素数生成に定評のある多項式n^2+n+41のmod2か3(ウラムの螺旋関連)

nを整数として、いかなるnでもn^2+n+41が偶数にならないことの証明


n^2+n+41=n(n+1)+41

の、nかn+1のどちらかが必ず偶数になるので、41が奇数である限りこの多項式は偶数にならない。
おわり。


＝＝＝＝＝＝＝＝


nを整数として、いかなるnでもn^2+n+41が3の倍数にならないことの証明

n^2+n+41=(n^2-1)+n+42=(n+1)(n-1)+(n+42)

の、

１　mod(n,3)=1→mod(n-1,3)=0、mod(n+1,3)=2で、mod(n+42,3)=mod(n,3)=1
２　mod(n,3)=2→mod(n-1,3)=1、mod(n+1)=0、mod(n+42,3)=2
３　mod(n,3)=0→mod(n-1,3)=2、mod(n+1,3)=1、mod(n+42,3)=0


したがって、(n-1)(n+1)+(n+42)は3を法とすると

１　0×2+1=1
２　1×0+2=2
３　2×1+0=2


なので必ず3の倍数にならない。
おわり。



というかこれ、多項式そのまんまのmodを素直に計算するだけでも証明できるよね・・・



＝＝＝＝＝＝＝
5を法とした場合

１　mod(n,5)=1→mod(n^2+n+41,5)=1+1+1=3
２　mod(n,5)=2→mod(n^2+n+41,5)=4+2+1=2
３　mod(n,5)=3→mod(n^2+n+41,5)=4+3+1=3
４　mod(n,5)=4→mod(n^2+n+41,5)=1+4+1=1
５　mod(n,5)=0→mod(n^2+n+41,5)=0+0+1=1

５の倍数にはならない
おわり。


＝＝＝＝＝＝＝
7を法とした場合

１　mod(n,7)=1→mod(n^2+n+41,7)=1+1+6=1
２　mod(n,7)=2→mod(n^2+n+41,7)=4+2+6=5
３　mod(n,7)=3→mod(n^2+n+41,7)=2+3+6=4
４　mod(n,7)=4→mod(n^2+n+41,7)=2+4+6=5
５　mod(n,7)=5→mod(n^2+n+41,7)=4+5+6=1
６　mod(n,7)=6→mod(n^2+n+41,7)=1+6+6=6
７　mod(n,7)=0→mod(n^2+n+41,7)=0+0+6=6

７の倍数にならない
おわり。

もしかしたら後々ありがたみが出るかもしれないからいちおうこ積の形では続けてみるけど・・・




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ウラムの螺旋と、多項式n^2+n+41

前回行った書店で今回メモってきた戦利品。＾＾


あーこれでご飯3倍はイケる。


ちょっとぐぐってみた推測ですけど、ウラムの螺旋からn^2+n+41みたいな近似式がいくつも導出できて
この多項式群(群とは言ってない)、たとえばn^2+n+41のnにいかなる整数をぶち込んでも、少なくとも2,3,5,7の倍数にはならないってのを数学的帰納法あたりで証明できそうな予感


あーみなまでいうな！少なくとも数学に関してはネタバレ禁止だからー！



それはそうと、ウラムの螺旋をマクロなしのExcelで自動生成できるジュースメーカー的なのがほしくなってきたゾ☆！

端まで行ったら90°内側に方向転換
プログラミングなら楽そうなのに、Excelで考えるとうまくまとまらなさそうな
そんなことってまだあるんですね
プログラミング恐怖症のこの僕に。


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コンドームというのはええと、

精度がよければ浸透圧で海水を真水にできるものなのでしょうか。


あれですよね、口つけて息吹き入れてももちろん空気分子はすり抜けるんですよね



中学のころにそれっぽい自販機を見かけたっきり見てないなぁ
なんだか懐かしいね、コンドーム。


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ゲルマン行列を群とみなす

←西へ　東へ→
＼どどどどどどど／
●
卍
●
卍
●
卍
●
卍
●
卍
●
卍
●
卍
●
卍
●
卍
●
卍


ゲルマン行列というよりは、ユニタリ行列を群とみなしてみるって話なんですが
なぜユニタリ群と書いてあるのかが気になりましてね、
まあ、集合というより群をなしているんでしょうね。
なぜ他の代数的構造じゃないのかも気になりましてね、
ちょうど群がピッタシだったんでしょうね。


群の公理か・・・

・なんらかの演算☆に対して閉じている前提で
・結合則を満たし
・単位元があり
・逆元がある


・・・なるほど。うおおおおおお！？見える、見えるぞォ！


ユニタリ群の集合をUとすると
掛け算×において


・U1×U2=U3：閉じている。

・U1(U2U3)=(U1U2)U3

・単位元は単位行列Eで、これもまたユニタリ

・U×U†=U†×U=Eという逆元U†の存在、これもU

ただし、U†はエルミート共役で、Uの転置tUの複素共役をとったtU*=U†です、†(だがー)。



＝＝＝＝＝＝＝
今朝ちょっと回り道をしてしまいまして

ゲルマン行列λを例に逆元を考えていたら

gn=exp(iλnθn)とすると

g3とg8がg*×g=Eで、
それ以外のg1、g2、g4、g5、g6、g7がtg×g=E

だったんですよ。

転置か複素共役しか出番がなく、エルミート共役の出番がないのでおかしいなと思ったんです。
が、転置か複素共役だったら両方エルミート共役で統一しちゃえばいいじゃん！

ってことになって、

あ！そもそもユニタリの性質にUU†=Eってあったじゃん

と、当たり前のことに巡り巡って戻る現象がありましてね。


例示は理解の試金石だったわけです。
こういう、自力で当たり前のことに到達するって大事ですよね。
多角的に見れるといいますか。



しかしよく考えてみると、ゲルマン行列単体では演算×に関して「閉じてない」んじゃないか
とふと思いまして
(たとえばg1g2はnを1～8としたgnのどれかになるのか？)

じゃあゲルマン行列というよりユニタリ行列が群なんだなって結論に行き着きました。


少しだけ群と仲良く慣れた気がしました。
今の僕にとって群は、どうも整数のような立ち位置のような気がします。
・定義は知ってる。
・少しいじったことがある
・でも経験上奥深さを知らない

これから仲良くなれば、いいじゃないか。


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ゲルマン行列可視化機

可視化はきれいさっぱり諦めたと言いましたよね？あれは嘘です。
未練タラタラでした。


複素数ではあるものの、高々3×3の回転行列もどきの可視化になぜ苦労せにゃならん
って思いはあったんです。


でもやっぱり大したアイデア出ませんでした＞＜


3行3列のユニタリ行列の固有値なんて、複素平面上の単位円周上に3つ以内しかないのなんてわかりきってることじゃないですか。
たとえユニタリ行列をいくらかけてもユニタリ行列なんだから、n行n列だったらn個以下しかないのもあたりまえじゃないですか。

そんなわけで、xy平面に複素数の実部と虚部を、固有多項式の絶対値をz軸に見立てて、固有多項式(いわゆるA-λI、固有値方程式を移行して=0を取っ払ったやつとも同じ)のゼロ点を表示させたのが図なわけです。


ゲルマン行列はSU(3)：3行3列・複素数の特殊ユニタリ群の生成子なのでグルーオン同様8種類あるわけですが、このゲルマン行列っていわゆるn-1次元の単位ベクトルみたいなもんなんで、これを2×2のパウリ行列σ1～3に見立ててオイラーの公式のように行列指数関数にぶち込むと、exp(Σiσnθn)=Π(exp(iσnθn))というユニタリ行列になりますよね。

詳しくは「数学」・「物理」・「対角化シリーズ」のカテゴリも参照ください。

総乗Πの中身が8つともユニタリなので、Πの結果もユニタリなわけですが
なるべく抽象性を損なわず、なおかつ具体性も維持しようと思ったら、図のようになったというわけです。

θ1～θ8が、1～8倍の速さで単位円周上を回っています(8つ目はθ8を√3で割らなきゃいけないのでちょっと細工してます)。
ホントは8つの偏角θを互いに素にしたかったんですが、とても捌き切れなさそうなのでやめました。
(あとから考えると捌ききれたのかもしれませんが後述のように結果オーライです)


8つもあると図がグチャグチャになるので、総乗Πの行列式(の絶対値)だけ表示してます。
やっぱりゼロ点が3つ以内ですよね。

1つ1つの固有多項式の絶対値は
1つ目～7つ目までがだいたい一律でこんな感じ(点線の方です)
1+i0にとどまってるのが1つ、時計回りと反時計回りのやつが1ペアです。
 


8つ目だけが固有値の移動方法が違って、こんな感じになってます。常に全部動いてて、常に重解なわけです。時計回りが、反時計周り2重解の2倍の速さで回ってます。
 


4×4以上の行列になってくると、こんな奇妙なのも少しずつ増えてきます。



1～8倍で動く固有値が、たった3箇所に分布するときに、総乗Πの固有値も同じあたりにいることがわかると思います。
2箇所、4箇所、6箇所に分布する際は総乗Πがあまり落ち着かない様子ですね。
もちろんただ1箇所にあつまるときには総乗の固有値3つとも重解になります。



Excelファイルはもうちょっと待っててください。まだ公開レベルまで整理できていません。



しかしなんですか、僕が指しているコレが、ユニタリ群なのか特殊ユニタリ群なのかよくわからなくなってきました。
この生成子でどんなユニタリ行列も作れるんじゃないのかなーって思ってたんですが、実際のところどうなんでしょうか。

wikiの、構造定数にはまったく触れてないし、僕自身理解してないんですよね。
もしかしてただのユニタリ群のことを言ってて、実際この生成子はユニタリ行列生成には汎用性がある(五目)という話なのでしょうか・・・わからんなあ


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ドクター中鉢「特に理由のない悪意などいくらでも転がっている」

↓
今回の仮面ライダー外務省




赤インベス「赤イヤツヲ出セー！コノ屈辱断ジテ緩SAN！」

岡部「お前さてはχ10と似た色同士だろ！？」

新世代(おっさん)メロン中鉢「どういうことだ鳳凰院凶真！？このインベスは一体！？」

岡部「こいつはオーバーヒート。遺跡の奥に隠れてた、ヘルヘイムの支配者だ。」

メロン中鉢「なん・・・だと！？そんなバナナ！？」

岡部「この世界線には、オカリンの森の侵略を乗り越えて生きのこった連中がいたんだよ。こいつらに話を聞けば、俺達の世界線を救う方法だって見つかるかもしれない」

赤インベス「黙ッテイレバ勝手ナコトヲ。貴様ラハ滅ビルダケノ猿。」

メロン(猿だということも解析済みなのか・・・こいつらは何から進化したんだ？)

赤インベス「我ラXXXXトハ格ガ違ウ」


オレンジ岡部「俺の歌を聞けー！！ドゥビドゥビDJ！」







メロン「人類とは異なる知性体か・・・こんなファーストコンタクトは嫌だったようだがな」

岡部「諦メロンのはまだ早い。俺達は出会ったばかりだ」

メロン(俺と・・・お前が？)

メロン「この森を支配(物理？)できるものと交渉が可能なら、人類の生存戦略は根幹から変わってくる」

岡部「あんたが俺の言葉を信じてくれて助かった」

メロン「中鉢だ」

岡部「えっ！？」

メロン「名乗るのが遅れたが、礼を言う前に間に合った。絶望以外の選択肢をもたらしてくれたことに感謝する。」

岡部（これがわらしべプロトコルというものだ！）




メロン「よんどしー！やめろ！」

チェリー「どうしてだ？鳳凰院凶真はユグドラシルの敵だぜ？俺に始末しろって命令したのはおんとじょのいこ！」

メロン「やめろと言ってるだろ！」

チェリー「なんでだよ！」

メロン「行け！鳳凰院！」





ココア「あ＾あ、私にも何か特技がないかなぁ」
リゼ「ココア、12,470円は素数か？」
ココア「1桁違っていたら素数(43)×素数(29)だったんだけどね。あ～あ、私にも何か特技がないかなぁ」
チノ「ココアさん、このレジを質屋OFFで換金してきてください。大至急です！」
リゼ(この魔法使いは大変な社会不安を引き起こせる・・・)
リゼ「パソコンも買い取ってもらおう！」
チノ「えっ！？でも・・・」
リゼ(売ったふりをするだけだ！)
リゼ（ほ、ほら、ココアに持たせたらウサギと妹フォルダが大変なことになるだろう！？）
チノ(そ、そうですね・・・！)「ココアさんは機械音痴、方向音痴のままでいいんじゃないですかねー(棒)」

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３２４はすごいですよ！

まずは３：２４といった観点から見てみましょう！

約分すると１０８です！３で割ってもなおかつ少なくとも２価の３が入ってます！

ちょっとまってください！
３２：４の観点から見てみると、約分して８１ということがわかります。
言わずと知れた８１、８１ですよー！？

４という０価の３で割った商が８１つまり４価の３なわけですよ！！

ということは、１価の３で割った１０８には、２価の３で割ってもなお、いまだ１価の潜在能力が温存されていたということがわかるわけです！！！お台所用、お風呂用、お便所用、全部つけます！



惚れ惚れするデショー！？これがなんと今ならいつでも３２４円！オカイドクデスヨー！




休日まで休みたいです。

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「記録」現象の原材料は「非線形性」？

そういえば、どうして物理現象に記録って現象が現れるようになったんでしょうね？


記録ができる現象の背後にはいつも非線形さんがいる・・・？


メモリスタなんかはモロに非線形ですし

いわゆる「摩擦がなかったら世界は真っ白だった」
なんて言われてる摩擦も、速度がゼロになった時点で速度を抑える力がぱったりとゼロになっちゃうわけですし

磁気記録というものもヒステリシスという非線形からくる現象


磁気を使わずに電気的な素子だけで記録を可能にしようと思えばフリップフロップのようなループで非線形を作ってやるとか
あーでもCCDとかのバケツリレーはどう理解したらいいんだろう？


コンデンサに電荷を補充する現象とかは・・・？



というか、そもそも非線形の定義ってなんなんだろう？いまいちよくわかってないです
微分方程式に非線形が現れたら非線形って呼ぶんでしょうか
ただの比例y=axじゃなくてy=ax+bはすでに非線形なんでしたっけどうでしたっけ？



重力を扱う相対性理論は間違いなく非線形ですけど
じゃあ重力がある時点で記録の要素はあったってことなんでしょうか
もし、もし仮に、この非線形性をほどいた重力があったらどんな感じになるん・・・って考えるだけ無駄ですかね
なんとなーく、重力子の自己言及ループが非線形性を引き起こしているような気がしないでもないんですがどうなんだろう



僕は何か重大な見落としをいつも抱えてる気がします。
グルーオンについて調べていて特殊ユニタリ群にたどり着いて
なんとなく理解したはいいが、実は群とかそういう代数的構造がわかっていなかったり
特殊ユニタリ群に出てくる「巡回群」がわかっているのかいないのかよくわからなかったり

今数学ガールのガロア理論編を読もうとしてるんですけど
なんかこう苦手意識がありまして
でもその苦手意識はもう幻なのかもしれない
苦手意識の思い出が美化されて肥大化してるだけかもしれない



結局また「何がわからないのかがわからない」状態に戻るんですよ


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ゲルマン行列生成器

今日はゲルマン行列生成器を作ってました。
というか整えてました。意外と時間がかかってしまいました。
可視化はきれいさっぱり諦めました。次元が多すぎるのでｪ。
DLファイルはこちら。グルーオンに相当する8つの角度を互いにランダムにしてるので、delボタンを押すたびに刻々と変わりますがユニタリ性は維持しています。(生成子自体はエルミート性を保っています)

行列の大きさを変えると任意の特殊ユニタリ群生成に応用ができます。たぶん。


詳しくは「物理」「対角化シリーズ」の過去日記リンクもご(?)参照ください。


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ああそうだいい忘れてましたが拾ってきた行列アドイン使ってます。
たぶんネットで探せばすぐ見つかります。
複素数の行列演算が色々できますが、固有値・固有ベクトルを求めるあたりはなぜか実対称行列に限られてしまいます。
いちおう関数群のアドインとして使っているので
もしかしたら各自拾ったアドインによっては関数名が微妙に異なるかもしれませんがそんなに違うことはないと思います。ネーミングセンスはだいたい一緒なんじゃないすかね

っていうかセンスが出るレベルにあってはいけないような気がしないでもない

掛け算：mult
複素数：C
スカラー倍：S
足し算：add
引き算：sub
逆行列：inv(erse)
転置：T
エルミート共役：TH
行列式：det(erm)
トレース：tr
固有値：ヤコビなんとかval→対角化されて出てきます
固有ベクトル：ヤコビなんとかvec→縦ベクトルが横に並んでます。valと同順
(べき乗・指数は複素範囲ですし不安なので手計算でやりました)


だいたいみんな頭にMがつきます。


わかんなかったらヘルプ見てください。
英語かもしれませんが数式や図は万国共通なんでなんとかなります

行列式落ちゲー

春の悲願達成祭り！

やっとできたぁ～TдT(涙)
パワポ出来上がってから動画作成までが長かった～長かったヨ～

音声付き動画作るのほぼ初めてだったし、どんなツール使えばいいのかもよくわかんなかったし・・・

とりあえずハカマイリンの定理使ってパワポのキャプチャーしました。
それからゴムで再生しながらキャプチャしなおして
フリーBGMとSE探して
audacityで混ぜて
かろうじてgif寄せ集めて作った動画ファイルに合体させて・・・


これは有限深さの井戸型ポテンシャルでのシュレディンガー方程式の固有値を求める際の条件を計算してます。
過去日記にも貼っておきます。

 
ちなみに２８秒界隈
ボンバーしたところが偶数番目(n+mが奇数)なんで、符号間違えてます。すみませんが力尽きたので放置させていただきました！！！！


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やっとできた～（3Dウゴモデル・人形元データ）

 
ようやく、他人が見ても何やってんのかかろうじてわかる状態まで整理できました～
なう関数ミリ秒取得じゃなくて循環参照にしてあるので、窓８界隈の新しいスペックでもdelボタン押しっぱではなく連打でキャプチャーツール使えば見れる状態にはなります。
zip(元Excelファイル)ダウンロード


当日の日記にも上げておきます。

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昆虫戦隊カメンライジャー

勝利のイマジネーション！（ｷﾘｯ

確かこんなエビいましたよね。伊勢ブラックタイガーでしたっけ？

 
ｺﾞ･ｺﾞ･ｺﾞ･ｺﾞ･ｺﾞ･ｺﾞ･ｺﾞ･ｺﾞ･ｺﾞ･ｺﾞ･ｺﾞ･ｺﾞ




およそ遠しとされしもの────加藤で機械、
見慣れた動植物とはまるで違うとおぼしきモノ達 。
やつらはそんな異形の一群からから君達を守るため、地獄の底からやって来た”正義の蟲”・・・なのかもしれない
 
ほらあれだよ！トリコは分割28クールなんだよ！！
ログ・ホライズンとフェアリーテイルみたいにぬーべーと交互にやったり同時にやったりするんだよ！！




同じ声優さんだったら亡くなってるしどうしようかと思いましたが１期からそんなことはなかった！
 
どーも蟲師のOPナレーションはツッコみ待ちのように見えるのです。
これが海外アニメだったら・・・現代で可能なんでしょうか？？


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アイリ「ポスト・○ットってなんだろう？」「俺はょーじぉみたいの」アイリ「！？」

霧島コウ「やっほーコウだよー」

コウ「ってか昨日のアニメ見たあとの感想なにあれ？履歴書に「アニメ制作関連やってました」って書けんじゃね？NDK？NDK？ｗｗｗｗ」

アイリ「初めて会った時はおとなしそうな子だと思ってたのにむちゃくちゃウゼーーー！！」

コウ「背後霊、やってみました。ﾃｯﾃﾚｰ！居ル夫で見れば見れるよ？あ、アイリちゃんは足ないから居ル夫ごしじゃなくてもよかったかー！てへぺろ！」

コウ「居ル夫ってなんで名づけたんですかー？ねえなんで名づけたんですかー？ご・し・ゅ・じ・んｖ」

アイリ「ああああああうるさいうるさいうるさい！私を殺して君も死ぬーーー！！」

コウ「僕はひと目見たときからあなたに惚れていたんですよ？」

アイリ「私が起動したんだから刷り込み上等でしょうがああああ」




あたりまで見ましたメカクシティアクターズ。スタッフロールが見れなかったんですがこれ絶対シャフト入ってるよね？

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バールのようなもの

気分転換にアンテナを見に行ったんです

放送局のアンテナ。
根元に電力量計が置いてありまして
varって書いてあったんですよ。


すっかり忘れてましてね
VAの誤植なんじゃないかって思って帰ってぐぐったら
VA(ボルトアンペア)：皮相電力の単位(ブイエーだと思ってました)
var(バール)：無効電力の単位
W(ワット)：有効電力の単位

でした。名状伏しがたい単位ですね。


固有電力ってのもあるんですね。知りませんでした。
マッチングが取れてるときの電力、だそうです。



言い訳するとですね、
なんか脳裏で、別の単位としてすでに使われていたような気がしてたんです。
はい、barでした。スンマセン


卑猥で動画な電力が２種類あるってダジャレで散々覚えたはずなのに～







バイセクシャルトランスフォーマー1GBT　IGBT　lGBT

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Excelで3Dモデリング～球を描いてみる～

とりあえず球を1つ、2Dグラフに描いてみましょう。

極座標で描きます。
物理流派の「θ・φ」版よりも、親しみの持てる地球儀流派の「緯度・経度」版にします。

まず、緯度と経度、そして座標x・y・zの項目を設けます。
 


緯度と経度は30度刻みで、緯度は-90～90°、経度は0～360°、緯度を優先しますと
こんな感じになりますね。
 
  

次に、この緯度と経度からx、y、z座標の値を極座標によって決めます。
半径は1、中心は(0,0,0)で、横をy軸、縦をz軸とし、
右ねじに従って手前をプラスのx、奥をマイナスのxとします。(右手系)

x、y、zは緯度と経度から以下のように書けます。

z=sin緯度
x=cos緯度・cos経度
y=cos緯度・sin経度

※プラスx軸からの偏角を「経度」と定義してます
また、緯度はz軸からの偏角ではなく、xy平面からの偏角としているところが物理流派と異なります。
地球儀流派では緯度をφ、経度をθとすることも多いかと思いますが、ここも物理流派とは逆です。

三角関数の中に緯度や経度を入れる際は、°をradに変換してから入れてください。π/180をかけます。
 
  


y-zのグラフを折れ線で描くとこうなります。
 
30°ごとの緯線しか描かれていませんね。

次に、経線も入れてみましょう。
シート1に入力したはずなので、これをコピーします。
その上で、この表に入っているものを「関数」から「ただの数値」にしてしまいましょう。
全部コピーして、形式選択→値として貼り付け。です。


それから、経度項目を選択した状態で、「昇順」に並べ替えてみましょう。
 

今度は経線だけが表示されているはずです。
関数のまま順序を入れ替えようとすると、Excelさんは関数の文字列で並べ替えようとし始めるので、値にしないと都合がわるいのです。
 


しかしながら、よく見るとどちらのグラフにも縦の線がダブって描かれているのがわかります。
太枠で囲ったデータ同士を切り離さないと、折れ線にした時につながってしまうのです。

そのために、行を挿入するのですが
いちいちやっていては骨が折れるので、このようにある程度横に並べてから行挿入すると、一括で行えて早いです。
 


 
こんな感じに緯線・経線が揃います。

グラフ元データの表を、罫線で区別しておくと管理がしやすいです。
これも骨が折れる作業になるので、書式のみのコピペが重宝します。

 
ちゃんと奥行きのあるデータなので、回転できますよ。
遠近法とかのオプションは過去日記参照。今回は省略。
今日のDL用Excelファイルをここに置きます。


この球を6つくらい設けてx・y・zの長さを調整し、中心位置も調整しますと、簡素な人形が作れます。
剛体モデルのように、公転中心と自転の中心を設ける必要があるかと思います。
MMDでいうところのIKボーンというやつですね。






クリックありがたや

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自分で作って自分で萎えたｗ腕とか足とか、付け根を中心に回さなきゃダメだろ
回転させて平行移動して回転させて平行移動して・・・何重にやればいいんだよもう。高々3重程度かな？

報われない積層ｗｗｗｗｗ
20140423追記：zip(元Excelファイル)ダウンロード
あ、わかった
僕は幾何学模様が好きなんだ
だから人間みたいに複雑化・積層化していくとダメなんだｗｗｗ
そうか、幾何学模様か。こういうのを幾何学模様っていうのな。ラノベ見てたっけどんなんかイメージできない俺乙