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20080511～
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
風邪を引いている間にどんどん日が過ぎて 前に散髪した日から73日が経ってしまいました。 抗生物質による振動地雷効果で腸内界が液状化しますのでどこもいけないし 体毛なんかないほうがいいんですけど、一時的に頭が寒くなるのは勘弁してほしいので なかなか散髪にも行けず、これを5回繰り返したら365日経ってしまうところでした。 図は、かばんちゃん第5形態です。かばんちゃんががんばって尻尾を生やし、その尻尾にある8本の毛がヒト化して群れを作る、矢口プランです。ぱーぱぱっぱーらららららら フレンズの通勤手段でもある無人ジャパリバス爆弾や無人ジャパリ・ボス爆弾でセルリアンを誘導し、ジャガーの船やたいまつ、超ひもなどのあそびどうぐ＜はたらくくるま＞でセルリアンと闘い、穴を掘ってセルリアンをダイナミック土下座させます。 セルリアンとフレンズのベストマッチであるかばんちゃんは、セルリアンを説得できるため 彼らに「たーのしー！」と「ジャパリまん×りょうり」食文化を覚えさせます。 うらやましがったセルリアンがたまたま食べていたタイツから、セルリアンはフレンズの真似をして群れを作ります。 そしてパークに平和が訪れます。 日 常 ！！ ハンターたちも、ようやく自分たちの不動産兼移動手段＜サンドスターえんじん：セルリアン＞を手に入れて、まんぞくです。 シン・ゴジラ 地球防衛企業ダイ・ガード ダイガード 衰退ダンス けものフレンズ ハワード・ザ・ダック ジャパリパークの「さばんなちほー」に暮らす「フレンズ」であるベヴァリーはある日、自分の縄張りに現れたひとりの迷子を見つける。 「ここはクリーブランドだよ！私はベヴァリー！」 ベヴァリー「昨日のサンドスター(レーザースペクトラスコープ：STM)で呼ばれた子かなぁ？」 ハワード「そのお耳とお尻は？」 ベヴァリー「どうして？そんなに珍しい？あなたこそ、尻尾があって耳のないフレンズ？珍しいね！」 「鳥の子ならここにトサカ！はあるね！キミ、もしかしてアヒルのフレンズ？」 「フードもある！ヘビの子！？それにもう、元気になってる！すごいよ、私、あなたの強いところ、だんだんわかってきたよ。きっと素敵な動物だね。楽しみだなあ」 「これは研究所じゃないとわかんないかも。」 フィル「ボク、フィル。キミ、ハワード。ボクタチフレンズネ！」 ハワード「やかましい！」 フィル「ｱﾜﾜﾜ・・・」 「レーザースペクトラスコープが動物に当たると、フレンズになることがわかっていましたが、 ジェニングに当たるとセルリアンになることがわかってきました。 なお、ジェニングは1種類ではないという報告もあり、」 ハワード「ベヴァリー、ボク、地球外にETIを探しに行ってみたい。」 ベヴァリー「レーザースペクトラスコープ！？ダメだよハワード！あれがないと外に宇宙人を」 ハワード「いいんだ。そんなことよりクリーブランドを」 PPPライブ ハワード「空は～飛べないけど～」(CV：フリーザか所さん)
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昨日・・・じゃなくて今日、の続きです。
この行列Aを、ユニタリ行列Pとそのエルミート共役P†で対角化しましょう。 対角化されたあとの行列をJとおくと J=P†APとなるわけですが せっかくなので、Pをモジュール化してみます。 こうおいてみますと、対角化行列Jは このように表されますね。 最後の計算は長いので、要素ごとに分けて表示しますと 2行目が全部ゼロなのはいいとして、非対角成分は このように 対角成分は このようになりますね。 非対角成分は、計算するとすぐにゼロだということが分かると思いますので、計算してみてください。 残るは、対角成分2つです。 整理すると、J11=-J33と、ただ符号だけが逆なのだとわかるので、J11だけ計算します。 一般に、2つの複素数vとwの、複素共役を交えた交換関係のような式は、虚部をi2倍した であることがわかるかと思いますのでJ11は こういうことが言えます。 ここでようやく、v1、v2、v3やその複素共役の中身を思い出すわけですが なので、虚部はc/2ですね 同様に 実部と違って虚部は一見なんのことかよくわからないように見えますが a^2+b^2+c^2=1の規格化条件を思い出してみると a^2+c^2=1-b^2であることがわかり、実部同様、虚部も約分できて b/2であることがわかるでしょう。 さらに となって、虚部がa/2であることがわかります。 よって、J11=2(c*c/2+b*b/2+a*a/2)=(a^2+b^2+c^2)=1 であることがわかり、J33はその逆符号である-1であることがわかります。 つまり、 と、めでたく固有値±1と0で対角化できたというわけです。
さっきの続き
固有値λが1,0,-1のときの固有ベクトルをそれぞれ求めます。 まずλ=1から この連立方程式について、v1,v2,v3を求めるわけですが もちろん永年方程式なので、固有ベクトルの3つのvの値は求まらず、v同士の比しか求まりません。 これが結構複雑でして、線形ではあるものの、実数とか純虚数にとどまらず、一般に複素数のベクトルになります。 こんな比になりますが、実は規格化条件という、4本目の式が隠れていまして それを使うと4本の式になるので、結局、3つのvの値は確定できます。 v1^2+v2^2+v3^2=1 これが規格化条件です。 少し具体的に計算しますと A^2{|-ab-ic|^2+|(1-b^2)|^2+|-bc+ia|^2}=1 となるので、 A=√(2-2b^2) となります。よって、固有値λ=1のときの固有ベクトルp1は と、確定できます。 次に、λ=-1のときの固有ベクトルを解きますが 今度はこれを解けばいいということになり 結局、p3はp1の複素共役になります。 規格化定数も√(2-2b^2)と、同じものとなりますので こうなります。 最後にλ=0のときの固有ベクトルを求めますが、これは簡単で もちろんこういう式になって 固有ベクトルは こうなります。最初から規格化条件を満たしていますね。 この縦ベクトルp1,p2,p3を横に並べたものを使って、対角化するわけですが 規格化された固有ベクトルなので、この3次行列はユニタリ行列となり 行列式は-iとなって、ガウス平面の単位円周上にあることがわかるかと思います。 ユニタリなので、逆行列を求めるのも簡単です。エルミート共役(転置して複素共役) inv(P)=P† を取れば、逆行列になります。 掛け算PP†すると、単位行列になるはずです。 実はPもP†も、縦横どちらの2乗和を取っても、1になります。ルービックキューブみたいですね！しらんけど
ふはははは！ノーイベントグッドライフでエンドレスエイトな、ゆゆ式ループの開幕だぁ！
今日は、いかにサボってそれなりのブログを書くかを努力する日です。 風邪にかかって1週間、とうの昔に余力がありません。 ロドリゲスの回転公式をアレンジして、ローレンツの伸縮公式にしてみます。 これを、対角化からアプローチします。 まず、(x,y,z)がまだ規格化されていないベクトルとして W^2=x^2+y^2+z^2 (a,b,c)W=(x,y,z) となるようにします。 そうすると a^2+b^2+c^2=1なので とできますよね。 この、Wを除いた行列の固有値を求めると、少し楽ができるという寸法です。 なので、固有値をλ=0,±1と、簡潔に記述でき、次の固有ベクトルの計算に向けて かなり楽ができることになります。 今日はもうこれでいいや。 続きは、余力がありしだいアップします。
アプリ版けものフレンズ廃校を防ぐべく、アニメを始めたヤオ∃□ズ(大洗)
軍神かばんちゃん 劇場版：役人(K∀D○K∀M∀)「廃校を免れるとは言ってない」 ヤオ∃□ズ(鎧武さんチーム)「げんちとったどー！」←このあとすぐ 最終章。ガルパンが終わってしまう 役人「大洗廃校は俺意外にはやらせない！ 止まるんじゃねーぞ！」 地球防衛企業ダイ・ガード モデル：ぽむへい様 PPP「私が、私たちが、ガンダムだ！」 けものフレンズりぴーと 神の才能を持つ男「ヴェーハハハ！こんなこともあろうかと、隙間の分のアニメも作っておいたのさー！！！ざっと3クール分くらい作っておいたぞー！ (というのはハッタリで、残り2クール分：その後と序章は押し入れのパソコンで目下シミュレーション中)」 ARアプリ2のOPで颯爽と登場する神「時間差(2年くらい)コンティニューだぁ！」 寡黙そうに見えて実はめっちゃよく喋る神
部分スーパー積分人を用いた、スーパー積分人を超えた、スーパー積分人
複素数を使ったスーパー積分人ブルー スーパー積分人(身勝手の極意) 亀仙人「動きに無駄がないぞいっ！٩( 'ω' )و」 ブルマ役の鶴ひろみさん、心よりご冥福をお祈りいたします
（横読み←→縦読みにもできたような気がする） 鏡に映った自分がなぜ左右だけ反転して、上下に反転しないのか という問題、 人間の錯覚だけの問題ではないのだろう 錯覚で片付けられると「いやいやｗｗｗｗそんなわけねえだろｗｗｗｗ」 ってなりかねないが、 実際、左右に回りこむと想像しがちで、上や下から回りこむ想像はほとんどしないから やはり錯覚も原因の1つではあるようだ。 ただ、考えなくてはならないのはそれだけではなく 空間は3次元で、「上下」「左右」と、もう1つの「反転」がある。つまり「手前と奥」の反転だ。 左右をx、上下をy、手前と奥をzと考えると x軸反転→y軸反転→z軸反転をすると、全部「反転」しかしていないはずなのに 元の状態に戻る。 これは「パリティ」と呼ばれるもので、P対称性と言われたりもするのだけど このほかに「荷電共役反転C」と「時間反転T」があって 興味深いことに、P反転→C反転→T反転をしても元に戻ると言われている。 つまり、対称性がネストとかマトリョーシカとか、そういう「入れ子構造」になっているのだ へヮへ「せんせい！この問題は、C→Pをやった時点ですでに元に戻ってしまいます！」 ０ｗ０「おお、すまんすまん！問題が悪かった！新しい問題だよ！代わりにＩＳＯ山椒モデルをあげよう！」 ＴｘＴ「１５０？」 ０ｗ０「ＩＳＯだよ！い・そ・さ・ん・し・ょ・う！」
昨日はついヒャッホウしてその3のタイトルを間違えてしまいました。＞＜欠番扱いです
準備が整ったので、対角化からのアプローチで、行列指数関数を使って ロドリゲスの回転公式を導出してみましょう。 対角行列Jを exp(A)=Pexp(J)P†で与えられるので Pとそのエルミート共役P†を とすると 対角行列の行列指数関数は このようになるため、 以下のように略記します その上で展開しますと このようになります。ここで、X,Y,Zはそれぞれ、複素数x,y,zの絶対値の2乗とします。 また、 この2つの複素数は、それぞれ三角関数と実部・虚部を用いて、複素共役の関係にあることがわかるため、式は以下のように展開できます。 ここで、X,Y,Zと、x'y、y'z、z'xの中身をぶちまけてみますと このようになるため、 以下のように展開できます。 これで完成のはずなので、A^3=-Aとなる関係を用いて導出したロドリゲスの回転公式と比較してみましょう。 exp(A)=E+Asinθ+A^2*(1-cosθ) なので ぴったりと一致しているのがわかるかと思います。
といいつつ、対角化したい行列はただの交代行列(実数)なんですけどね
これを対角化したいと思います。昨日・・・じゃなくて今日、の続きです。 この行列Aを、ユニタリ行列Pとそのエルミート共役P†で対角化しましょう。 対角化されたあとの行列をJとおくと J=P†APとなるわけですが せっかくなので、Pをモジュール化してみます。 こうおいてみますと、対角化行列Jは このように表されますね。 最後の計算は長いので、要素ごとに分けて表示しますと 2行目は全部ゼロなのはいいとして、非対角成分は このように 対角成分は このようになりますね。 非対角成分は、計算するとすぐにゼロだということが分かると思いますので、計算してみてください。 残るは、対角成分2つです。 整理すると、J11=-J33と、ただ符号だけが逆なのだとわかるので、J11だけ計算します。 一般に、2つの複素数vとwの、このような式は、虚部を2i倍した であることがわかるかと思いますのでJ11は こういうことが言えます。 ここでようやく、v1、v2、v3やその複素共役の中身を思い出すわけですが なので、虚部はc/2ですね 同様に 実部と違って虚部は一見なんのことかよくわからないように見えますが a^2+b^2+c^2=1の規格化条件を思い出してみると a^2+c^2=1-b^2であることがわかり、実部同様、虚部も約分できて b/2であることがわかるでしょう。 となって、虚部がa/2であることがわかります。 よって、J11=2i(c*c/2+b*b/2+a*a/2)=i(a^2+b^2+c^2)=i であることがわかり、J33はその逆符号である-iであることがわかります。 つまり、 と、めでたく固有値±iと0で対角化できたというわけです。 このようにモジュール化して考えることで、計算効率もよく、ミスしづらいことがわかるかと思います。 と、ここまで書いていて自分自身、これがプログラミングにもそのまんま当てはまるんだなと気づかされました。 オブジェクトシコうは概念は割りと単純なんですが それを実装する際のルールの習得が結構面倒なんですよね。 おそらく一般相対論のテンソルの概念とも共通するところがあるんじゃないかと思います なんというか、一言で言うと、習得までの腰が重い。 もし4次元の複雑さに生命や知性が住めると仮定すると その4次元人にとっての紙媒体のようなものは、1つ次元の下がった3次元で ベクトル、行列と、3階のテンソルまでが容易に想像できる数学的構造なんでしょうか・・・ とはいえ、4次元人は理論的に存在できなさそうな雰囲気なので、考えるだけ無駄かもしれません ここでいう「理論的に存在できない」というのは2次元人にとってドーナツ構造が感覚的に理解できず、同様に腸などの内臓を「またぐ」という概念がないのなら 4次元人は逆に、複雑すぎて生命も知性も誕生しえないかもしれない、といった意味合いです
昨日はお楽しみでしたね(シン・ゴジラ)
映画が始まる直前まで、おとといの続き「ロドリゲスの回転公式の対角化からのアプローチ」をやっていて、 ギリギリで固有ベクトルのバグが取れましたが、それ以降はシンゴジラとそのツイートにエモさを感じて何もできませんでした。 固有値λがi,0,-iのときの固有ベクトルをそれぞれ求めます。 まずλ=iから この連立方程式について、v1,v2,v3を求めるわけですが もちろん永年方程式なので、固有ベクトルの3つのvの値は求まらず、v同士の比しか求まりません。 これが結構複雑でして、線形ではあるものの、実数とか純虚数にとどまらず、一般に複素数のベクトルになります。 こんな比になりますが、実は規格化条件という、4本目の式が隠れていまして それを使うと4本の式になるので、結局、3つのvの値は確定できます。 v1^2+v2^2+v3^2=1 これが規格化条件です。 少し具体的に計算しますと A^2{|-c-iab|^2+|i(1-b^2)|^2+|a-ibc|^2}=1 となるので、 A=√(2-2b^2) となります。よって、固有値λ=iのときの固有ベクトルp1は と、確定できます。 次に、λ=-iのときの固有ベクトルを解きますが 今度はこれを解けばいいということになり 結局、p3はp1の複素共役になります。 規格化定数も√(2-2b^2)と、同じものとなりますので こうなります。 最後にλ=0のときの固有ベクトルを求めますが、これは簡単で もちろんこういう式になって 固有ベクトルは こうなります。最初から規格化条件を満たしていますね。 (実は最後まで残っていたバグがここだったなんて口が裂けても言えない) この縦ベクトルp1,p2,p3を横に並べたものを使って、対角化するわけですが 規格化された固有ベクトルなので、この3次行列はユニタリ行列となり 行列式は-iとなって、ガウス平面の単位円周上にあることがわかるかと思います。 ユニタリなので、逆行列を求めるのも簡単です。エルミート共役(転置して複素共役) inv(P)=P† を取れば、逆行列になります。 掛け算PP†すると、単位行列になるはずです。 実はPもP†も、縦横どちらの2乗和を取っても、1になります。ルービックキューブみたいですね！しらんけど これのサイコロステーキも面白そうですよね。 どうやったら「特殊」ユニタリにできるのか(detP=1)、 その焼肉の回転はとびとびなのか連続なのか
今日は、いかにサボってそれなりのブログを書くかを努力する日です。
もう余力がありません。 4次元に手を出す前に、まず、3次元におけるロドリゲスの回転公式を 対角化からのアプローチで出してみようということになりました。 この行列指数関数を導出する際に、exp(R)のR^3=-Rになる特性を使わずに 固有値・固有ベクトル・対角化から、求めてみるというわけです。 まず、(x,y,z)がまだ規格化されていないベクトルとして W^2=x^2+y^2+z^2 (a,b,c)W=(x,y,z) となるようにします。 そうすると a^2+b^2+c^2=1なので とできますよね。 この、Wを除いた行列の固有値を求めると、少し楽ができるという寸法です。 なので、固有値をλ=0,±iと、簡潔に記述でき、次の固有ベクトルの計算に向けて かなり楽ができることになります。 今日はもうこれでいいや。 続きは、余力がありしだいアップします。
通院１：バイト２で結構クタクタなんだけど、大学・企業ホイホイが勢いに乗ってるから
調子に乗ってブログ書きます。 汎用ローレンツ・ロドリゲスの双曲・回転公式ですが まず行列指数関数にするために、生成子Aの固有値λを計算します。 λが2次の係数をB、0次の係数をCとおくと、固有値は の4つが求まります。(複合同順でない) B=θ^2-α^2とか置いておきたいですねーそれぞれ三角関数と双曲線関数の単位ベクトル的なやつですよ (θx,θy,θz)=(x,y,z)/θ (αx,αy,αz)=(a,b,c)/α とかして、なんとかしてやりたいっす。 θx^2+θy^2+θz^2=1 αx^2+αy^2+αz^2=1とかですよもちろん 静止しているときとほぼ光速のとき 無回転のときと回転してるときとで、合ってるのか確かめたいですけどそれは明日 あと、特定の方向だけのときのローレンツとロドリゲスをそれぞれ確認ですねー 固有ベクトルのときに死ぬなーこれ ロドリゲスだけのときは当然生成子は交代行列ですけど ローレンツだけのときは逆に、生成子は実対称行列だけになるので 行列指数関数に入れた結果の行列は、特殊ユニタリではなく あえていうなら「特殊エルミート」とか「特殊実対称行列」とも呼べるものになりそうですね ガウス平面を両対数方眼紙にしてやると、等間隔に固有値が出てきそうな感じで 行列式はexp(1)*exp(-1)=1みたいな感じになるはずっす トレースがその代わり、coshのスカラー倍みたいになるでしょうね どうやっやっかなー ロドリゲスのときは生成子の3乗で順繰り巡る構造してたから楽でしたけど 今回のはそうもいかないかもしれないんで 一度、ロドリゲスのほうを固有値・固有ベクトル・対角化からのアプローチから計算してみようかなと
時間の次元だけは特別で、空間の次元たちとはちょっと違う。
上がローレンツ変換用の生成子 下が単なる回転行列のための生成子 個別で行列指数関数にいれたら、それぞれこうなる(符号はテキトー) 以下のように使うが、行列の指数関数なので、A=Bとは一般にはならない。 まさかこっち経由で、LRLベクトルによる4次元を意識することになるとは思わなかった。 それと、固有値=0が2重になるので、 2重になった1つの固有値で2つの固有ベクトルを出す過程が体験できる。 そんな簡単にジョルダン標準形は使わせないよ！的な。 まあ非常に簡単な例題にはなるんじゃないかな 上3つはもはやユニタリの生成子ですらねえ！ とは思うものの 出来上がった双曲行列とも呼ぶべき行列の行列式を計算してみると ch^2-sh^2=1になって・・・あれ？ってなる。生成子のトレースがゼロだから、まあなるっちゃなるのか？？
特殊相対論の、ローレンツブーストを表す行列は、回転行列に似ている。
異なるのは、三角関数ではなく双曲線関数になっていることで どちらも実数行列である。 ならば、特殊直交行列の生成子からのアナロジーで、導出できないだろうか？？ 特殊直交行列の生成子はエルミート行列なので、これに虚数単位を掛け算して 歪エルミート行列にしてから行列指数関数の中身にすることで 回転行列を得ている。 このときのエルミート行列は、パウリ行列やゲルマン行列などの中で、純虚数だけでできているものを選ぶ。 つまり、虚数単位を掛け算すると、歪エルミートになるというより、実数だけでできた交代行列になるわけだ。 2次行列であれば、この3つのうちから これを選ぶ。 ならば、ローレンツブーストを行う行列は 虚数単位を掛け算すると、エルミートというより、対称行列になるような、 歪エルミート行列を選べばいいので、 たとえば2次の行列であれば、 2^2-1=3つの歪エルミート行列のうちから これを選べばよい。 そうして、虚数単位と変数を掛け算してから、行列指数関数の中に入れると テイラー展開と対角化を使って、以下のように、ローレンツブーストを導出できる。 この場合は2次行列なので、純粋に一次元の空間と時間を扱っているが、 4次元時空の場合は、3次元空間に1次元の時間を扱うので、4次行列となる。 そのため、ローレンツブーストの場合だけでも 以上の4^2-1=15個の生成子のうち 対角要素がすべてゼロで、なおかつ純虚数(と0)だけでできている この6種類を、適宜使い分けることになる。 (ただし、ベクトルの1つ目ctとだけ空間次元を絡ませるため、少し減らせるかもしれない) たとえばこんな感じだ。 また、クォータニオンではなくベクトルを用いている以上、スカラー倍、回転、平行移動も行いたいという需要があると思うので 任意軸での回転などを行いたい場合は4次元に拡張されたロドリゲスの回転双曲公式があれば使い勝手がよくなるだろう。 3次元ロドリゲスの回転公式(空間版)と、ロドリゲスの双曲公式(ctとのカップリングだけなので、何次元があればいい？)とでも呼べるものがあって組み合わせられればいいだろうか。 (平行移動を考慮に入れたい場合は、ダミー次元を1つ追加して5次行列がテンプレになるだろうか) しかし、4次元以上になると任意軸が複数になってくるので、どうなるのか僕自身まだあまり理解していない
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プロフィール
ＨＮ：
量子きのこ
年齢：
44
ＨＰ：
性別：
男性
誕生日：
1981/04/04
職業：
WinDOS.N臣T
趣味：
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介：
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます 例：H→7番目、XP→15(P)×26＋23(X)=413番目。 A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいｽﾞｺｰ
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