技術の積層化と、人類の人生の青春

 
どうして学校でうまくいく人に限って社会でうまくいかないのか。
その1つに、「相談できない能力」というのがあると思う。


その昔、涼宮ハルヒは「夏休みの宿題」をワイワイやりたくても全部自分で片付けてしまえるから
そんな夏休みを何通りも「なかったこと」にした。


その昔、岡部倫太郎も、一人で解決できない悩みを助手のクリスティーナに打ち明けたことでシュタインズゲートに到達した。
同時に、このゲームのプレイヤーたちも、想定を超えたのかどうかわからない「あるバグ」について、一人では解決できずにネットで質問してシュタインズゲートに到達した。



何事にもメリットとデメリットが存在する。
それは、「学力がある」ことに対しても同様で
たとえばプログラミングの練習問題をすべてノーミスでクリアしてきた学生は
社会に出てから「デバッグ」でバグが見えずに苦しむ。


バグが見えないどころか、デバッグの一般的な方法論についてもいまいち慣れずに
大好きだった唯一の趣味を仕事に奪われて人生のズンドコに叩き落とされる。



そんなかつての優等生は、当然のごとくコミュニケーションが下手だった。
プログラミングにおいてもそれは同様で
それまで自分なりの技術だけの上に自分なりの技術だけを積層化していったため
他人の技術を借りて積層化することに異常なまでの抵抗があった。




昔はそれこそ、唯一無二の物理法則しか認めていなかった。
だから、情報の世界における度重なる仕様変更が許せなかった。
数年が経ち、宇宙論を経て不完全性定理に興味を持ち始めてきたころから
数学の世界にも物理の世界にも、ルールは唯一無二ではないことを認めるようになった。
MMDのボーンとかの仕様がリアルでの物理法則とちょっと違うのにも少しは慣れた。




しかし彼は薄々気づいていたのだろう。
複数のルールが許せないのは単に性格によるものだと。
しかも、ただ単に慣れていないせいだと。



潔癖症だった彼は、PCを組み立てる夢があった。
真性半導体をドーピング半導体にして接合させるところから始めたかった、らしい。
そんな彼は、マイコンの授業で技術積層のミッシングリンクに愕然とした。



それでも彼はすでに、Excelの使い方を学んでいた。
だいぶExcelにハマっていた。
多少、妥協したのだろう。彼にとっての第二の故郷が、青春時代だった。


Excelにハマっていたおかげで
プログラミングができなくなってもシミュレーションがある程度可能だと気づいた。
セルが一覧できるので、デバッグもしやすかった。




＝＝＝＝＝＝＝
彼にとっての青春時代はExcelが主だったわけだが、
世代や人によっては、青春時代にハマったものが異なってしかるべきだ。
青春時代にハマったものなら、元々の潔癖症をある程度抑えられる。
そのハマった何かが、大きなチャンスとなって、人生の行き詰まりで「よい逃げ道(バイパス)」になってくれることもあるだろう。



人類は、完璧を求める中二病を患っているからこそ、人類たりえるのだ。
人類の定義：中二病に感染した生物。

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童心に還る俺まじかっけえ

こういうのを六角形だったら６と打てば表示、五角形だったら５と打てば表示させたい。グラフで。
おそらく極座標に頼ることになるのだろうが
偏角の変数な動径方向の関数をどう定めればきれいにいけるだろうか。


そりゃぁまあ、頂点のみの表示なら楽だろうよ。
しかし線の部分もあえて表示しなければいかんニーズが出てきたんだよ。


x^n+y^n=1とかやれば、角丸の四角形とかは、「媒介変数：偏角」で描けるんだけどなー
このカッケーを一般化したい。



やーそれにしても風邪がひどい。
今日こんなんしか出なかった。
もう寝る。


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備忘録でお茶を濁す休日シリーズ～パウリ行列で3D回転シミュレーション～

Σ(x'm・σm)=(cσ0-isΣ(nm・σm))(Σ(xm・σm))(cσ0+isΣ(nm・σm))
たぶんこう。

Σは添字整数mを1～3まで足す
σmはパウリ行列、σ0は単位行列
cとsは三角関数
三角関数の中の角度は、回転させたい角度θの半分(θ/2)
iはたった１つの虚数単位
nは規格化された回転軸の法線ベクトル
xとx'はそれぞれ回転前後の3Dベクトル

元々はこうだったが、
-iΣ(x'm・σm)=(cσ0-isΣ(nm・σm))(-iΣ(xm・σm))(cσ0-isΣ(nm・σm))
たぶん左辺と、右辺ど真ん中の-iが約分可能だから１行目の式に簡略化した。




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パウリ行列とクォータニオンの関係性、すんませんかなりありました。

似てるけど微妙に違う。そう思っていた時期が僕にもありました。

クォータニオンの3つの虚数単位大文字のI、J、Kを
パウリ行列の小文字の1つの虚数単位iと、パウリ行列σで表すと

I=-iσx
J=-iσy
K=-iσz

U1=(t1;x1,y1,z1)=(t1;V1)とU2=(t2;x2,y2,z2)=(t2;V2)の積は
U1U2=(t1t2-V1・V2;t1V2+t2V1+V1×V2)
  


完全に一致。
iのn乗だけズレてたなんてこともなかった！

な、なんだってー！？
マイナスのiをかけて定義する。その発想はないわ・・・そのわずかな情報がプライスレス＞＜そわぷ


こうするとおそらく、Q=(cos(θ/2);nsin(θ/2))とその複素共役Q*でサンドイッチで、Excelでもジンバルなしの回転系がすんなり行けるわ。なんてこった。


最初から数式イヂッタで追えばよかったorz手で書くと字ぃ汚ねーわ途中で間違えるわ。
むやみに紙媒体に頼ったおかげで風邪引いたわ。くそう



 
そのうち↑コレ↑も適切に処理してやっからな！覚えてろよー！！

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虚数単位が3つなくても、ジンバルロックが外したい！

 (σ回ω･`σ)↑↑↓↓→←→←LR
そういう夢なら、昨晩見たばかりです。起きている時にね。


クォータニオンを使えば、任意の回転軸で回転させることが可能、
とはよく聞きますが
クォータニオンを使うには虚数単位が3つある演算体系をオブジェクティブに作らなきゃいかんわけで。


プログラミングから離れてもう何年も経ってしまった僕としては
マクロを組むのすら辛い・・・


そう、マクロ。マイクロソフト・オフィスのマクロのコードを組もうとしたのももう何年も前
そのときのVBがオブジェクト指向に対応していたのかすら僕はよく知らんのです。


いや・・・これだけ流通しているオフィスのマクロに使われているVBがいまさらオブジェクティブじゃない・・・なんてことなくないですか・・・？


でもそういうプログラミング言語っていつからどんな風に変遷していくもんなんでしょうね。
後付で変わることってあるんでしょうか。



と、とにかく！僕のプログラミング技術はおそらく数世代も前の
オブジェクト指向でつまずいたっきりのものなので
今はどちらかというとマクロを使わないExcelでのシミュレーションのほうが慣れきってしまっているんです。


そんな生のExcel(ただしマトリックスアドインは使う)でできることといえば
せいぜい複素行列演算くらい・・・


つまり・・・虚数単位1個の系統しか使えないんだよ！たぶん


じゃあお前、クォータニオンの代わりにパウリ行列使ってなんとかしたら？

・・・その手があったか！


って気がしないでもない今日このごろ・・・

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2D波紋、できたっちゃできましたが

 
こしらえるだけで今日は力尽きそうです＞＜


朝も仕事ありましたし、これからまた仕事ですし
作業中に冷や汗出たらアカンサインですわ。


念願のホヘインス(2重スリット)もやってみましたが、もうキャプチャーする気力もゼロっす
gif化すらとんでもない


にしてもなんでこんなにノイジーなんじゃー
おそらく格子状に演算してるのと、
波動としての性質上境界条件などから周期的にならざるを得ない点から
ナイキスト的な意味のないデータが必然的に現れてるんだとは思うんですが今日はこれ以上わかりません


循環参照のおかげで縦50行・横50列・シート6枚のExcelで済んではいるものの
限界を感じますね、はい・・・。



こんなんで水素原子ちゃんとか出来るんかホントに・・・
とはいえもう10年以上前にExcelで作った本を見たことがあるので
量子論の波動関数のほうはそんなにスペックいらないのかもしれないと期待してみる

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時間的余裕あり気味、精神的余裕なし！

パウリ行列はもう書けることがあまりなさそうな気がするので意気消沈してます。
ちょっと意欲が低下気味なので、気分転換がてら新しいテーマに着手しようかなと思いまして。
といっても朝ごはん食べたあとに昼ごはんまで寝ちゃったのが悪いんですがｗ
イモノチベーションかむばーっく！


二度寝やっちゃうとよくないんですよねー
無駄に首は凝るし
時間はなくなるし、昼ごはんまで一向に起きないし。
肉体・精神・時間、３つの意味で余裕を失います＞＜

 
せめて計算とは関係なくても運動しろっつーの！(大昼寝大会って大２つ絶対入ってるよね)


２０時をすぎて、書ける日記なんかないかなんかないか！？って慌てふためいてます。

新しいテーマといっても、Excelで以前シミュレーションした波動方程式(インピーダンスマッチング境界条件とか)のあたりを、2Dから3Dにするだけです。
だけですって自分で言っておきながら、寝る前のこの時刻で適切に処理を進めるのは難しく
朝の爽やかな脳がほしいです＞＜いちおう、意欲を出せるだけの準備はしたつもりです。


明日のー自分をー信じてー！！(信じるなよ・・・)ｹﾞﾛｹﾞﾛｹﾞﾛ・・・|||orz

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間　違　え　た！3Dなんて恐れ多い！！2Dto3Dじゃなくて、1Dto2Dの間違いでした！！！！１
強いて言うならgifアニメ化するから、1Dto2D空間だけど、2Dto3D時空ってことっす。

きれいな～「行列の指数関数」を見える化！

指数関数に行列をぶち込む際に必要になってくる固有値・固有ベクトルや対角化の問題

ネットの海に転がってる、とあるExcelの行列アドインを追加すると、固有値・固有ベクトルを算出してくれる関数が得られるのですが、残念なことに実対称行列だけが対象なのです・・・掛け算は複素に対応してるのになぁ

非対称までとは言わずも、せめてエルミート行列に対応してほしかった～なんて欲を言っても仕方ありませんが

手計算で算出した固有値・固有ベクトルを与えることで
同じアドインで検算なら可能です。
(ソルバーがどうとかいう話もあるようですが僕はまだよくわかりません＞＜)




たとえばパウリ行列のy成分σy の固有値は±1で、
固有ベクトルは固有値+1なら
固有値-1ならなので
対角化のための行列Uは になります。


このUの逆行列をExcelで求めてみましょう。

オフィス付属の拡張アドインでも、逆行列を求める関数Minvがあると思いますが
今回は要素が複素数なので、行列アドインに入っているMinvC(エム陰部しぃ)を用います。
Mは行列、Cは複素数の頭文字、invは逆の頭3文字です。

引数が2つあります。2つ目の引数は、複素数をどう扱うのかを決めるオプションです。
 
このような形であれば1を


このような形であれば2を


このような形であれば3を選んで末尾にシャープを押してください。


ただ、3の場合は文字列として扱われるのであまり便利とは言えません。
また、1は省略することが出来ます。
インプットもアウトプットも同じ形になります。


今回求めたいのはU=の逆行列なので、
 このように記述してMinvCを適当なセルに打ち込み、引数の2行4列を範囲選択し
代表を算出してから、
求めたい範囲である2行4列を範囲選択して、ctrl+shift+enterを押すと、行列全体に反映されます。
 
結果はこうなりました。
U^-1= 
つまりこういうことですね。


それではこのσyを対角化してみましょう。


行列の掛け算関数Mmult(えむマルチ)もオフィスにはついているのですが、これも複素数対応ではないので
アドインの関数MmultCを使って計算します。使い方は逆行列と同じですが、当然掛け算は2項演算なので、引数が1つ増えます。

U^-1×σy×Uと、3項演算(3重積？)なので、慣れてきたらMmultCのネスト(入れ子)にしてしまいましょう。
MmultC(U-1,MmultC(σy,U))

パウリ行列がエルミートかつユニタリなので、しっかりと絶対値が1で実数の固有値が、+1から-1の順に算出されているのがわかると思います。



あとは先日の日記のとおりです。

第一段階として、パウリ行列σyを、そのままべき乗展開した級数近似を見てみましょう。

0乗(単位行列)から10乗の項までの和を取っています。
4乗から8乗までは略してあります。
左のブロックではべき乗、真ん中のブロックではべき乗の結果を階乗で割り
右のブロックでは累積させています。
角度θ=180°で、しっかりと、マイナスの単位行列-Eになっていることがわかります。(オイラーの等式)
純虚数成分と非対角成分がほぼゼロに収束してることがわかるかと思います。




第二段階として、対角化してからの級数展開の様子を示します。
固有値が±1なので、それに虚数単位と角度iθをかけて計算しています。
左・中・右のブロックは先ほどと同様、べき乗を→階乗で割り→累積
最後に下の段で対角化のためのユニタリ行列で挟んで掛け算しています。

対角化して計算しても、結果は変わらないことがわかると思います。


対角化した際に便利な計算として、第三段階の級数展開を示します。

もはやスカラーです！
級数展開が解析的に計算できてしまいますので！結果が回転行列そのものであることがわかってしまうと思います！



そんじゃ任意の角度θで回してみましょうか。

第1段階　行列そのままべき乗
cosやsinが1を超えたら赤くマークしてます。
左が第1段階、右が第3段階でのグラフをモニタしてます。
どうも虚部がちょっと上方修正されて算出されてる感じでしょうか。


第2段階　対角化しつつもべき乗は数値計算する
これも、cosやsinが1を超えたら赤マークしてます。
10乗の項までだともう少し収束が足りない感じでしょうか


第3段階
綺麗に円を描いていると思います。


まあよかったらDLでもして遊んでやってください。
注意1：matrixアドインは各自で入れることになると思います
注意2：回転させるのに循環参照を使っているので、動かなかったら設定しといてください。
(第2、第1段階の角度θは第3段階を参照してます：同期)


回し方を100万くらい×(now-today)に変えたこっちも用意しておきます。
循環参照でつまずいたら使ってやってください。(ただしアドインはどうにもなりません)




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DQN苗字になる方法

 
しょうもない誇りと引き換えに、読みやすい苗字になれる数少ないチャンスを棒に振りましたことを今も時々航海するのです

ちなみに独身ですし、嫁入りする気もされる気もありません。(だが男だ)






L・ψ・￢　β宴ー
　卍=3　ｼｭﾀｯ　(作品が作品なだけに、なるべくカブらない苗字にしよう→法改正→わんさか！)

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香具師なう。

文字数が2文字も増えました。


といっても秋か夏の話なんですけどね今年の。
まだ還元されてない濃縮されたココナッツミルクにテキトーな比率でガムシロと牛乳を混ぜていただくのが好きなんですが
どういうわけか毎回飲んだ後にアイモテアーがするんですよ
まあそれでも飲むんですけどね







「果実型鎧武、ドリアン？」
「そ。素材を活かして調理するとン万円はくだらないそうよ。」
「フン・・・面白い・・・」
「違う！くだらないの！」
「でもこれ生きながら調理されてますよね？」
「だから生け捕りにするのよ。いい？焦がすんじゃないわよ！」
「捕獲レベルは？」
「1円玉100万枚ってところかしらね。」
「うわ・・・この通貨システム持ち歩きづらそう・・・」
「ペンシルisバストっていうでしょ」
「すでに1つの品に2種類の値段がついててシンプルも○ンコもないわ」

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耳が２つ、閉じる瞼、ありえないことだよね～

未確認飛行少女


亜人っているじゃないすか。彼女らはどのキャラも耳を隠すようなデザインにしなきゃならんのかと心配で心配で・・・




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３１×１６＋７×２＝５１０

 
後藤慎太郎、２代目。ひらがな３つで５１０
呼ぶときはTOEちゃん。




＝＝＝＝＝＝

Which　is　HONTAI　of　AMPAMMAMM？
～パンじゃないから照れくさくないもん～

「食饅マン」は燃料と本体が不可分であると暗に示す哲学アニメ。
香りはあるが、味がしないのでバターをつけるとおいしい。カラーは白。

NMR型の量子コンピュータだったら、燃料のアンパンに演算させながら、表情操作機能も持たせることが可能かもしれない。
可分じゃねーか！



しまっちゃうおばさんナーガが人類をコンピュータの中にしまっちゃった本当の理由は
眼精疲労と腱鞘炎であった。

痛みを感じないのに疲労と病む感覚だけは得られるので不思議に思ったのもあるが
主な理由は単に疲れただけで
「仮想世界の中で電子機器をいじって仕事や趣味ができたら楽だろうなぁ～」という妄想によるものである。

だがそのときまだナーガは気づいていなかった。
「幻体」というれっきとした「体(リソース)」の存在に。
確かに設定上疲れはしないが、「考えているだけ」の状態と、「考えながら体を動かす」状態は違うのだ。
明らかに「ペンを持って計算している(イメージです)」ほうが、「考えているだけ」よりも具体的に思考が捗るし、漠然としているときにも、何が問題なのかがはっきりする。

ナーガは幻体になって初めて気づいたのだ。結局は心と体は不可分なのだ、と。
２５話にしてデカルトの劇場はベタすぎる！だが、そこがいい！！ 


アナログ量大嫌いのトポロジカルな神経質ドジっ娘として定評のあった、
リアルだったころのナーガさんはリソースをほとんど失っていた。
彼女らは極度の先天性ぶきっちょ症候群で、日常ごとに指とか腕とかを切り落としてしまうのだ。
そして気づかない。回復だけは人並み異常に早かった。



アニメの視聴者が見ていないところで現実世界にホログラムを出して演出しても虚しいことに気がついた。
まさに、「その目、誰の目？」である。
現実の地球上のいたるところにホログラム映写機がある。実に無駄な機能である！万歳！！




キスしてグッバイキーン

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呪われた体液を持つ一族・・・彼らの唾液は味方にとってはいい意味で致命的であり、敵にとっては非常に悪い意味で致命的なのである！
唾液を固めて作った剣に、唾液を染み込ませて強力化したその武器は、振り払うだけで唾液が飛散し、まさに無敵であった・・・。
血の描写が完全にアウトになった近未来、新たな表現方法を模索するが故に編み出した脱法かつ変態的必殺技である。

ベクトルとクォータニオンとパウリ行列とガンマ行列とガンマ関数と次元のミョーさとセカイの支配構造についてぶつぶつ言う

 
ある日のことです。パウリ行列同士の掛け算をしていたのです。
たとえばσx・σyをしたらiσzと、純粋にσzになるんじゃなくてiがかかるんですよ。純虚数なんすよ。
あれぇ～？って思ったんです。

x方向の単位ベクトルIとy方向の単位ベクトルJをかけたら単にKじゃないですか。
iKじゃないじゃないですか。


なんで虚数単位iがつくんだろう？
と思って試しに、σx＋σyとσxを掛け算してみてわかったんです。


あ、そうだ思い出した
σx同士の積つまりノルムは単位行列E。つまり実部のみ。


ってことはですよ
実部が内積(スカラー積)で、虚部が外積(ベクトル積)なんですよ。


あーこれはどこかで見たことがある。
4元数、クォータニオンですよ！


クォータニオンのI、J、Kは単位ベクトルではなく3つとも虚数単位で
I・J=-J・I=K
J・K=-K・J=I
K・I=-I・K=J
で、ある意味虚数単位がかかった単位ベクトルといえるかもしれません。
(虚数単位自体が単位ベクトルのようなものになっていますが)


しかし通常扱うベクトルと異なるのは
I・I=J・J=K・K=－1なのです。
1ではなくマイナス1なんです。
ここはパウリ行列とも符合が異なりますね。
パウリ行列だと σx・σx=  σy・σy=  σz・σz=+E
ですからね。


クォータニオン：
I・J=-J・I=K
J・K=-K・J=I
K・I=-I・K=J


パウリ行列：
σx・σy=-σy・σx=iσz
 σy・σz=-σz・σy=iσx 
 σz・σx=-σx・σz=iσy 
と、虚数単位がつくのにも注意なんですよ。


しかしパウリ行列とクォータニオンが類似していて従来のベクトルと異なる点は
内積と外積を両方含んで（元は複数ですが）1つの計算結果として表すことができる点です。
だからベクトルと違って割り算もすんなり計算できちゃうんですよ。(有理化が必要でしょうけど)


つまり、任意のパウリ行列(t1;V1)と(t2;V2)で表したもの(V1とV2は普通のベクトルと考えていいです)
の積が

なのに対して

任意のクォータニオン(t1;V1)と(t2;V2)同士の積が

こうなって、微妙に係数(虚数単位)や符合が違うんですよ。
それ以外はそっくりなんですけどねぇ。
結論：ベクトルとクォータニオンとパウリ行列系は全部微妙に違う。

というか、パウリ行列とクォータニオンの関係がやっとわかってきました。
単にざっくり似てるって意味だったんですね。

「直交関数とベクトルの直交」に似たような数学的ざっくり感ですね。



＝＝＝＝＝＝＝
 
にしてもミョーに思うのは、なんで1つハブられながらも4つワンセットでｱｯｶﾘｰﾝなのかってことですよ。
3次元空間(4次元時空)を強いられてるんですか我々は？
物理が数学に強いられてるんですか！？
2行2列の中に複素数を入れて4元数っぽいのもなんっか変ですし
この実数や単位ベクトルみたいなオマケは一体なんなんですか？
時間でいいんですか違うんですか。

 
ガンマ行列や計量テンソル見てても思うんです。
時間が空間とちょっと異質なのはどこからなのかと。
パウリ行列の時点で既にあなたとは違うんですって主張してるのか
それともガンマ行列の時点で主張してるのか


「仮に5次元に住んでいる人がいてこれを5次元人だとしましょう」
って仮定がそもそも成り立たねーし！そんなもしもはない！存在しない世界なんだぁ・・・ってことなんすかどうなんすか！
にしてはガンマ関数は非常に具体的に高次元を匂わせますよねぇ・・・セカイは人類をぬか喜びさせるのが好きなの？

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GJ部の森さん

26話

これはありとあらゆりますわ～あらゆるか～あらゆりますよなぁ～



キララさんのキャラが、なんかこうもったいない感じがしたんですが
最終話でのシャイニングフィンガーぶりを見て、AKYで仕組んでたのかなーって思えてきました。
顔が昆虫




もしかしたらこう思ってるのは僕だけなのかもしれませんが
GJはサザエさんループではなく、たった1クールのたった12話で卒業までこなしてしまったわけですが
我々自体には永遠性を求めるというかノー諸行無常、グッドライフっぽさを求めるというか
そういうのがあるような気がします。
終わりがあってほしいのは我々のほうではなく物語(作品)のほうで
終わりがあってほしくないのは物語(作品)ではなく我々の方だったのかもしれません
が、それもまた(個人の？)風潮の1つなのかもしれません。





そういうのを考えていたら
急にあの妙に味わいのあるOPがさらに感慨深いものに思えてきまして
同じく日テレで放送した「帰宅部活動記録」OPも乙女新党と分かった日には
なんでだろう擬似的な「あいつらが帰ってきた～」感をFOUHUTUとさせるんですよ
てっきりGJ部のほうもキャラソンだと思っていまして
本編のキララのわざとやってるのかわからない棒っぷりに騙されたのかわかりませんが
なんかへったくそだなぁって思ってたんです。
帰宅部活動記録の「美食屋みたいにモンスターと互角に戦える部員さん」の滑舌同様。

これは新しいビジネスなんじゃないかとも思えてきましてね
キャラソンでもなくアニソンシンガーでもない、アイドルが同じメンバーで他のアニメの主題歌を歌う
それもへったくそな感じで！
そうしたらなんか、生きている化石アニメでもない、2期3期・・・続編量産アニメでもない
違うアニメなのになぜかなんか遺伝している不死性が編み出せるのではないか
そんな錯覚を与えてくれそうな気がして。

やーそれにしても歌詞が気になりますね。
ホントにGJ部のこと思って書いてるんだろうか？
って思ったんですがwikiを見たら「思って書いた」とはっきり書いてありますねすんません。

いやしかし、これはですよ？むしろ、
書かれていることそのものが、「少なからずファンが違和感を持った」という現れなのではないでしょうか！？








深夜じゃないよ！夕方6時だったよ！！

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パウリ行列を指数関数にぶち込んだらオイラーの公式の行列バージョンになったった

数十億人の未来のためとか言われてもわからないが、明日の自分の趣味(パンツ)につながる技術なら、つなげたい。

固有値・固有ベクトル
↓
対角化
↓
指数行列

・・・なんだかわからないけどとりあえず紡がれていくバトン・・・


お久しぶりです。対角化シリーズです。こんにちは。


10年以上前に習ったはずの、「指数関数の中身が行列」に、ようやく自分の知識がつながってくれました。

中身が行列ってお前・・・どんな概念だよ
ということになりそうですが
中身がスカラーだったときも、指数関数を定義する際にテイラー展開を使ったじゃないですか。
exp(x)=Σ(x^n/n!)

このxを行列Aに応用すればいいだけなんです。

つまり
exp(A)=Σ(A^n/n!)

と、ここで行列Aのべき乗が出てきました。
行列の掛け算は過去日記で、掛け算に都合のいいように「対角化が可能」という話をしました。

この「対角化」には「固有値」と「固有ベクトル」を用います。

対角化された行列は対角成分しかないので、その対角成分同士の積を、まるでスカラーのように計算することができます。
もちろん、行列Aのn乗などの「べき乗」においても有効なのは言うまでもありません。


そこで、
exp(A)=Σ(A^n/n!)のAを
A=UλU-1
という、ユニタリ行列Uとその逆行列、そして対角行列λの積で表現してやれば

exp(A)=U(Σ(λ^n/n!))U-1

で表現することが可能になるのです。

とりあえず、以前対角化するときにネタに使用したフィボナッチ数列の行列表現 を用いて検算をしてみましたが、検算以上のものは見いだせず、ちょっと萎えてしまうところでした。


なんかこう、結果が綺麗に見えるものはないかと考えていたところ
パウリ行列σ1～3なんか適任なんじゃないかと思えてきまして
じゃあもしかして、eのπパウリ行列乗ってマイナス1的な何かになるんじゃねえの！？ぐうぇっへっへ・・・

と思ってやってみたんですが、ハイパボリックの中身πなんて面白くもなんともない・・・



そこでもう少し知恵を絞って
あ、そういえばパウリ行列同士の積ってなんだろう？
という疑問を抱いたことを思い出し
クォータニオンの積と照らし合わせると、実部がスカラー積、虚部がベクトル積にほぼ相当しますよね
ってのを思い出して

あ、じゃあ
eのπパウリ行列乗ではなくて、eのiπパウリ行列乗だったらなんか面白いことになるんじゃね！？

っつうわけで計算したら
 
eのiπパウリ行列乗はなんと、マイナス単位行列だったのです！σ1～3すべてです！
exp(iπσ_n)=-E　n：1～3　　　ﾃﾞﾃﾞﾄﾞﾝ！
オイラーの等式、行列バージョンｷﾀｰｰｰ！



オイラーの等式と打った時点で、じゃあもうお前時代は「等式」じゃなくて「公式」だよな！

ってことで、πだけではなく任意の角度θで一般化しましょう。＾＾


パウリ行列は以下のとおりです。i,j,kはそれぞれx,y,z軸の単位ベクトルです。
(新しく図を用意するのが面倒なので、虚数単位なのか単位ベクトルなのかは文脈で判断してくださいｗｗｗ)
 


固有値は3つとも±1で、異なるのは固有ベクトルのみです。

固有ベクトルを算出して、対角化のための行列を用意しましょう。
 
3番目のパウリ行列はすでに対角化されているので、対角化のための行列UはUの逆行列と同じ、単位行列です。
(ユニタリと言いながら2で割るのをあえて最後にいっぺんに行っています
こういうのはなんでいう名前なのかと思いましたが、もしかして対角化行列と対角行列は別のものなのでしょうか？)


では、それぞれのパウリ行列を指数関数にぶち込みましょう。
20131116追記：なんかおかしいと思ったらiθが浮いてますね。ちゃんとm乗しましょうね(iθ)^m

20131117追記：↓ここのユニタリの逆行列U^-1も、右側のiと-iが逆ですねすんません↓＞＜




すると、回転を表現する方法が、いわゆる回転行列(σ2のとき)以外にも種類があることがわかると思います。みな個性的で可愛らしいですね。＾＾
パウリ行列の中で、唯一中身が純虚数のものを指数関数にぶち込んだら、唯一実数の結果が得られたというのも、実に皮肉な感じで興味深いです。




少しずつ計算の分野がニッチ化してる気がするんですね
「パウリ行列」で画像検索かけると少ないんですよ。
それなのに画像を間違えたまま載せとくのもどうかと思いつつ
でもここがブログだから差し替えるのもどうかと思いつつ
でも画像検索してくれた人がブログの訂正文を読まずに式を当てにしてくれてしまったら申し訳ないなぁ
じゃあブログでやるなよなんて言わないでくださいよう
僕の日常いつもこうなんですから・・・

といいつつ、「ここだけの話はここだけで」効果を期待して文字を小さくしてみる戦略的矮小・・・

eのiπパウリ行列乗のパウリ行列=-Eが1から3なのか0から3なのか迷っていたんですが0ですね。
単位行列の指数関数は2番めの成分が逆回転しないだけで、回るっちゃ回るんですよ1番目の成分と同じ方向に。

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