行列のランクの意味がようやくわかった

定性的にも定量的にも。

定義が抽象的すぎて、何をしたいのかよくわからなかったが
言ってしまえばしらみつぶしの加法標準形だ。

ランク落ちしてた場合は、1つずつ次数を低くして、
ほぼほぼ全部の組み合わせを試して
ゼロにならなかったやつのフラグを立てて、
そいつらのORを取ってゼロじゃなかったらアルゴリズム終了！

それでもゼロだったらさらに次数を下げてやり直す！それだけ！


これを、正方行列以外の、長方形の行列にも拡張できた。

これらが定性的に何を意味するのか、それは


「連立方程式が実質何本あるのか」
に尽きる。

変数が4つあって、4本連立してるように見えても
実はうち2本は同じ式で、実質3本しかなかったら解けなかろう！
そういうときのために、ランクの調査をする。
4じゃなくて3だったらこれいつまでこねくり回しても解けねーぞと、忠告しておく。

この場合は正方行列なんだけども


たとえば
変数が4つあって、3本連立してるように見えても
実はそのうち2本は同じ式で、実質2本しかなかったら

っていうのが、長方行列(m行n列：m≠n)に拡張したランク計算。

逆に、横長でなく縦長だったら、定性的には

変数が3つあって、4本連立しているように見えても
実はそのうち2本は同じ式で、実質3本しかなかったら

ということができる。

ん？あれ？この場合、解けるように「なる」ってこと？
パッと見冗長して見えた連立方程式が、案外まともな連立方程式だったってことになるのか


いいのかなそれで？
変数の縦ベクトルを右から掛け算するとは限らないじゃんか
左から横ベクトルを掛け算するかもしれないじゃんか・・・？
その場合は転置を取ってからランクを求めるから大丈夫・・・とか？

俺はモグリなんでね、あの数式の名前をまだ知らない

昨日、大学の図書館で線形代数の本を読んで遊んでいたら、思わぬ収穫がありましてね
20170709のブログ「ダルいのでヘキサボナッチ備忘録の続きを。」などに書いてた数式、

「ファンデルモンド行列式」って名前なんだそうです！


まあたいていの、僕がいつもやってる数式や定理の「車輪の再発明」系のものには
すでに名前がついていて当然とは思っていましたが

困るのが、式だけ知ってて名前を知らないことですよね。

ツイッターなどで盛んに議論されてても、
独学でやってたモグリの数学好きには、結構輪に入れないときがあると思うんですよ。

それも、多数のFFさんがいると、いっぺんに情報が流れ込んできて、
モグリやってる人に限って、そういうどばーっとしたのに弱いと思うんですよね。

そこで思ったのが、こういう方式

たとえばウルフラムαで

det{{1,1,1},{a,b,c},{a^2,b^2,c^2}}

とかって入力したら、

これだったら「ファンデルモンドの行列式」とかって
データベースの一部に名前情報が表示されるシステム。

どばーって情報が入ってくるのが苦手な人にも
コツコツ情報が入ってくれるスンポー。


こういうのほしいなーって思うんですよね。



名前から式は結構簡単にwikiれちゃうじゃないですか。
でもその逆、式から名前を知る際って
昔でいうところの「電話番号から電話帳で住人の名前をストーキングする」くらいの難易度があったと思うんですよね。

ある種の公開鍵暗号方式といいますか、そんな感じの一方通行感があると思うんです。

その敷居がかぱって外れれば、結構いい方向に向かうんじゃないかと思うんですけども。





あと、パフィアン行列とかってのも
なんか見おぼえある式のような気がしました。
シンプレティックはー・・・まだちょっと早いかなーって
昨日は思ったんですが、今さっき自分のブログで20170709のブログを探す際に
案外遠くないのかもって思ったりしましたね。

確認済異世界宇宙人ジレンの霊

おわかりいただけただろうか。
ほらあなたのお布団にも、ジレン型宇宙人の盗触器が！
タイムマシンで監視していたら、ニヤニヤしたジレンのきもー可愛い変態紳士姿が丸見えに！
キャージレンさま今日もキモカッコいいですわー！！いつでも誰でも六感全部でロックオンしてちょうだい！なんつって！

オカピの蹄と染色体の整数論

ボーズ・アインシュタイン！ベストマッチ！
フェルミ・ディラック！ベストマッチ！

パウリ「・・・。さあ、実験を、終わろうか！」

任意軸伸縮行列の、Excelでの実装

昨日の「任意軸伸縮行列」をExcelに実装して遊んでみましょう。


とりあえず、伸び縮みさせたい立方体を、a,b,c列に作ってみます。

a,b,c列をそれぞれ、x,y,z軸の値とします。

右をプラスのx、上をプラスのy、奥をプラスのzと定義しますので
順番に、手前面、奥面、下面、上面、左面、右面となります。

 


これらのベクトルに伸縮のための変換行列

を作用させたいので

この図の赤枠内のように、行列を作ります。
a=1、b=c=0、H=2を例にします。つまり、x軸方向に2倍する伸縮です。

a,b,cのそれぞれのすぐ下の行には、実数何を入れてもいいのですが、
さらにその下の行では単位ベクトルのa,b,cになります。
そのために、a,b,cの右下で、√(a^2+b^2+c^2)をやっています。
厳密には、sqrt(sumsq(aからc))という計算をして、
a,b,cの2行下で
規格化前のa,b,c/[sqrt{sumsq(aからc)}]
を、複合参照を用いて計算しています。


本来ならこの式

のように、列ベクトルに左から変換行列を掛け算するべきなのですが、
Excelの仕様の都合で
行ベクトルに右から変換行列を掛け算しています。


そうやってできたベクトルたちはこの図の赤枠の中のようになります。
変換前の左のベクトルと比べると、変数xの「1」だけが「2」に変わっていることがわかるかと思います



ビューアとして、この次に遠近法のための計算を行います。
変数zに5という下駄をプラスしてzが負数になるのを回避し、
適当なズーム倍率A=1を用いて
横軸にAx/z、縦軸にAy/zを計算してグラフにプロットします。


このようになります。
右が伸縮変換前、左が変換後になります。
横つまりx軸方向に2倍に伸びていることがわかるかと思います。

同様に、x,y,z軸方向に、-2.5倍から+2.5倍までの伸縮を、gifにしたのが下の図です。


自分のやり方では
たとえば空いているセル
A3セルとかにnow()-today()を入れます。0から1までの、時刻のシリアル値をただの数値にした値が表現されます。

A4セルに動かす速さ70000とかを入れて
A5セルでA3×A4を行います。

それから、Hと書かれたD3セルの隣のE3セルに
=3*sin(A5)
といった式を入力して、動かして
テキトーなキャプチャソフトで、連写してます。


次に、
v=(a,b,c)=(1,1,0)/|v|(xy平面内での伸縮)
v=(a,b,c)=(0,1,1)/|v|(yz平面内での伸縮)
v=(a,b,c)=(1,0,1)/|v|(zx平面内での伸縮)
v=(a,b,c)=(1,1,1)/|v|(一般化伸縮)

の場合をプロットして動かしてみます。
sqrt{sumsq(aからc)}が1以外になって、2行目の単位ベクトルが1行目の値と違ってきているのがわかるかと思います。

ローレンツの伸縮公式(仮)

ロドリゲスの回転公式は以下のようなものだった。

行列指数関数の中身Rが歪エルミート、とりわけRの中身が実数つまり交代行列なので、
できあがる行列指数関数Mそのものは、ユニタリ行列となる。
それも、
「Mの行列式の絶対値」abs(detM)=1
ではなく
「Mの行列式がそのまま」detM=1

1になるので、「特殊」ユニタリと呼ばれる。

この行列が物理的にどのように意味しているかは、「任意軸の3D回転」と思えばいい
ある3次元のベクトル(x0,y0,z0)があって、その長さをθとおくと
θ^2=x0^2+y0^2+z0^2となるので
(a,b,c)=(x0,y0,z0)/θ
と定義すると、この(a,b,c)は(x0,y0,z0)と向きは同じで、長さだけが1に揃えられた、
単位ベクトルとなる。

この単位ベクトルを回転軸とし、
θの角度に比例した回転をさせる
それが、ロドリゲスの回転公式の意味するところだ。


じゃあ、この行列Rが交代行列ではなく、実対称行列だったらどうなるだろうか？
複素行列でいえば、
「行列指数関数の中身が歪エルミート行列ではなくエルミート行列だったら？」

という意味である。

歪エルミート行列はエルミート行列に虚数単位iを掛け算することで作りだせるので
言ってみれば、行列板の実数がエルミート行列で、純虚数が歪エルミート行列といえよう。
純虚数が中身の指数関数はオイラーの公式から、複素平面での単位円状にある複素数であるといえるし
実数が中身の指数関数は、単に実数であるといえる。


これが実は
行列指数関数にも同じ理屈が通用し
中身Rが歪エルミート行列だったら行列指数関数Mそのものはユニタリ行列となり
Rがエルミート行列だったらMもまたエルミート行列となる。


ただし、「特殊」がつくユニタリ行列は、abs(detM)=1だけでなく、detM=1がそのまま通用する。


特殊ユニタリ行列では、Rのことを生成子と呼ぶ。

このようなことが、歪エルミート行列ではなく、エルミート行列を中身(生成子)にした
行列指数関数でいうことはできないのだろうか？


実はこれが可能であり、
この物理的な意味は、特殊相対論のローレンツ収縮と同じものとなる。


このような、4次の対称行列を考え、生成子として行列指数関数に入れる。
a^2+b^2+c^2=1のように規格化されている場合、
以下のような式が成り立つ。

expR=E+Rsinhθ+R^2(coshθ-1)

上に書いた式とこの式2つは、いわば実数行列版のオイラーの公式である。

Rが規格化された歪エルミート行列の場合、R^3=-Rとなり
Rが規格化されたエルミート行列の場合は、R^3=Rとなる。
前者はマイナスRで、後者がプラスのRであることに注意してほしい。

また、1本目のオイラーの公式は三角関数であったのに対し
2本目のオイラーの公式は双曲線関数になっていて
カッコ内が(1-cosθ)から(coshθ-1)と、符号が変わっていることにも注意してもらいたい。
R^2が虚数単位の2乗のように効いてきているのである。


よって、

このように書けて、detM=1でありかつ、実対称行列でもあるMが生成される。
いわば「特殊」エルミート行列といった感じである。(群ではない)

この行列は特殊相対論のローレンツ収縮を意味しているといったが、具体的にいうと

このように、4次元のベクトルに掛け算すると、任意軸方向に伸び縮みする空間、と時間
を表現することができるわけである。
伸縮のためのベクトルがそれぞれ(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)のときを想像してもらうとわかる通り、
それぞれx、y、z軸方向のローレンツ伸縮の公式になっていることがわかると思う。


もし、これを相対論関係なしに、空間での伸縮だけに用いたいときは簡単で
4次行列をトリミングして、右下だけの3次行列を用いればよい。



しかしこれでは、coshθ≧1なので、正の伸縮にしか使えなくて不便であるし
θの物理的意味がピンとこないのも不便だ。

そこでcoshθ=Hとおいて、Hを伸縮倍率とし、
H<0も許容してやれば、実は万事解決する。




ところで、H=0のときに何が起きるか
実は伸縮「ゼロ倍」が起きている。つまり、伸び縮みする方向にだけ、厚みが消えるのである。


余裕があったら、この式のaやbやcだけを1にして、Hも負数やゼロにして
この式の意味を確かめてみてほしい。

このように
純粋にx,y,z軸それぞれの方向への伸縮になっているはずだ。

誰得！任意軸伸縮の式ｗｗｗｗｗ

(a,b,c)という単位ベクトルがあったとして、そのベクトルを軸にしてH倍伸縮させるのがこの行列
(Hは負数にも対応)

ローレンツ伸縮の4次行列を生成して、3次元にトリミングすれば作れます。
元々はsinhとcoshを使っていたのですが3次元空間にはcoshしかないので負になれず
coshを、負数にもできるHに置き換えることで、反転も可能にしました。

もちろんH=0だと、軸方向に対してぺしゃんこになります。

かわいらしいです

個性派空集合

今僕は36歳なんだけど、24歳くらいに初対面だった人から見ても、当時から性格が真逆になったと言われる。今はマシになったということらしいが、
24歳でもそこそこクズだったんだから、その前がどれくらいクズだったのかは想像したくもない

困ったことに、当時の記憶がまったくないわけでもなくうっすらとはあるので、
僕自身のアイデンティティがどこにあるのかいまいちわからない。まあ個性が強力なのは間違いないんだけども。

んなもんだから、
誰かが僕以外の誰かに言ったかもしれないつぶやきや独り言を見ると
だいたい全部「僕に言ってるのか！？」ってなるし

一般論的な正論を見ると大概気持ち悪く見えてしまう



たとえば22歳くらいに人生相談しに行った人に散々言われて
今は当時の考え方そのまんま同じではないんだろうけど
当時の僕も今の僕も、記憶がだいたいつながっているので
僕は自分を大事に思いたくて
サンレッド「なにやってんだよナイトマン！」
今でもその人生相談相手はぶっ飛ばしたいと思ってる。いかにそいつが正論を言っていたとしても、僕がおかしなことを言っていたと思えても、ぶっ飛ばしたいことには変わりはない
だから困ってるんだ


特に、画面越しの知人に、そういう得体のしれない気持ち悪さを感じることが多いようで
いざじかに会ってみると、思っていたより気持ち悪くなかったから
ネットでいざ知り合おうとすると、たいてい「気持ち悪いんじゃないか」と身構えてしまうんだ

少女終末旅行ダイガード

ぱーぱぱっぱーぱぱっぱーぱぱっぱーららららららｯﾌｰﾝ

WHITE　FOX


専用ミヤノロイドか・・・！それだったら小規模だから、僕の手にも負えるかもしれない！
やってみようかな！
ダイ・ガード専用ミヤノロイドと、少女終末旅行専用ミヤノロイド！
そりゃあもう忙しい人向けだよ！それしかできねーもん！

そういやロボティクスノーツとか衰退ダンスのジャパリ・ボスとか、映像的素材も結構あるっけなー

※冗談

留守中に適応放散していただきありがとうございます

ブログを1週間書いてなくてもアクセスが減らず、むしろより詳しく検索してくれたり
あるいはpixivのほうにも足を運んでくれたり
ツイッターから見に来てくれたり

もしかしたら「元気出せよ」の意味合いも込められているのかもしれませんが
中には「お前のブログ毎日何かしらの更新があってうるさくてうるさくて、情報がパンクしそうだったんだよ！休んでるうちにあちこち覗いとこー！」

って感じの方もいるのかな？とか思いつつ

でもやっぱり週1だと僕のリズムが保てないので
また少しずつ元気出したいと思います。どうも自己中ですこんばんは。



忘年会の幹事やったり、旅行の準備とかのために
風邪を引かないようにほとんど動かないことにしていたというか
いや別に僕を構成している粒子は運動していてもいいのですが
重心位置はあまり変わっていないというか


ほんと、風邪引くとむしろ治った後の下痢がつらいんです
抗生物質で善玉も悪玉も流れていってしまうので
やめろォ振動地雷！その攻撃は俺によく効くんだ！(ノットパニッシャーぱっかーん)

今日も空から下痢の豪雨が降る・・・いやすぎる

3次元時空と4次元時空の対角化

3次元時空のローレンツの伸縮公式のための生成子

こいつは固有値がカブらないからすんなり対角化できんだけど


4次元時空のやつがなー

固有値カブるから固有ベクトルどうなんのっていまいち自信ないんだよ

いっそのことウルフラム先生にネタバレ食らってしまおうか

別にユニタリじゃなくていいなら対角化のためのPは求まったんだけど
ユニタリじゃないから逆行列がめんどくさいんだよ

ユニタリにできるならできるだけユニタリにしたいよ。

ローレンツの伸縮公式、対角化からのアプローチその他あらすじ2

さっきのブログで、

ロドリゲスの回転公式
exp(Aθ)=E+A*sinθ+A^2*(1-cosθ)

が成立する行列は少なくとも2種類以上

 これや
 これ(ただしa^2+b^2+c^2=1)
などが挙げられますが
 これ(ただしΣ(an^2)=1)
はどうも成り立たないらしく、おそらくそれ以降も成り立たないみたいです。

もしかしたら、4次行列以上でも、要素が3つ以内(3つか1つ)なら成り立つのかもしれません。

こういうのや

こういうのみたいに

2次元配列中に1次元配列みたいな感じで配置されれば、次数や要素数がいくつでも成り立ちそうな気はしますけどね


同様に、ローレンツの伸縮公式のほうも

こういうのや

こういうのだったら
次数や自由度がいくつでも
行列指数関数の行列式が特殊ユニタリのように常に1になる実対称行列
(exp(A)の固有値がうごうご実軸上を移動してても、detは結局1になるやつ)
det(exp(A))=1　ユニタリじゃないのでabs云々の議論は無意味ーと知るよね
いわば特殊エルミート行列とでもいうべき？行列が作れそうですが
行と列入り乱れてるのは

こいつの、中身の3乗すらすっきり1乗に戻らないので
次数の一般化は不可能でしょうね
(a,b,cつのうちbだけ符号を反転してもたぶん無駄)


なんでしょうかね、マジックナンバー３？
我々が生きていける空間が3次元なのと、サラスの公式が3次までしか有効じゃないのって
深い因縁でもあるんでしょうか

わりとつづく

ローレンツの伸縮公式、対角化からのアプローチその他あらすじ

ここ1週間ほどブログ更新しなくてすみません。
僕も描けなくて欲求不満気味でした。自分に謝罪と賠償を要求します。


先日の「ローレンツの伸縮公式」シリーズ
完成させる予定の行列指数関数が実対称ではなくエルミートにしかならないからおかしいなーって思って
過去ブログ参照したら盛大に勘違いしていまして

生成子が
 
これ

(ただし、a^2+b^2+c^2=1とする)

じゃなくて

これ

(ただし、a^2+b^2=1とする)


だったんですよ！！！！！
(自由度が3つから2つに減ってるのは諸事情あります。そのうち述べます)

つまり、完成させたい行列指数関数も

これ

じゃなくて

これ！！！！

「歪エルミートじゃなくてエルミートをexpの中に入れるんだよね？」
ってところ以降全部間違い！！！！＞＜あばばばばあああああーーーごめんねええええ



まあそりゃぁ生成子だけじゃなく行列指数関数も実対称行列になるわーって感じですわ。
ちょっと今日はあらすじを書いておきたいので細かい話はあとでしますが

対角化からのアプローチを、「3乗が1乗に戻るアプローチ」に照らし合わせてみたんです。答え合わせです
そしたら、

またしても
ロドリゲスの回転公式の
exp(A)=E+A*sinθ+A^2*(1-cosθ)
なのか
exp(A)=E+A*sinθ+A^2*(cosθ-1)
なのかわからなくなりましてね


テイラー展開して解析してたら、ある当たり前のことに気づきまして

ある条件(規格化絡みの)で

Aを交代行列とすると

exp(Aθ)=E+A*sinθ+A^2*(1-cosθ)

これはロドリゲスの回転公式ですよね。

じゃあ、実対称行列になるBを定義して

exp(Bθ)

これは？
ってのが今回のテーマ「ローレンツの伸縮公式」でして

exp(Bθ)=E+B*sinhθ+B^2*(coshθ-1)

逆になるんですよ！ハイパボリックコサインのところの符号が！

でもよく考えてみると、これ当たり前の話で
iB=Aだとしたうえで、AもBも実数行列となるAとBの集合を仮定すれば
(もしかしたら実対称→エルミート、交代→歪エルミートに一般化できるかもしれません)

exp(iBθ)=E+i*B*sinθ+(iB)^2*(1-cosθ)
exp(Bθ)=E+B*sinhθ+*B^2(coshθ-1)

これ、ただのオイラーの公式の行列バージョンじゃないですか！

スカラーでたとえるとこうなります。

exp(iθ)=1+i*sinθ+i^2*(1-cosθ)=cosθ+i*sinθ
exp(θ)=1+sinhθ+(coshθ-1)=coshθ+sinhθ

ね？当たり前の指数関数の公式でしょ？

当たり前だったんですよ・・・


ただ、これが行列にも当てはまるための条件が、
「行列AやBが規格化されている」というものだったんです。
(トレース＝０の条件も必要かもしれませんね)
 
上の例でいくと
a^2+b^2+c^2=1
や
a^2+b^2=1
がこの条件に相当します。

つづく

新兵器、素数タリアン

僕にとっての植物というものは、得体のしれない、異質なもので
しかしだからといってすべての植物を一滴たりとも残さず駆逐してやろうという意気込みのベジタリアン(やさいぶんかい)ではないのだが

僕にとっての素数というものは、得体のしれない、気持ちの悪いもので
だからこそすべての素数を一数たりとも残さず駆逐してやろうという意気込みで素数タリアン(そいんすうぶんかい)を好んでやっているのかと言われると、まったく肯定である。


これが、愛・憎=-1の線形従属(ハンヘイコウ)というものであるというのか。