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20080511～
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
解析計算に行き詰まったので、検算用に数値計算してみたんです。
まず1次元の距離xを設定します。 それから、xに見合ったポテンシャルVを設定していきます。 xが井戸の端から端：-a～0の間はプラスのVで、それ以外は0とします。 微分方程式は なので、これを差分方程式 にします。 2m/ħ^2=1と規格化して、φ(+)の関数に変形します。 境界値問題の代わりに初期値問題的な感じで積分定数のようなものを決めていきます。 2階の微分方程式なので、積分定数も2種類になりますが 今回この、端っこにある2種類の境界値φ(0)とφ(-)には、複素数を入れることにします。 1元から2元に増えてしまいましたが、イコールもその分増えてるので方程式としては成り立ってます。 ここで、透過波に反射波が含まれないことを利用しましょう。 進行波しかないので、 自由粒子のオイラーな螺旋同様、波動関数φの絶対値の2乗は|φ|^2=1で固定されるはずです。 したがって、端っこのφ(-)にはcos+i*sinの複素数を入れてしまうことにします。 また、端っこのφ(0)にも、少しxをずらしたexp(ikx)を入れます。 一旦初期値・境界値に複素数を入れてしまうと、微分方程式の解である波動関数も複素数の範囲をうろつくようになります。 ちなみに、Excelの複素関数でオイラーの公式、imexp(sumproduct(i,k,x))=complex(coskx,sinkx)みたいのができるはずです。 kは波数=2π/波長なのですが、これを間違えると透過波でも|φ|^2=存在確率が一定ではなくなるような定在波が立ってしまうので 透過波φの絶対値の2乗が落ち着くような波数kを考えるわけですが 波数 エネルギーEを決定してしまえば二分法などの試行錯誤なしに、連動して透過波の存在確率も落ち着きます。 このように透過波から→トンネルの中→入射波＆反射波と紡いでいくことで 数値計算は完成します。 つまり透過波から計算するのです。 しかしながら透過波を基準にしたグラフはスケールの見栄えがよくないため、は x=0での波動関数の値(入射波＋反射波の最大値？)を元に規格化することにします。 出来栄えはこんな感じです。 点線はそれぞれ、波動関数の実部と虚部で、太線が|波動関数|^2=存在確率を示しています。 オレンジがポテンシャルで、赤が粒子のエネルギーです。 波長の同じ入射波と反射波が干渉して、定在波な存在確率の波を作っていることがわかるかと思います。 エネルギーを固定して時間発展させたものがコチラ 時間(位相)を固定してエネルギーを変化させたのがコチラ 粒子のエネルギーがポテンシャルを少し上回っただけでは反射波は消しきれず トンネル障壁の手前に定在波が残っているのがわかるかと思います。 (また、粒子のエネルギー上昇にともない、定在波の振幅も波長も少しずつ短くなっています) 井戸の幅を変化させたのがコチラです。 また、奥行きに波動関数の虚部を配置した3Dがコチラです。 先ほどの2Dグラフ同様、 エネルギーを固定して時間発展させたものがコチラ 時間(位相)を固定してエネルギーを変化させたのがコチラ 井戸の幅を変化させたのがコチラ(わかりにくいですが一応)、 井戸の幅とポテンシャルを固定して、時間と粒子のエネルギーを同時に変化させたのがコチラです。 粒子の持つエネルギーがポテンシャルを上回った辺りから、トンネル領域での螺旋のいびつさがほぐれていくのがわかりますでしょうか。 (また、振動の速さがエネルギーに比例して速くなっているはずですがごめん僕にもよくわかんないわ。モアレによる逆流をカバーしたせいかもしんない) 別アングルからも見てみました。 Excelソースファイルを用意しました。 変更してもさほど差し障りないセルを赤く塗ってあります。 あまり差しさわりないセルは黄色く塗ってあります。 ちょっと疑問なんですが、「トンネルの中にいる」って状態は観測可能なんですかね？存在確率も有限ですし。 別にポテンシャルの中といっても、物質の中とは限らないじゃないですか。場の中なだけかもしれませんし。  にほんブログ村
PR とりあえずできましたが今日はこれで力尽きました 作ってから気づいたんですがキャプチャー範囲が微妙にやばかったっすね 縦軸と凡例が見切れているのを痛恨の極みとして、次のキャプチャーのために覚えておきましょう  にほんブログ村
取り急ぎgif投下～ A=(1-x^(2n))^(1/2n) A=√(1-x^2)とかでも可 φ=Aexp(ikx) y=sign(Reφ) z=sign(Imφ) Excel にほんブログ村
ググってたらいいアイデアをもらいました！ 螺旋を使えば１つの立体をたった１本の関数でワイヤーフレーム化して表現できるんですね １つのボーンにつき１つの関数で済むのはすごくシンプルでいいと思います！ φ=(r^n-x^n)^(1/n)exp(ikx) y=Reφ、z=Imφ ただし角の鋭さを表すnは偶数 kは描画の細かさ。rは球の半径。楕円体の場合はr=1としてあとで行列で拡大してもよい。 緯線も経線もない！  にほんブログ村
式が複雑なんですよねこれ。この複雑さ、誤植まっしぐら。
透過率と反射率は波動関数の絶対値の２乗同士を足し合わせれば「存在確率いつでも1」で検算ができるんですけど、 ポテンシャルの中の波動関数はどうなってるんだろう？ ってのはどうも検算のしようがないみたいで 解き方の流派も色々あるから 境目でなめらかになるように解いたつもりなのに、 実際波動関数をつなげてみても全然滑らかになってない！ なんてことも多いかと思うんですね。 そこでちょっと、検算のためにもと思って、数値計算を始めてみたんです。 まずは自由粒子が複素数の螺旋にちゃんとなるのかどうかやってみたところ ψ''+aψ=0 の微分方程式を差分化して (ψ(+)-2ψ(0)+ψ(-))/dx^2+aψ(0)=0 としたのをψ(+)の式にして 端っこのψ(0)とψ(-)に複素数ぶち込んでやれ！ ってやったら、 これがまたやれば出来る子だったんですよ！ちゃんと複素螺旋になるんです！ じゃあトンネル効果も大丈夫じゃね？ってやってみたら これもまた大成功。 ちょっとコツがいるんです。 透過波ってのが解析計算から、進行するexp(ikx)しかないはずってわかってるじゃないですか。 exp(-ikx)と重ねあわせたりしなくていいわけですよ。 じゃあ絶対値ずっと1ですよね？ ということはですよ 透過波から解けばいいんです！ 境界値問題に右も左もありませんからね。 透過波の絶対値が固定になるように、端っこのψ(-)とψ(0)の実部と虚部を決めればいいわけですよ！ あとはトンネル内部→入射波＆反射波を逆算すればok～ 左から入射してるんですが 右から計算してます。＾＾ 入射波のみと反射波のみという風に分離できるかどうかはまだちょっとわかりかねますが (もしかしたら解析計算の結果から分離可能かもしれません) とにかく、波長が同じなので定在波ができてることがわかりますね。 もうちょっと工夫したいなぁ 遊びどころはまだあるはず。  にほんブログ村 ψ''+aψ=0は振り子で有名な微分方程式ですよね。 一般解ψ=Aexp(-ikx)+Bexp(ikx)が実数になるようにAとBを調整(複素共役とかだったかな)して 結局ψ=Ccos(kx+D) みたいにしちゃうから、つい「数値計算する際も実数でしか解けない」と錯覚しちゃったんですよね
基本的なところはだいたい出来ました。
凸の周りのところですね。 本質的なところはまだ出来てません！ どんな感じでトンネルしてるのかっちゅうのはあまり興味が無いのでしょうか たかだかネットで辿れる数式って山の外側が圧倒的に多いようです＞＜ 反射率とか透過率の話だよ！ 山の中の波動関数の式もほしいのに！ いちおう教科書もあるにはあるんですが 解き方の流派は違うし、 誤植はあるし あ、そういえば思い出したような気がするんですが 大学時代に先生が「誤植も確かめとけよ～」みたいなこと言ったのってやっぱここだったのかな 本開いたらトンネルのページだった これじゃあどうやって連続してるのかわかんねえよお あと3回くらい行列化した連立方程式とにらめっこしないといかんだろうか 検算のためにも数値解析もやってみてるんですが 複素行列が使えたら楽なのになぁ いっそのこと数値解析じゃなくて数値計算もやってまうか！ なんかアドインが使えなくなったんで、マクロ組もうと思ってコピペしたらナントカが参照できないとかなんとか これはどこがアホなの ・僕？ ・VBA？ ・作者？ 3×3にしちゃえば一気にサラスの公式使えるから そこまで掃き出し法しっかりやって って、結局またボトムアップになってしまうんですよね また一歩マクロを組む意欲から遠のいたよ！！！！！！１ 連続が条件だから、井戸型ポテンシャルと同じように 2箇所の0F微分と1F微分で計4つの連立方程式なのは同じなんですが 規格化できないんで固有値問題にならないってところが大きく異なりますね したがって5本目の式はないと。 しかし考えてみると、複素(2元)なのに4本の式で4つのパラメータが定まってしまうというのも不思議なものです 逆行列が存在するってわかってるから、あんまり意識しなかったなぁ ス参る～  にほんブログ村
シュレディンガー方程式に従う自由粒子の場合
エネルギーEは運動量pの2乗に比例してE=p^2/(2m) (mは質量) さらに運動量を波数k[rad/m]で表すと、p=ħkなので、E=(ħk)^2/(2m) 他方、エネルギーEは角振動数ω[rad/s]にも比例するから、ディラック定数をħとして E=ħω つなげると ħω=(ħk)^2/(2m) ω=ħk^2/(2m) こういう分散関係を天然に持っているということがわかる。 ωをkで素直に割ったものを位相速度という。vp=ω/k=ħk/(2m) 一方、ωをkで微分したものを群速度という。vg=dω/dk=ħk/m 少なくとも、量子力学的な波、つまりドブロイ波の自由粒子に関しては 位相速度のほうが群速度よりも遅いらしい。 つまり、こういう2つの波を重ね合わせた場合、 分散関係の図ではこの2箇所の平均をゼロから伸ばした線の傾きが位相速度で 2箇所界隈の接線の傾きが群速度なのだから、群速度のほうが速いのは当たり前ということになる。 こういう分散関係なんだから。 実際に重ねあわせてみるとこうなる。 たった2つの波を重ね合わせただけで波束ができる。 1つの波だけではドブロイ波の場合、どこに粒子がいるのかという情報は得られない。 2つ以上合わせて始めて、「このへんにいそう」と分析することができる。 その代わり、この粒子の運動量(または速度)を測ろうとすると、本質的に2種類のどっちか曖昧になる。 ハイゼンベルクさんの不確定性関係の言いたいのは本来そういうことらしい。(小澤さんのはよくしらん) ＝＝＝＝＝＝＝＝ よく相対論などで、位相速度が光速を超えちゃったけど大丈夫！？なんて話を耳にするが ドブロイ波、とりわけ自由粒子の場合はそうはならず、むしろ逆らしい。 ただ、波にも色々あるように、分散関係にも色々あって こんなω∝kの1乗を境に、位相速度のほうが速かったり、遅かったりするようだ。 また、群速度と位相速度の向きが逆、なんてことも理論的にはありうる。 実際問題は知らん。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ただ、自由粒子が天然だからそれが一番もっともらしいかというとどうもそうでもないようで ポテンシャル次第でド・ブロイ波でも色んな分散関係が作れる・・・んじゃ・・・ないかな。たぶん ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ だから、一般的に、そんなに分散関係について深く考える必要はないらしく 簡略化したω∝kのモデルで考えるときには考えてもいいのかもしれない 大きさのスケールを変えてみたらどうなるかな。。。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ちなみに 三角関数はあくまで複素な波動関数の影しか見てない状態なので (自由粒子の)波動関数に本来あるべき、複素の状態で波束を表現してみたのがコレ。 クロワッサンじゃないよ！ ω∝k^2 ω∝k^(1/2) ω∝k^1 vgとvpが逆向き ＝＝＝＝＝＝＝＝ このためにフーリエ変換をやる羽目になりそうだったが、逃亡してやったｗｗｗ  にほんブログ村
最近少しずつ意欲が復活してるきざします
とかいいつつ、なんか色んな計算に気の向くままに手を出して、収拾つくんだろうかとも思うのですけど。 トンネル効果の反射率と透過率の式、何気に結構複雑ですよね。 解析的に計算してて思ったんですが せめて検算のためにもここはひとつ行列という数学的道具の威力を試したいところですね と思いましたがいきなり複素行列じゃないですか！それも本質的複素数！ あのアドインのサポート終了が痛いなぁ や、でもたぶん、新たに作られないってことは、もう需要もあんまりないんじゃないかな トレンドは他の方向に動いてる気の霊圧がひしひしと感じられます。 単に僕が知らないだけのような気がします。 モグリなりに、せめてVBAのコード全コピにでもそろそろ手を出そうかな・・・ どうせアドインだってマクロみたいなもんだし 使う際に警告がたまたま出なかっただけで。 解析計算がちゃんと出来たら、今度は数値計算もやってみましょう 今のところどこからアプローチしたもんか全然イメージ湧きませんが  にほんブログ村
用事で、何かの関数をフーリエ変換しようとしたんですが
複素積分であることにいきなりつまずいて なんで、周期関数から非周期関数になるだけなのに複素積分が必要になるのか と疑問に思っていたんです。 フーリエ級数には実数のフーリエ級数と複素数のフーリエ級数があって フーリエ変換が複素数なら 実数のフーリエ変換があってもおかしくないではないか 実数フーリエ級数のan、bn、a0みたいに expではなくcosとsin、それからaとbとa0を使うフーリエ変換のことですよ。 と思ってwikiで見たこの「実フーリエ変換」というものは なんかちがうきがする でもよく考えてみると、オイラーの公式を使って三角関数を複素指数関数にしたように 複素積分というものはもしかしたらすごく楽なものなのかもしれない 複素積分を習った時の印象を思い出してみよう 散々固めた足場の頂点に立った時の気持ち え～と・・・なんていうか チョコンと座った金のシャチホコ・・・ なんでこんなモンを富士の頂きまではるばる運んできたんだ！？的なゴール すごくあっさりしていた気がするんですね そう、確か、留数とかいうアレ 内容は、ストークスの定理みたいな感じで 逆風は全部打ち消されて、世界は全員を中心に回っていますよ～みたいな感じの。 だからつまりその・・・流行らないのでは！？ いまさら実数を使ったフーリエ変換なんて、不便すぎて流行らないのでは！？ もしかしたらそういうことなのかもしれない・・・ 僕はたまたま、フーリエ逆変換の際に留数定理をまだ習っていなかったから 留数定理を「得体のしれない恐ろしい物」と捉えていただけで 実はすごく楽なのではなかろうか 数値計算するときもすごく楽なのだろうか なんかイメージが湧かない 発散するかもしれない地雷を避けながらどうやってサボるのだろうか  にほんブログ村
ひたすら重力ポテンシャルをシミュレーションし続ける
簡素な無料ゲーム XLサイズ天体が重力で動かないため、XL天体だけが残った時点でゲームオーバーかと思ったんですがそんなことはなかった！ 最初からXL天体同士をぶつけてやれば、粉々に砕け散ってSサイズ天体になるから安心安心 こういう、ゲームオーバーがなく、ずっとやり続けられる ゲーム性のないゲームが僕は大好きなようです ほら、ゲームって負けたりするとイライラするでしょ あれ嫌いなんですよ僕 たぶん簡素なゲームでもゲーム性がなければ好きなのかもしれません 多体問題とかマジおもろいです やってて思ったんですが これを延長していけば、原子の電子雲ゲームとかもできるんじゃね？ しかも粒子同士がぶつかるという概念が薄まるから よりゲーム性がなくなって素敵かもしれない！ 以前ね、量子スケールの粒子の運動について考えていた時 どうして、プランク定数が顔を出すか出さないかで 軌道？が平面になるのか立体になるのかが決定するんだろう？ って思ったことがあったんですよ やっとわかった気がするんです。 角運動量の軸自体がゼロ点振動を強いられてる これが要因の一つになってるんじゃないでしょうか  にほんブログ村 ちなみに、 ｪa立或日 心甲心生で、宇宙の眼を壊そうとした際にラプターが言ったようなセリフ 「思うままに動く宇宙で楽しいか？」 を聞いて「そりゃぁ誰だって楽しかろう！？」と当時は思ってました。 恐竜惑星
フーリエ級数展開はボールはともだちみたいな感覚なんですが
フーリエ変換については実は苦手意識があります。 なんか飛躍しすぎ感しませんか フーリエ級数からフーリエ変換に至る際に、「実係数の複素化」と、「周期・離散の無限・連続化」の両方を同時にやったからわかりにくいんだと個人的には思うんですが。 フーリエ変換の実数バージョンがあればいいなぁ(中間形態その２) と思って実フーリエ変換でぐぐったらサジェストするんですが 「フーリエ変換」のwikipediaにおまけ程度に載っているだけで それが僕の探している実フーリエ変換なのかどうかよくわからない・・・ なんとなくコレジャナイ感がするんですが。 「月を大きく見せる」のメモを「胸を大きく見せる」に見間違えた。 いや、案外遠近法でなんとかなるかもしれない ちなみに寄せて上げるとこうなるそうです  にほんブログ村
めっちゃ久しぶり！
前にフーリエ級数展開をしたときは、確かアニメの「日常」をやっていて(Eテレ以前) EDの「Zzz...」に出てくる蛇を描こうとして試行錯誤するも、結果オーライで描けた そのくらい前だったと思います。２０１１年４月～９月ってことは・・・もう３年以上前の事になるんですね 野暮用で、デューティ比を考慮したパルス波をやってみたんですけどね それと、群速度と位相速度についての計算も久しぶり！ そうそう、たぶんここが引っかかってたんだと思います。 シュレディンガー方程式に従った自由粒子の群速度は位相速度の２倍あって なんで位相速度のほうが遅いの？ っていう疑問を以前も抱いたことがあったような気がします。 一概に位相速度のほうが速いとも言い切れない、とかそういう理由じゃなかったかな。 群速度がホンモノの速度とも言い切れず、エネルギー速度とかいうのがあったような気も。。。  にほんブログ村
蟲は、群れをなして細胞となり、臓器となり、文明を発達させました。
その文明はどんなことも可能にしたといいます。 ある日、蟲たちは魔法を固定化する研究に取り組んでいました。 積み重ねすぎた魔法を、いっぺんに使いたいという要求が強まってきていたのです。 蟲たちは真空を変化させて、粒子同士の相互作用のありかたを具体的にしていきました。 巨大な炉を作り、爆発させて、色々な魔法を固定化させていきました。 水素という魔法から、ファインマニウムとかいう魔法まで・・・ 作り上げた魔法の完成度が高すぎたのか 蟲たちは次第に、魔法の本来の作り方、使い方を忘れて行きました。 そして、蟲たちはどこかへ消えてしまいました。 ＝＝＝＝＝＝＝ QB「という話があってね、鹿目まどか。」 まどか「んん？？」 QB「すごく有名な話なんだけど、やっぱり誰も知らなかったのかい？」 まどか「え、それは何、元素？」 QB「ああ、そうそうソレ。元素って呼ばれてたみたいだね。君たちもそう呼ぶんだ？」 まどか「元素とその魔法が、何か関係があるの？」 QB「同じものを指して、関係があるもないもないだろう？」 まどか「んん！？」 QB「・・・」 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ゆうきゅうのひま まどか「・・・あーーーー！！！元素って！元素って！なんで言ってくれたなかったの！？」 QB「聞かれなかったからさぁー」 まどか「ダメだこいつ。いつものQBだったわ・・・」 QB「時間なんて君には関係ないだろう？」 まどか「そりゃそうだけどさ。で、この人達が概念化した蟲さんたちなのね？」 蟲たち「はじめましてどーもーー蟲たちでーす」 まどか「自分を達づけする？普通」 QB「そんな理屈どうでもいいと思うけどな・・・」 蟲たち「普通っすよ。な？俺が！俺達が！蟲たちだ！なんつって」 蟲たち「うん。フツーフツー！円環の理サイドについちゃうとあっちサイドからは名前以外ほぼ忘れられちゃうからねえ＾＾；」 蟲たち「エンカウントお断り。なんつって」 蟲たち「俺たちチョー有名人なのにね！」 蟲たち「エンチャン！ﾉ＾＾ﾉエンチャン！ﾉ＾＾ﾉ」 蟲たち「それ綴り違うからTTﾉｼ」 まどか「ヒト？？人間？？」 蟲たち「蟲たちが集まるとヒトっしょ！？」 まどか「そうかなぁ？」 蟲たち「ヒトだろ」 蟲たち「人だよね」 蟲たち「ハハハッ」 まどか「ねえ、ほむらちゃん。案外こっち側賑やかだよ」 ほむら「そ、そうみたいね・・・(死ぬよりも辛いとか言ってた自分を殴りたい)」 まどか「それは無理だよ～ほむらちゃん＾＾5時間前とかじゃないんだから。代わりにホラ」 QB「また僕のターンか！」 まどか「コレでも殴って＾＾」 ほむら「オンドリャァァァ！！！！」 QB「僕はいつこの痛みに慣れるんだろう・・・おかしいな、目からワタが。」ｺｼｺｼｺｼ まどか「あ゛ーこの人狼の楽屋ノリみたいのﾔﾒﾃｰ＞＜」 蟲たち「人狼は史実だった！？」 蟲たち「な、なんだってー！？なんつって」 ΩΩΩ「な、なんつってー！？」  にほんブログ村
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プロフィール
ＨＮ：
量子きのこ
年齢：
43
ＨＰ：
性別：
男性
誕生日：
1981/04/04
職業：
WinDOS.N臣T
趣味：
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介：
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます 例：H→7番目、XP→15(P)×26＋23(X)=413番目。 A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいｽﾞｺｰ
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