有限深さ井戸型ポテンシャルの波動方程式を、対称性を用いて簡易に解く

有限深さ井戸型ポテンシャルは以前解いてブログに載せたのですが
そのときは力技で解いていました。

もし、偶数番目の量子数で波動関数が奇関数、奇数番目の量子数で偶関数になるとわかっているなら、どれくらい簡略化されるのか
これについてまだブログには載せていませんでした。



幅2aの井戸型ポテンシャルの、中のポテンシャルはV=0、外のポテンシャルはV=V0とし、
井戸の中心をx=0とします。(-a≦x≦a)


x<0の場合は、偶関数なら波動関数f(-x)=f(x)とし、奇関数ならf(-x)=-f(x)とするわけです。


境界条件はx=±aでf(±a)とその微分f'(±a)が連続であることですが
x<0を考慮しなくて済むので、

4本の連立方程式が2本まで簡略化できます。
つまり、4次ではなく2次の行列方程式を解けばいいだけになるので、かなり楽です。

波数をk、積分定数をA,Bとして(iは虚数単位)
f(x)=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx)

という波動関数の境界条件を解けばいいのですが、
左右対称か左右反対称どちらかの解だけになるので、波動関数fは三角関数
井戸の中はf(x)=Asinkxかf(x)=Bcoskxのどちらかだけになりますし、
井戸の外はf(x)=Cexp(-k1x)になります。


量子数が奇数の場合、波動関数は偶関数なので
f(a)=Bcoska=Cexp(-k1a)
f'(a)=-kBsinka=-k1Cexp(-k1a)

量子数が偶数の場合、波動関数は奇関数なので
f(a)=Asinka=Cexp(-k1a)
f'(a)=kAcoska=-k1Cexp(-k1a)

これを解けばいいだけになります。



太線から下は、無限深さ井戸型ポテンシャルへの近似で、検算です。
k1=∞になるので
n番目の量子数がそのまま量子数nとなります。
量子数nが偶数だと波動関数が奇関数になり
量子数nが奇数だと波動関数が偶関数になることが確認できました

ターレいいよねターレ

ブラシネスターレットトラック
首を何回回しても、元々断線してるから断線しないデュラハンなターレットトラック

モータじゃないんだから、ブラシがあっても電子制御していいもん！

やはり現実という世界線はフィクションの1つでしかないのか

俺の地元に、俺なんかよりもはるかに個性的な人がいるなんて思ってもみなかった。
負けたよ。完敗だ。悔しいなあ

たかが地元でこれか…世界って広いんだな

備忘録

波動関数を2乗してから重ね合わせるんじゃなくて
重ね合わせてから2乗する
規格化はそのあとすればいい

分散dw/dk∝kの波束の崩れ

なんかPCからgifをアップするとツイッターで隠れる傾向があるみたいなんで、こっちにもアップします。

っていうか最近ウチのWi-Fiスポットがすげえ不安定だから、そのせいもあるのかも

自転車に乗りました

9日ぶりに乗りました。

その前は何日か続いてたんですが、何かと忙しくて9日も間が空いてしまいました。
でも9日空いてたことをスマホのスケジューラで確認できたので、9日間で済みました。
最近メインがスマホになっててPCあんま開かないので
PCにある「いついつ自転車乗った」とか「いついつブログ書いた」とかの帳簿の存在をそもそも忘れがちで、備忘録が備忘録の機能を果たしていません。


「自転車乗った記録」のほかに
「ブログ書いた記録」も、スマホに入れといたほうがいいかもですね。


そもそも、以前まで頻繁に書いてたブログの計算のテーマとか動く3DのExcelグラフとか
あれの計算を完了する体力が最近ないことに気づきまして
あと、筋トレは気分をポジティブにするとか

筋トレみたいなストイックなことはなんか続かない気がして嫌だというか
ソシャゲやる前だったら計算がすごくストイックだったらしいのですが
筋トレはあれです。なんか嫌な過去を思い出すんです。

球技もまったくダメなんです。
球体を受け付けない運動神経と
一人を好む性格が悪魔合体してるんですよ。


なので自転車。
元々仕事で1日平均1万歩くらい歩いているのですが
それだと使ってない筋肉も普通にあるみたいなので自転車
消去法で自転車。


続くように、出勤と帰宅と、帰宅前の散歩のときに自転車に乗るようにしました。
仕事に無理が出ない程度に抑えて乗ることにしたんですが
いやー参りましたね。やっぱり体力がない。

走行可能距離は少しずつ延びているようなのですが
自分でもその短さにびっくりですよ

帰ってきたらかなり疲れ果ててます。「この距離でやめといてよかったー！」って、帰ってから思うんですよね。


明日も晴れそうですし、今朝と明日の午後は休みなので、
2回分乗るつもりです。
今日も、出勤前と出勤の2回乗りました。



目の前にないとマジで忘れるからな、自分。
だからソシャゲ以外のゲーム機全部どっかいくし
スマホをメインにしたら、PCの存在を忘れるし
Excelをスマホで使えるようにまだしてないから、Excelのこともすっかり忘れるし

自転車も物置とかにしまわれると忘れるから
サビるの承知であえてもう外に出してます。その方が壊れる前に乗るだろうと。

今は、余計なおせっかいでしまっちゃう父の足も悪くて
自転車出しっぱなしにできますしね。

自由粒子の運動量・エネルギー保存則

シュレディンガー方程式の自由粒子の位置に関する微分方程式を解いたら、波動関数Ψが

Ψ=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx)

になるじゃないですか。

これが、井戸型ポテンシャルだったら境界条件や規格化によって積分定数AとBは定まって
位置の期待値も運動量の期待値も求まるし
自動的に不確定性原理にも違反しないってわかるじゃないですか。

でも自由粒子だったらAもBも定まらないですよね？
仮に規格化条件からA=1/√(g)、B=1/√(1-g)と置くにしても

割合次第で運動量保存則もエネルギー保存則も不確定性原理も「満たされるように」決定しなきゃいけないってことですか？

あるいは、めちゃめちゃでかい井戸型ポテンシャルの中と近似すればいいんでしょうか

いやでも、井戸型に決めてしまったら観測しちゃうようなもんだから、
波動関数が実数に限定されてしまいますよね。


それに、これの角運動バージョンもあるはずで、
角運動量保存則に対してはどうするのかもありますよね


っていうかそもそも、不確定性原理を使うとして、エネルギーと時間のブレってどうすればいいの


ちょっと本を漁って復習しなきゃいけませんね
いやーブランク長かった。長すぎた。
5年越しのスキーどころじゃねえです
身体にまだ染みついてないうちに、あんま回数練習しなかったから、身体が覚えてないし
もう社会人になって10年以上経つし、計算の面倒さは増していくし
そんなにドリる余裕ないんすよね。



核反応だか化学反応だかの
E=ηmc^2のηを不確定性原理から概算するっていう例題も見たことありましたが
どこをどう計算するのかすっかり忘れてしまいました。
目的の本が見つかればいいのですが。


というか、例題の知識が少なすぎますね。
不測の事態の時に対処できるだけの経験値がないです。
これはブランク云々以前の問題です



昨日、「とにかく手を動かそう。手を動かして計算していれば俺は落ち着くし幸せになれるし、ポジティブな要素しかないからやるかー」って感じで手を動かしていました。
少なくとも俺自身はこれだけでも楽しいと思える感性があってありがたいですね
それにしても懐かしい


しかしなんだ井戸型ポテンシャルは深さが無限の簡易バージョンでも結構めんどくさいですね
最近体力も落ちてたので自転車にまた乗り始めたんですが
ダラダラしてたらこの計算すらやる体力がなかったかもしれません

お久しぶりです

またしても期間が空いてしまいました。
意気込んでいた最中にですね、虫垂炎で1週間ほど入院しちゃいまして

それ以降はなんかこうダラダラと…

夏も暑かったですしね。もう秋なんですが。


夏も秋も、なんかどうにも眠くて、昼も夜も寝て、起きてから無力感にさいなまれる毎日でした。

ご飯を食べると満腹で眠くなり、ご飯を食べないと空腹で動けなくなってたんですよ
まあ、無力感から空腹と満腹に逃げていたのかもしれません。

無力感の無限ループは怖いですね
しかも僕の場合、何もしなかったフラグをゼロではなくマイナスの実績として積み重ねるタイプなので、どんどんブログを更新しづらくなってしまいます。

そうやって焦るとですね、今回のような「近況報告でブログ1回分埋めてもええやないか」
って考えも吹っ飛んでしまうから厄介です。

また計算の趣味復活させたいなあ

ソシャゲが楽すぎてなあ
40手前で力尽きるのは早すぎる。
やっぱ早すぎますよねえ…。

珈琲ととんがりこーんの容積

昨日かおとといの朝、こんな入れ物のカフェオレを飲んでいたら回転体の体積のことが気になり始めて
久しぶりに回転体の体積の公式を帰宅後にググっていました。



xを変数としたx=aからx=bまでの関数f(x)をx軸周りに回転させた回転体の体積Vは

と出ましてね


あれ？こんな感じだったっけ？って思ったんですがまあ道具が見つかったので使うまでです。
(二重積分で習った気もするんですけどね)


x=0でf(0)=y1、x=Lでf(L)=y2となる直線をy(x)とすると
y=(y2-y1)/*x/L+y1
となるので、このyをVの式に代入すれば体積は求まります。


なので、まずはyの2乗を計算しますと


なので、



このようになります。


台形のときのような、上底とか下底の代わりになる上底面積や下底面積などの概念はありませんね？
これで本当に合っているのでしょうか？




＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
ということで、別のアプローチを拾ってきました。
大きな円錐の体積から、小さな円錐の体積を引き算するという方法です。


大きな円錐の高さはA2で、底面積は半径y2の円の面積。
小さな円錐の高さはA1で、底面積は半径y1の円の面積です。


とんがりこーんの先っぽを少しかじって捨てるようなイメージです。
A1とA2はいくつでしょうか？


A1は、y(x)=0となるxの絶対値です。
A2は、A2-A1=Lを満たします。



を満たすxなので

よって、A1=|x|なので

A2は



とわかります。

大きな円錐の体積はV2=πy2^2A2/3
小さな円錐の体積はV1=πy1^2A1/3なので、求めたい体積Vはその差である

です。


2つのアプローチから算出された体積Vの式を見比べてみてください。
全然違うように見えるかもしれませんが、これは同じ式です。

因数分解を考えてみましょう。

このような公式がありましたよね？同じ式なのです。


また、y1をそのままにしてy2=0にしたり、y2をそのままにしてy1=0にしてみると、
ちゃんとただの円錐の体積の式になります。

y1=y2のときはどうなるでしょうか？
これが何を意味するのかというと、円筒の体積です。
片方は円筒の式になりますね？

もう片方は0/0になってしまいますね？
ここでロピタルの定理の出番です。分母と分子をy1で微分し、y1→y2の極限をとってみますと
ちゃんと円筒の体積になります。

分母と分子をy2でも微分してy2→y1の極限でも円筒の体積になることを確かめてみましょう

水素原子の電子雲ジェネレータ＆ビューア完成！

退屈なおうち時間の合間に楽しんでもらおうと思って、ようやく完成させました！
水素原子様の電子雲、ジェネレータとビューアです！
(何十年越しの夢だったろう…自粛期間はすぎましたが、とりあえずまた計画を立ち上げられてよかった…！)




ExcelファイルDLはこちらから！ 

ｓ

なんとなくシュタゲをヨイショする日

ドクターペッパーが最近うちらの町のコンビニでも売られている
前から気になっていた、「1885年から」の文字。

バック・トゥ・ザ・フューチャーでドクター・エメット・ブラウンがデロリアンごと雷に打たれて飛ばされた時代

彼が誰かから聞いたレシピでドクターペッパーを発明していたら、その設計図は円環の理に導かれて情報が無から生まれてしまう。


なんてことを幾度となく妄想したものの、ドクターペッパーとBTTFの相性は世間にはほとんど知れ渡っていないようだ

そもそも、BTTFはコーラを割りと出していた。ペプシだかコーラだかはよくわからない


BTTFなどのタイムマシンものを元にしつつ
洗練した作品の1つにシュタゲがあって、ドクペの悔しさに目を付けたのかどうかは知らないが、シュタゲの主人公はドクペが大好きである。

ミスターブラウンという人物も出てきており、この辺の配役については鳥肌が出るほど実によくできている。

BTTFが1980年代のタイムマシンものの集大成とするなら
シュタゲはそれをさらに洗練した、2000(2010)年代のタイムマシンものの集大成と見てほぼ間違いないと思う


（今覚えている人はあまりいないかもしれないが、サマータイムマシン・ブルースもいい線いってたと思う。どうして商品の宣伝みたいな部分が多いのかが不思議で、フジテレビ系列でしか放送できないみたいなのがちょっと残念）

ラゲール備忘録

差分方程式化。

ずっと前だったから忘れてたけど、なるほどルジャンドルよりラゲールの方が簡単な気はした。
先にラゲールに手を出して正解だったようだ。


変数ρ(r)の範囲は0から40まで。刻み幅は0.02だとまだちょっと発散するから
0.01にすれば収まりそう。4000行使うことになるが
そうすれば、入力規則で量子数を整数に縛れる。




・関数直交判定ツール
・ルンゲクッタによる容量圧縮
・入力規則のアピール
・変数関数変形動画

ルジャンドル陪多項式の検算

まずいきなり訂正です。
またしても同じ式を訂正することになってしまいました…。
昨日の訂正日記


sqrt(sumsq()*dz/count())

と書いていましたが、正しくは

sqrt(sumsq()*dz)

で、個数で割って平均を取るというのが間違っておりました。
てっきり実効値とまったく同じものと思いこんでいたらしく、いつからそう思っていたのか謎です


この間違いが見つかったのは今さっき解析解と照らし合わせていたときのことで、正しく計算しますと、このように解析解と数値解はほぼ一致します。
量子数lとmが大きい場合は、おそらく刻み幅dzを細かくとらないと一致しないのではないかと思います

またしても訂正です。

さっきの日記の規格化の式が間違っておりました。



=sqrt(average())
とか
=sqrt(sum()/count()) とかでいいです。
（ぶっちゃけ=sqrt(sumsq()/count())


ではなく


=sqrt(average())
とか
=sqrt(sum()*dz/count()) とかでいいです。
（ぶっちゃけ=sqrt(sumsq()*dz/count())

dzをしっかり掛け算して、積分(あるいは和を取る)してください

ルジャンドル陪多項式の偶奇と規格化

きのうの続きですが、訂正があります。

この図の2番目の関数Pの初期値ですが、if(E7=0,0.01,1)ではなく
正しくはif(E7=0,1,0.01)でした。



さて、z=0からz=1まで入力していきますと
たとえばl=m=1ですと、以下のような感じになります。



これを、負のzにも拡張しましょう。
偶関数の場合は、負の変数zでの関数Pの振る舞いは
P(-z)=P(z)ですし
奇関数の場合は、
P(-z)-P(z)なので、

z=1の下に以下のように符号反転したzを並べて

先ほどと同様にl+mの偶奇に合わせて、関数の偶奇を決めます。
つまり、l+mの偶奇のセルであるE7セルに応じて、zがプラスの0.05の関数Pの値を符号反転するかそのままか分岐させて、順番にコピペしていきます。
(絶対参照などにご注意ください)



そうして、いちおうの関数が出来上がってきました。
たとえば、l=m=1の偶関数ならこうで

l=1、m=0の奇関数ならこのような感じになります




最後に、規格化をします。
これは、ある範囲の中に、粒子のいる確率が総合して１００％になるようにするものです
5月20日の日記を参考にします。

（絶対値の）2乗を取って範囲内で積分したものが１になればよいので、

このような列を設け、みなさん大好きなsum関数で和をとり
データの個数で割って平均を取ってから、その平方根を取ります。(電圧の実効値RMSと一緒です)
=sqrt(average())
とか
=sqrt(sum()/count())
とかでいいです。
（ぶっちゃけ=sqrt(sumsq()/count())もありですが）

この値が、規格化定数となるため、算出した関数をこの定数で割ると、規格化されます。