクトルは1次元の配列

行列は2次元の配列

テンソルは多次元の配列･･･みたいなもの



道民「みたいなもの！？

え、3次元ベクトルは3次元配列？


内地人「ううん、1次元配列。



道民「えー、あれで1次元！？


4次元ベクトルは？


内地人「1次元配列。



道民「じゃあ･･･100次元ベクトルは！？


内地人「いくら増やしても無駄なものは無駄。

次元が違うんだよ。具体的に言うと配列の次元が。

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FU：超球シリーズ～完結編？～（おまけつき)

前回までの日記は、n次元超球の体積を、ガンマ関数を使ってnが整数ではなく実数まで拡張して表現することに成功した
が、nが1未満のときは自作のガンマ関数では限界があることに気づいた。


というのも、0次元における超球の体積が気になっていたのだ。


超球の体積は、超球の表面積をrで微分すると出てくる。
ということは、n次元超球の体積と表面積の比はnであるべきであり
0次元では、体積が発散でもしない限り、どんな体積でも表面積は0に固定されるはずである。


ならば、0次元超球の体積は発散するのか？
そこが知りたかった。


0次元･･･0は整数だ。
なのであれば、ガンマ関数を階乗に戻して考えることも可能だ。

V_n=2π^n/2・rⁿ/n/Γ(n/2)

にn=0を入れるとわけのわからないことになるが
同じ式の別表現である

V_n=π^n/2・rⁿ/Γ((n/2)+1)

にn=0を入れると計算が容易だ。Γ(1)=0!なのでV_n=1になる。


0次元の超球の体積は有限だった。



ちょっと気になるので、n=1とn=0の間の状況も知っておきたい。

ここは仕方がないから、ネットに頼ろう。
ガンマ関数のグラフがwikipediaに貼ってあるのだから
どこかの誰かがガンマ関数の計算をやってくれるアプリケーションをネット上で展開していたりするに違いない。

そしてそれは実在した。



とりあえず1次元まで0.2次元ごとに計算してみて、特に発散しているということはなさそうだった。

次元数を連続化させた場合のn次元超球における体積と表面積のグラフを以下に示す。













1次元の超球は体積が2r、表面積が2だった。特に表面積は半径に依存しない。

何を意味するのだろうか？
1次元の超球は線以外にない。
ということは、体積は線の長さなのではなかろうか。
中心を線分の二等分したところとすると、なんとなくつじつまが合ってしまう。
表面積はなんだろう･･･線分の中心の左右に1つずつ線分があるよ、という意味ではなかろうか。



そして、0次元。これは点だ。
体積は常に1
半径も何もない。
おそらく0次元には単位というものすらないのだろう。
自由度もないため唯一数えられる数があるとしたら1
だから体積は1以外に存在しない。
といったところなのだろうか？

表面積は、周りに何もないから0･･･という感じなのだろうか。



どちらも推測に過ぎないが。




そして、階乗は負数では定義できない。発散する。
これは、実数・複素数に拡張されたガンマ関数においてさえ同様である。
つまり、負の実数においては、整数においてだけ発散するのである。
逆に言うと、それ以外では発散しない。

ということは、整数以外の実数次元はおろか、複素数次元というのも考える余地があるということになるのかもしれない。

以前、僕は複素数次元のことを実数軸と複素数軸がある、程度のものだと考えていた。

確かにそういう概念もあるのかもしれない。

しかし、「複素数次元」という表現をした場合、
どちらかというと次元の数自体が複素数であるという解釈のほうが素直な気がしてならない。


つまりこんな感じだ

π＋ｉπ次元のような感じだ。

･･･底なし沼に迷い込んだような悪寒がする。




ところで、0次元超球である点の体積が0ではなく有限なのであれば
点に質量が集中するブラックホールやビッグバン現場などに発散(特異点)が姿を見せることは実はなかったりする･･･なんてことはないよな？




なーんてことを、コンピュータが考えてブログに載せたりする日がきたらいいよなぁ



そういえば･･･0次元ですでに点なんだが
点すらないのは何次元なんだろう？






ちなみに
2次元図形で言うところの2角形は線分、1角形は点なのではないかと思っているんだがどうだろう？

n角形の外角の和は360度で、内角の和は180(n-2)度ということと照らし合わせると

2角形の外角の和は180＋180度で360度
内角の和は0度であっているようにも思える。

1角形の外角の和は360度、これもあっているように思えるが
内角の和が-180度というのはどう解釈すればよいのかいまいちよくわからない。


～いちおう、完～




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EU：超球シリーズ～ある日森の中ガンマ関数に出会った～(エウロパ)

前回の日記は、n次元超球の体積と表面積のグラフが連続性を持っていそうな点に興味がいったという話だった。

超球の体積と表面積に関するそれぞれ2つの式

体積が
rⁿ(2*(2π)^(n-1)/2)/n!!　　ｎ：奇数
rⁿ((2π)^n/2)/n!!　　ｎ：偶数


で、表面積が

r^n-1(2(2π)^(n-1)/2)/(n-2)!!　　ｎ：奇数
r^n-1((2π)^n/2)/(n-2)!!　　ｎ：偶数



をなんとか統一的に表現できないものか
というところからアプローチをスタートした

それぞれの項を一般的にあらわさなければならず
しかもそれで整合性が取れるのか確かめる必要があった。

しかし、式が複雑怪奇になりすぎて挫折してしまった。
むやみに試行錯誤的な式の修正はするべきではない
それが確信を持っていえることなのであればいざしらず
確信も持てないまま進めて行くと、長い道のりの場合モチベーションが持たない。



気分転換のつもりで
n!(階乗)についてwikipediaを見ていた。
ゆくゆくは整数ではなく実数のnに対して整合性を取りたいわけだから
階乗も実数に拡張しなくてはならない。

n!の対数を取って、それを∑で表し、さらに∑を積分に見立てたやり方では、n!の桁程度の精度しかなく、こんなものは使えない。

そんなわけで、ガンマ関数という概念にたどり着いた。

ガンマ関数Γ(n)は階乗を整数から実数、そしてなんと複素数にまで拡張した関数であり、
ただし、Γ(n)=(n-1)!
の関係がある。



ガンマ関数についてぐぐっていると
うっかりネタバレを見てしまった。



開いたサイトにn次元超球のガンマ関数を使った統一的な表現方法が載っているではないか。
n次元超球の体積V_nは、

V_n=π^n/2・rⁿ/Γ((n/2)+1)=2π^n/2・rⁿ/n/Γ(n/2)

だそうだ。
うん、シンプルだね。


答えを見てしまったので、あとはそれに従って計算するのみである。


しかし、ガンマ関数なるものをエクセルで見たことがなかった･･･はず。
おそらくアドインを追加しないとガンマ関数が使えないんじゃなかろうか。


アドイン追加とか関数の検索とかがめんどくさかったので
wikipediaにあったガンマ関数の定義を参考に
簡易的に積分して自作することにした。





すると、結構合うではないか。

これなら3.14次元の超球の体積なんかも求められてかなり萌える展開である。




しかし、自作のガンマ関数は、nが1未満になるととたんに収束が悪くなる。


これはどうしたものか。



つづく。



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DU：超球シリーズ～次元数は連続か？～

2010年4月7日の日記の続きなんだが


n次元超球の体積の求め方は、数値積分としてはさほど難しくないことがわかった。

断っておくが、n次元超球の「体積」がもはや「体積」ではないことは承知している。
以前はn積、n-1積などと呼んでいたが、やっぱり体積・表面積と呼んだほうがイメージしやすいようなので、以後こう呼ばせていただく。



まず2次元超球(円)の体積(面積)V₂=π・r₂²を出しておき

r₂=√(r₃²-z₂²)とした上で

V₃=∫_-r3^r3V₂dz₂　

を行うと、3次元超球(球)の体積V₃が求まるので
これをn次元に拡張すると

r_n-1=√(r_n-z_n-1)とした上で

V_n=∫_-rn^rnV_n-1dz_n-1

ただし、すべてのr_n=rであるとする。

とすれば、漸化式的にn次元までの超球の体積を計算できるというわけだ。

これを漸化式から一般式に直すのは簡単で、
単にn重積分を行えばよい。



これを解析的に計算する方法はめんどくさいので具体的には行わないが

∫V_n-1dz_n-1を行う上でa_nをn番目の数列として
V_n-1=a_n・r^^n-1
であることと
r_n-1=√(r_n-z_n-1)
であることがつながると
ルートの入った積分と入らない積分を交互に繰り返して行くことが

奇数次元と偶数次元の体積の式ががらっと変わってしまっている原因を作っているのだろうということは確認できた。


これがその式なのだが

体積が
rⁿ(2*(2π)^(n-1)/2)/n!!　　ｎ：奇数
rⁿ((2π)^n/2)/n!!　　ｎ：偶数


で、表面積が

r^n-1)(2(2π)^(n-1)/2)/(n-2)!!　　ｎ：奇数
r^n-1((2π)^n/2)/(n-2)!!　　ｎ：偶数



となっている。
n!!は階乗の拡張で2重階乗といい、
nが奇数のとき→n(n-2)(n-4)･･･5・3・1
nが偶数のとき→n(n-2)(n-4)･･･4・2
といったものである。



これをグラフにしたものが以下の図である。
半径を1とした。













驚くべきは、体積・表面積ともに最大値のある次元が有限であるということだ。
体積は5次元、表面積は7次元で最大になる。



それともう1つ、
違う式なのにもかかわらず、グラフが滑らかである点が気になった。

ここで疑問が沸く。
これはもしかして、1つの式で表すことが可能なのではないか？
そして、n次元を整数から実数に拡張できるのではないか？

つづく。



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FT：超球の式の真贋(フーリエトランスフォーマー)

2009年1月7日の日記で、n次元空間における丸い物体(超球というらしい)の体積(n積？)や表面積(n-1積？)のようなものは
半径をr、m=n-1として

n次元
m積：2mπr^m
n積：m積のrによる不定積分の結果

とかなり簡単にあらわせるのではないか、と書いたことがあった。

モンテカルロ法をn次元空間に適用し、誤差を含みながら大雑把に見積もったものだった。
そのときは「これ以外にないだろう」と思っていたのだが、
モンテカルロ法による確率的な誤差が災いし、本当の式は違うものであることが分かった。

なんと、
n次元のm積は
 r^m(2(2π)^m/2 )/(m-1)!!　　ｎ：奇数
 r^m((2π)^n/2 )/(m-1)!!　　ｎ：偶数
!!は拡張された!(階乗)の一種で、m!がm・(m-1)・・・３・２・１であるのに対し
m!!はm・(m-2)・(m-4)･･･４・２またはm・(m-2)・(m-4)･･･５・３・１というものである。
っていうかこれΠ(総積)であらわしたほうよくね？

という、大変複雑な式で表されるようだ。
これは素直に重積分した結果なのでこっちが正解なのであるが

まさかr^mの係数にπの2乗以上がかかろうとは夢にも思わなかった。

しかも、この真贋の式を比べると、ある程度近似できてしまうから恐ろしい
こうして、間違った式を誤差含みで信用し、ブログに載せる結果となってしまったわけだ。


4/19追記
正誤グラフを添付する


















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QI：1次元生物の世界(QIは特にナシ)

遠い遠い未来、ある惑星に「線路上しか歩けない生物」がいました。
彼らは自らの種族を「電車人」と呼んでいました。
電車人たちの一日はとてものんびりしています。

会いたいほかの個体を目指して
会って
会話して
帰って
寝るだけです
ほかに何もありません。

電車人は意識してご飯を食べるということをしません。
常に頭の上の電線から電力がまかなわれているからです。
その電気エネルギーはどこかの発電所から来ていて
その発電所は過去6万年の間止まったことがありません。
意識して排泄することもありません。

電車人たちは時々、相手の電車人を食べるときがあります。
でもこれは食事ではありません。
どちらかというと繁殖行為に近いものです。
食べられた相手の意識は食べた電車人の意識に追加されます。
食べられた相手の体を構成する要素は食べた側の後ろに追加されます。

こうして長くなっていった車両を、時々切り離して別の個体にすることがあります。
分裂した車体の意識は、分裂する前の1つの個体の意識とまったく同一です。でも、その先の行動は違ってきます。

この惑星での電車人の人数は変化しません。

この惑星を縦横無尽に覆う線路にはいくつもの切り替えポイントがあり、
そのポイントを1つ1つ操作しながら
会いたい個体の元に向かいます。

電車人たちは景色を見ません。
電車の外がまっくらなので、見ることをしません。

電車人たちは生まれて引き継いだ記憶をすべて保持しています。
どうやら電線を伝った先に全個体の記憶倉庫があるようです。

記憶が確かなので、会いたい個体までの切り替えポイントを絶対に間違えません

でも、電車人たちは自分たちの住んでいる世の中を1次元だと思っているようです
自分たちの歩く世界が前と後ろしかないからです。
その上、電車人は後ろも知りません
友達と会ったあと帰るときは無意識に顔がお尻になって
お尻が顔になるので、いつも歩いている向きは前なのです

電車人たちは違う世界との交信ができます。
なぜできるのかは彼らにもわかりません。
異世界の人たちと話し、色んな理論を入手して、
自分たちで会話してその理論を遊びます。

でも、もらった技術のほとんどをイメージできません。
電車人たちには2次元空間さえ想像するのが難しいのです。
なので、数学で関数を習っても、数式の力でイメージするので精一杯です
同様に、マイナスの数も分数も無理数もわかってはいてもイメージできません
電車人たちは頭の中と相手との会話がすべてなので、モノを交換することをしません
なので、自分たちが何人いるかということはわかっても
モノを何人で分ける、ということを思いつくことができません
なので分数が現れる余地がありません

円をイメージできないので円周率をイメージできません。
関数がイメージできないので自然対数の底もイメージできません
実数と虚数の織り成す複素平面もイメージできないので
虚数の概念も虚数単位もイメージできません

円どころか、線と点以外のどんな形もイメージできないので、ピタゴラスの定理が出てくる余地もありません

後ろに下がるというイメージがないので、マイナスの数もイメージできません

仲間の数が常に変わらないので、ここからもマイナスの数がイメージできません

でも、頭はよいので数学の力を借りて表現することはできます。
もらった技術のほとんどは理解しています。
ただ、イメージだけができないのです。




電車人は、6万年前に「ある種族」によって作られた電車でした。
ある種族は自分たちを「人間」と呼んでいました。
人間たちは最初のうち、自分で電車を運転して、仲間たちを乗せて移動していました。
でもそのうちめんどくさくなって、操縦をすべて機械に任せました。
そうしたら電車に乗っていた客たちが「つまらない」と言い出しました
それまでの電車では、運転手と客がよく話をしていたからです。

なので、人間たちは電車の自動操縦部分に「感情」を追加しました。
こうして、感情を持った電車そのものと話すことで
客たちは満足しました。

それから140年が過ぎ･･･
人間は突然いなくなってしまいました
もちろん、別れ際に連絡はくれました。
でも、どうして別れなきゃならないのかは言ってくれませんでした。

人間たちは、電車人たちに「これから人間ナシで生きていける」ための準備を全部しれくれました。

エネルギー補給のための発電所を1兆年の1兆倍の1兆倍も稼動し続けられるようにしてくれました

会話の種がなくならないように、異世界との会話手段も一通り伝えてくれました。

自分たちの交配と分裂の仕方も教えてくれました。

そしていきなり、すべての人間たちが姿を消しました。




その惑星は、平らな地面と端っこがありました。
地面の下から、常に何かが出ていました。
常に何かが出ていたので、常に加速し続けていました。
そのおかげでその惑星の平らな部分は重力を一定に保つことができました。
人間たちはそうして、宇宙を旅してたのでした。
故郷の星を離れて140年しか経っていないので、よく覚えています。
そして、13万光年先で念願の移住先を見つけたので、用のなくなったこの惑星を後にしたのでした。
そして、その様子をずっと、新しい移住先から見守っていたのでした。



実はこの惑星にはほかにも生物がいました。
彼は自分を「線路人」と呼んでいました。
この惑星の線路が時々変化するのを電車人は知っていました。
でも、この線路までも生命体だったことに電車人が気づくまで
6万年かかりました。




電車人たちは異世界との会話を積極的に行っていました。
でも、自分たちのいる世界の誰かと会話することに6万年の間気づきませんでした。
6万年のあと、自分たちの世界の住民と会話した相手は「人間」でした。
そして「人間たちの姿を消した理由」を聞くことができました。
線路人の存在もそれで知りました。
自分たちの世界で会話できた相手は人間と線路人だけでした。
その世界にはほかに誰もいませんでした。





電車人たちは、自分たちの体のなかの仕組みについて6万年の間興味がありませんでした。
人間たちに教えられて初めて、興味を持ち始めました。
同時に、自分たちがいる世界の空間が少なくとも3次元あることを教えてもらいました。

人間たちが、電車人たちの思考部分を少し修正してくれたからです。
人間がそばから去って6万年、初めて、数学以外の分野の意義を理解しました。
会話していた異世界の住民もみんな祝ってくれました。
と同時に、どうして今まで理解できていてもイメージもせず
応用もしないでただ遊んでいたのかが初めて伝わりました。

でも、科学以外の分野の意義は理解できませんでした。
ほんの少しの異世界の住民が、社会とかそういう学問の話をしていましたが、
ほとんどの異世界の住民は社会という学問すら知りませんでした。

ずっと昔にそんな学問があったらしい
という異世界の人を見つけました。
異世界の人は一生懸命思い出して出来る限りの説明をしてくれました。
でも具体的な話を聞いてもさっぱり意義がわかりませんでした。
異世界の人たち自身、意義がわからなかったのですから。
そのうち、社会という学問は幻の学問として都市伝説になりました。

その数万年後、電車人たちを育ててくれた人間のもっと昔の生活を偶然発見できて、
彼らはまだ異世界通信をする技術がなく、こちらからはただ見てることしかできなかったのですが
それでもさっぱり社会という学問の意義がわからなかった
という話はまたいずれ




実は、自分たちのいる世界が3次元以上であることは人間たちよりも線路人のほうが先に教えてくれました。
線路人は1人しかいません。
その惑星を縦横無尽に伸びる線路が1個体なのです。
空間を把握しているので、線路人は3次元空間を知っています。
線路人は線路が手足で、電線が消化器官で、通信ケーブルが脳神経に相当します。
脳と手足と消化器官が常に同じところにあります。
発電所から伸びている電線から少しずつ自分たちに必要なエネルギーをもらって生きています。
でも実は、発電所も線路人の体の一部です。
光合成しながら考える植物のような感じです。


線路人も、電車人たちと話ができて嬉しいと思いました。
線路人も、異世界にはたくさん話し相手がいたのに
ずっと自分の世界では一人ぼっちでした。
でもそれまではそれが当たり前だったのでそんなに気になりませんでした。




1Gで加速し続ける惑星に乗って6万年
周りの世界では旅のはじめから570年後、つまりほぼ6万年前に、陽子からなる物質の崩壊が始まっていました
なので、今周りで生きている生物は誰もいなくて当然です
物質で出来ていない生物も見つけることができませんでした
人間たちとの会話も、陽子が崩壊する前の、つまりずっと昔の人間たちとの会話だったのです






この惑星は、コンピュータの中にあります。
線路人というのはコンピュータの中で自律的に進化するデータの流れの線のことです。
電車人や人間はその中のデータです。
このコンピュータの大きさは30cm
人間たちは一旦、自分たちの意識をデータに変換して
数kgの船に全員乗って1G加速を続けていたので
とても少ないエネルギーで加速を続けられたのです


このコンピュータの中での6万年は、
本当に外の世界での6万年だったのでしょうか
コンピュータの中の60万年が外の6万年だったとかいうことはないでしょうか
コンピュータの中の世界で電車人も線路人も滅びてしまってから
コンピュータを乗せた船が不慮の事故により大破してしまった場合
その世界の終わりを誰が感知するのでしょうか
あるいは中に誰もいないコンピュータはもう外からも誰が見ることもなく
それは本当に存在しているのでしょうか




 

MH：n次元丸いもの(MHはメグミハヤシバラ)

2次元における丸いものは円である。
3次元における丸いものは球である。

円には円周と面積があり、球には体積と表面積がある。

半径をr、円周率をπとすると

円の面積はπr²、円周は2πr
球の体積は4πr³/3、表面積は4πr²
である。
この関係はちょうど、
πr²をrで微分したものが2πr
4πr³/3をrで微分したものが4πr²
になっているが、そのようにして求めたものではない。

しかしこの関係から、4次元以上の高次元空間における球のような形の状態を類推することが可能に思える。

我々が認識する空間が3次元しかなく、それ以下の次元で形を作るのが2次元しかないのでデータが乏しく残念なのだが、4次元の球のような形には4次元上の体積と4次元上の表面積と、それより1次下の何かが存在するのだろうか。

しかし、3次元においても表面積4πr²をrで1階微分した8πrが何を意味するかはっきりしないので4次元以上の高次元でも2つしかセットではないのかもしれない。
球における3軸の円周の合計は6πrであって8πrではないはずだ。あまり意味のある量に思えない。


もし2つしかないのであれば
4次元以上のn次元の丸い何かには
体積に相当するn積と表面積に相当するn-1積があるだろう。

そしてその関係は、aを何らかの整数として
n積：aπrⁿ/n
n-1積：aπr^n-1
となるべきではないかと推測した。

しかし、このaをまともに算出するにはn重積分をしなければならず、イメージすら難しいn重積分をどうやって行えばいいのだという面倒さが付きまとうと思い、計算を断念してきた。

しかしある日、いい案を思いついた。
数学者なら「萌えない」と笑いながら怒り狂い机をひっくり返すような方法なのだが
僕は数学者的なこだわりを持っていないので平気でこの方法を行った。
モンテカルロ法を応用するのである。


結論から言おう。
n次元空間の丸いもののn積とn-1積は

n積：2(n-1)πrⁿ/n
n-1積：2(n-1)πr^n-1

になる。




円周率を確率から求める方法に「モンテカルロ法」というのがある。
四角い的にデタラメにダーツをたっくさん打っていって、四角に接する円の中に入ったダーツと打ったすべてのダーツの数との比をとるのである。
これは、多く打てば打つほど、四角と円の面積の比に近づいていくので、ここから円周率が求められる。
ただしほかの方法に比べ、円周率に収束する速度が格段に遅いため、円周率を求める方法としては時代遅れの演習問題程度になってしまった。(駄洒落を言っているのかもしれない)


しかし、おそらくこの方法にはほかの有用な用途があるのだと思う。
僕が使う方法もそのうちの1つになるのかもしれない。

僕は数値計算をする際、なるべくプログラミングもマクロも使わず、エクセルだけでやってしまいたいという性格を持っている。
長年使ってきたエクセルのほうがトラブったときの可視化が容易だからだ。

しかし、たいていのエクセルの計算は2次元、あるいはよくて3次元的な計算までしか行えない。
縦と横で2次元、シートを含めても3次元の配列にしかならないからだ。
(もちろんマクロは除く)

ところがモンテカルロ法の場合はたった1つのシートで最大250次元ほどの計算ができてしまう。
円の場合はランダム関数を2列用意して、x²+y²が1より小さいものに1、1より大きいものに0をつける
半径rの円の方程式がx²+y²=r²だから、r=1とすると1以下であれば円の内側ということになる。

これが球だと「x²+y²+z²が1より小さい」と条件を変更すればそれだけでいい。
n次元の場合はk次元目の軸をx_kとし、∑x_k²(1≦k≦n)と1を比較する。
この場合、ただ隣の列にランダム関数であるx_kを並べるだけでいいのである。
だから2次元配列で十分なのだ。

普通のモンテカルロ法では第一象限だけ扱う。
第二～第四象限までやっても意味がないからだ。
なので、x、yのランダム関数は0～1の一様乱数を用いる。

しかし、今回は無難に計算を行いたいため、全軸のマイナス値も含む仕様にした。
そのため、ランダム関数は-1～+1までの一様乱数にしなければならず
エクセルではrand()が元々0～1の一様乱数なので
2*rand()-1をセルに入れることにした。

これらの2乗和が1未満であれば0、1以上であれば1を入れるためにif関数を使用し、
それらの集計には1の合計をデータの個数で割ればいいのでaverage関数を用いた。
サンプル数はだいたい2000個(2000行)以上がよいだろう。
次元を増やすごとにサンプル数を増やさなければならない傾向がある。

ただしこれらは円の場合、4象限の面積の合計であるので
円としてはπに相当するが、四角の面積としては-1～+1の区間2が2次元で2*2の4に相当するので、先の平均値はπ/4が出ているはずである。
なので、n次元空間に拡張するときには2^nを先の平均値にかけなければならない。

さらに、これをπで割る。
そうすると、aに相当する近似値が誤差含みで出てくるはずなので、この値のn次元における傾向を探っていく
と、こういう流れになる。


ここで、ひとつの当たりをつけてみた。
円の円周2πrと、球の表面積4πr²の間には2と4の係数の違いがある。
2と4の関係で簡単なものは3つある。
2+2=4
2*2=4
2²=4
である。

つまり、次元があがるごとに
2足すか
2かけるか
2乗ずつしていくか

の3通りである。

しかし、2²は2乗が肩に乗っているのを見て想像がつくように、交換法則が利かない。
漸化式で累乗とはいかほどというものだ。
だからこれは却下してみた。

次に、2を次々かけていくのも数が大きくなりすぎるので後回しにした。
漸化式で2倍なのだから一般式にすると指数的になる。

そうすると、2ずつ足していく演算だけが残る。

一般式で表すとa=2(n-1)である。つまりaは2以上の偶数。
ドンピシャだった。誤差の範囲で。

n次元空間の丸いもののn積とn-1積は

n積：2(n-1)πrⁿ/n
n-1積：2(n-1)πr^n-1

である。



例をあげると以下のようになる

6次元丸いもの
n積：2(6-1)πr⁶/6=5πr⁶/3
n-1積：2(6-1)πr^6-1=10πr⁵

5次元丸いもの
n積：2(5-1)πr⁵/5=8πr⁵/3
n-1積：2(5-1)πr^6-1=8πr⁴

4次元丸いもの
n積：2(4-1)πr⁴/4=3πr⁴/2
n-1積：2(4-1)πr^4-1=6πr³

3次元丸いもの
n積：2(3-1)πr³/3=4πr³/3
n-1積：2(3-1)πr^3-1=4πr²

2次元丸いもの
n積：2(2-1)πr²/2=πr²
n-1積：2(2-1)πr^2-1=2πr

1次元丸いもの
n積：2(1-1)πr¹/1=0
n-1積：2(1-1)πr^1-1=0
つまり定義できるが大きさがない。→形がない。

0次元丸いもの
×　n積：2(0-1)πr⁰/0　0で除算なので定義できない
n-1積：2(0-1)πr^0-1=-2π/r　マイナスかつrでの除算になるがなぜか定義できてしまう
↓
訂正
n積をn-1積の0～rまでのrによる定積分とすると

n積：ln(0/r^2π)　→-∞　発散するのでやはり意味がない。
(lnは自然対数：e≒2.718を底とした対数)
元々0次元は大きさを持たない空間なので長さrというものが意味を成さないのだろう。
(自然対数の中にπが入るのは少し興味深い･･･0以下の次元は複素数的にでもなるのだろうか？)
(そういえば2次元を面、1次元を線とすると0次元は点、じゃあ点すら存在しないのは何次元になるんだ？
と考えたことがあった。点すら入れられない空間なのだから、存在し得ないのかもしれない)

マイナス1次元丸いもの
n積：2(-1-1)πr^-1/(-1)=4π/r
n-1積：2(-1-1)πr^-1-1=-4π/r²
なぜか定義はできるらしい。その上n積はプラスになる。
eとπが絡むのは0次元のときだけだったようだ。
考える意味があるのかないのか判断がつかない。
次元を0を含む正の数とする必要があるのかどうか･･･。



これを思いついたのが表面積と円周だっただけに
3次元、2次元のそれぞれ1次下げたものが参考になっている。
また、n積はnで割っているため、nで割っていないn-1積のほうが自然に見えなくもない。
そこで、m=n-1とおくと

n積：2mπr^m+1/(m+1)
n-1積：2mπr^m

となり、n積はややこしく見える代わりにn-1積がやけにすっきりする。
これは、n次元空間の本質がn-1次元にあることを暗に示すものではなかろうか？

昔読んだ日経サイエンスの「ホログラフィック宇宙」を思い出した。
ここ
と
ここ

ブラックホールの本質が体積ではなく表面積であるあたりから始まるこの理論、超ひも理論など高次元宇宙論が勢いづいたころに、あえて1次元下げてみる発想は見入りながらも読みながら戸惑いを感じた。
と同時に、アカシックレコードにつながりかねないのでオカルトっぽく見られがちでもあるらしい。
アカシックレコード大歓迎の僕としては一向に構わないが(笑