備忘録：行列は焼肉

サイコロステーキの側面面積をノルムにしよう！

5状態系の角運動量の、固有値を求めてみましょう1

まずはx成分から。
Lxは

こうなので、λを固有値として
2Lx-2λEの行列式を求めてみましょう。


ここで、1行目を1/λ倍して、2行目から引いた値を、2行目に代入してみますと、1列目がほとんどゼロになるので、
5次の行列を4次の行列に縮めることができます。

 

4次の行列でも同様に、

②←②-①×λ/(2-2λ^2)×√6

を行って、3次の行列に縮めることができます。




さらに、②←②-①×(2-2λ^2)/(4λ^3-10λ)×√6をして2次に




②←②-①×(4λ^3-10)/(-8λ^4+32λ^2-12)×2　をしてスカラーの方程式にしますと
 

-32λ(λ^4-5λ^2+4)=0

という方程式になります。

これをλ^2について因数分解すると

-32λ(λ^2-1)(λ^2-4)=0

になるので、さらに因数分解しますと

-32λ(λ+1)(λ-1)(λ+2)(λ-2)=0

となって、固有値λ=0,±1,±2を求めることができます。

エルミートかつユニタリな行列を量産する量子力学

2017/10/12のコイツ

3状態系の角運動量のx軸成分の固有状態を並べたもの

コイツは素直にエルミートかつユニタリっすよね。

じゃあ2017/10/11のコイツ
 
角運動量のy軸成分はどうでしょうか。
ユニタリですが、エルミートではありませんね。

しかし、縦に並んでいる3つの串と見なせば、この串を90度ずつ回転させる自由度はあるので
真ん中の列ベクトルをごっそり-i倍してみましょう。

そうするとまず、こうなりますよね

2行2列目を実数に保ちつつ、2行1列目に1行2列目を合わせる形で、列ベクトルの串を90度回転させました。

そうしたら、今度は2行3列目と3行2列目の帳尻を合わせるように、3列目の列ベクトルの串を90度ずつ回したいので、今回はごっそり180度回転させてしまいますと


このようになって、1行3列目と、3行1列目の帳尻もちゃんと合ってることがわかり、
無事、エルミートかつユニタリとなりました。

この固有状態の行列式は-1です。
固有値の絶対値も、3つとも1です。
4と1/2と1/2などということはありません。
トレースも1であることがわかるため、固有値は1が2つカブっていて、そのほかに-1があることがわかるかと思います。

わざわざ固有方程式を出すまでもなく、因数分解した結果がわかっているということです。
(λ+1)(λ-1)(λ-1)=0





＝＝＝＝＝＝＝＝＝
5状態系もやってみましょう。
昇降演算子はそれぞれ
 
このような係数になっているので
LxとLyはそれぞれ

こうなり、
Lzは交換関係iLz=[Lx,Ly]から


こうなります。

Lzはもちろん、LxとLyからも、共通の固有値±2,±1,0が導出できて

固有ベクトルはx,y方向それぞれ


と
 
となり、エルミートかつユニタリになりました。
z方向の固有状態は単位行列となり、

どうも
x：実対称行列かつユニタリ
y：エルミートかつユニタリ
z：単位行列

となる癖があるようですね。

ユニタリであることと、行列式とトレースから、このユニタリの固有値はすぐに
-1,1-1,1,1
と求めることができます。
つまり逆算すると

(λ+1)(λ-1)(λ+1)(λ-1)(λ-1)=0

という5次方程式になるはずということです。

ためしに、5状態系で、固有状態の行列式がiになるような状況で固有方程式を求めてみたところ
解として-1の複素原始3乗根「ω+1」が出てくる方程式が現れたことがありました。

てっきり360°を5等分する、代数的ではない(三角関数的)な解が出てくることを期待したのですが
いまいちうまくいきませんでした。
もしかしたらほかの状態だと72度の三角関数が顔を出してくれたのかもしれません。



偶数次の行列も、許されていないわけではないようなので、そのうちやってみようかと思ってます。
scilabに時々頼るのですが
瞬時に固有値が出たり、固有方程式が解析的に出せたりして、それでいて無料なので
便利ですよね。


ああそういえばCV：くじら偶蹄目で思い出したんですが
動物の蹄にスピンなんか関係しませんよねたぶん
偶数に割れてるのがボソンで、
奇数に割れてるのがフェルミオンで
どちらかだけ口蹄疫に感染するとか、まさか～ｗｗｗ


関係があるとしても、たぶん、同じ数学を使う全然別の現象
クォークのひも理論と超ひも理
あるいは
量子力学に使うパウリ行列と3DCGに使うクォータニオン
ぐらい違うんじゃないかな



P†=inv(P)
かつ
P†=P
だからinv(P)=Pで
対角化がJ=PAPなのはじわじわ草生えます





追記
そういえば3状態の固有状態の行列式ですが、-1になってましたね。
この3列とも符号を反転させれば、めでたく行列式をプラスにすることができますね。

ということはええと、特殊ユニタリ・・・のような気がしますね。まじですか
生成子と結び付けることが可能と・・・

今日も定性的な話をするのか

楽しい楽しいツイッターのせいで！！！！



5状態系の角運動量の固有状態を考えますよ

5行5列の行列で表されるじゃないですか。
固有値を求めて、それから固有ベクトルを規格化して。

まあ規格化した固有ベクトルだから、並べるとユニタリになるわけですけど、
固有ベクトルを求める際の連立方程式って永年方程式じゃないですか。
自由度が1つ余ってるんですよ。

こいつをうまく回してやると、ユニタリでありながらエルミートでもある行列が作れちゃうわけです

例えて言うなら焼肉です。

5つのサイコロステーキが1本の串に刺さっているとしましょう。

これが5本あります。

この5本の串を、サイコロの1面だけあぶるように、90度ずつクルクル回転させると
それぞれ最適な角度で、エルミート行列になりえるんです。おそらく必ずなりえるんです。

行列は焼肉だ！といいますが、まさにそれです。

エルミート行列の固有値を取るだけなので、固有値は必ず実数になるじゃないですか。
そうすると、元の行列が実対称行列ではなく、あくまでエルミート行列なので
固有ベクトルは90度ごとに4つありえるわけです。

これが、もっと一般的な行列で、固有値がカブらなかったら
固有値は5つの複素数として一般化されるでしょう
そしたら、固有ベクトルは90度といった量子化された角度で回るだけでなく
もっと連続的な回転角を持って、最適な角度でエルミートになるでしょう。


ところが、エルミートなので、ぐるっと一周360度の間に0,90,180,270°の4つしか状態がないわけですよ。

エルミート行列だとそこんとこかなり都合が良く、
実際エルミート行列は重宝されます。

だから、行列は焼肉だっつってんすよ！


ところで、ユニタリっつうことは
行列式の絶対値が1なだけじゃなく
個々の固有値も、複素平面の単位円上に必ずあるわけで
ユニタリかつエルミートっつったら
偶数次だったら1と-1が同数
奇数次だったら1と-1の個数が1つ違いでカブってる以外ありえないわけです。

固有値方程式を行列式から求めなくても、想像に難くないわけですよ



そんな行列を量産できるんです。量子力学の知識で。
さあどっちが道具でどっちが使役者したか？数学ですか？量子力学ですか？

エルミートかつユニタリなx軸角運動量の固有状態

さっきな、静かな図書館で落ち着いて手計算やった結果を家に帰ってscilabにぶち込んで確認してたんだ。5次行列をがんばって解いてた。

ついうっかり間違えて

P'-inv(P)

と打つところを

P-inv(P)

と打ってみたら、両方とも行列の中身がゼロになって、偶然気づいたんだけど

角運動量の固有状態になるユニタリ行列のx軸成分って
ユニタリでもありながらエルミートでもあったのな！


なんかn次の行列全部に言えそうな気がする。
つまりn状態系すべてのx軸の固有状態がな。

パウリ行列σxを対角化するためのアレ

（|sx+>、|sx->）

だけじゃなかったのか・・・！
まじでびっくりした。

（|sx1>、|sx2>、・・・、|sxn-1>、|sxn>、）←こいつがユニタリ＆エルミート

nが奇数だけじゃなく、偶数でも行けそう。ぼちぼち確かめてみるわ。


もしかしたらy成分はy成分で、ユニタリかつ歪エルミートかもしれん
そういや行列式がiになる感じがしたっけ

並べ方次第かなあ。ノルムを維持しつつ符号を並べ替えたら、一意ではない気がする
なんか特徴ありそう

x方向はユニタリかつエルミートときどき歪エルミート？？



5次ユニタリの固有値方程式を解いてみたい。
5次とは言っても簡単に解ける形になるはずだ。
代数的にではなくとも、三角関数を使えば解けるような解の公式みたいな条件・・・

scilabに2変数多項式が定義できなくて

ムシャクシャしてやった。
パラメータや定数として文字を定義するのはまだ諦めていない


5状態・7状態・多状態系の角運動量演算子の行列表現


a=poly(0,"a")
b=poly(0,"b")
a+b
                        !--error 144
指定したオペランドに関する処理が定義されていません.
関数 %p_f_p を確認またはオーバーロード定義してください.

な、なんだってー！？
ウルフラム先生は、ちょーっと複雑にしただけで金要求してくるし


先日の続きで、5状態系に拡張してみた結果

こう定義してしまうと、球面調和関数Lx,Ly,Lzの固有値が揃わないどころか、整数から外れるものが出てしまうので、前提が間違っていたようだ。(背理法)


ということで、以下のように定義してみると
 
Lzを算出するだけで
Lzの対角要素が-2,-1,0,1,2(固有値)であることを利用して


B^2=2*2
A^2-B^2=1*2


の連立方程式が出来上がり、解くことができるようになった。


同様に、7状態系でも

かなり楽ができて

対角要素だけ3つ計算すれば、あとはゼロか符号反転なので計算しなくてもよく

C^2=3*2
B^2-C^2=2*2
A^2-B^2=1*2
の連立方程式ができ、これを解けば、係数は定まる。


9状態系以降も、同様に計算可能。
ただ、パラメータが増えるので、A,B,C・・・などというよりはa1,a2,a3・・・などとしたほうがよいだろう

(ねむい)

眠い！！！

事実を交えたフィクションはリアリティを増す

メイドインアビス、作者編。


高山病的なアレ
相対論的なアレ
素粒子論(ヒッグス粒子)的なアレ


定性的な話だけなら、せめて割りとネットに出回ってるかと思ったんですが
コメ見ながらでも高山病的なアレしかまだ見当たらないですね。
相対論的なアレは通り過ぎたし
ヒッグス粒子的なアレはもう少ししてからです。今コメありで2巡目だから。

重い（想い）し蟹のときもだったんですが、やはり、学んでいる人が思うほど素粒子論は花形じゃないんだなあと。

「呪いの正体」のところで「力場」っていってるのがすごくしっくりきたんですが、超個人的すぎたのでしょうか
作者が狙っているのだとしたら、視聴者のみなさんは気づいててあえて何も言わないのでしょうか
もしかして無粋？





冥途インアビスでありmaidインアビスでありmadeインアビスであり
対象は今のところ、レグ１：リコ２のミーニング



そういえばレグはルフィにエースを足したような能力持ってるなって思いました
腕伸ばした状態で火葬砲撃つ場合、エネルギー供給ラインってどうなってるんだろう
めっちゃ頑丈らしいけど、途中でライン切れたら相当危険だよね

昨日の日記をscilabで確かめてみました

昨日の日記はこちらです。3状態系の量子力学、行列表現です
ユニタリ行列Pの固有値は、僕自身がネタバレを回避するために、まだやってません
手計算かなにかで3次方程式をまず解いてみたいのです。

うろ覚えですが、確かこの量子数の個数って奇数でしたよね。
3次の次が4次すっ飛ばして5次方程式なのはなんだか残念です。

物理法則をやや無視して、無理やり4次のを作って解くのもありでしょうかねえ
2次のパウリ行列でできたんだから4次もできるんじゃ？と期待してしまいます
 
 y 軸方向の球面調和関数

A=[0,-1,0;1,0,-1;0,1,0]
A=A*%i/sqrt(2)

p1=[1/2;%i/sqrt(2);-1/2]
p2=[1/sqrt(2);0;1/sqrt(2)]
p3=[1/2;-%i/sqrt(2);-1/2]
P=[p1,p2,p3]
det(P)
P'*A*P

 
 x 方向

A=[0,1,0;1,0,1;0,1,0]
A=A/sqrt(2)

p1=[1/2;1/sqrt(2);1/2]
p2=[1/sqrt(2);0;-1/sqrt(2)]
p3=[1/2;-1/sqrt(2);1/2]
P=[p1,p2,p3]
det(P)
P'*A*P


ああそういえば、スピン3/2で思い出したんですが
3/2階やほかの半整数階のテンソルってあるんでしょうか。

絶望的観測日記

たまたま本気出してブログ書いた日の翌日に、たまたまブログサーバの不具合とかが出ると
もしかして俺の人気にサーバがやられたのか！？
だったら本当はもっとお客さん入ってたのに見れてないだけなんじゃね！？

とかありもしない妄想に駆られます。ｗｗｗ

 

3状態系の球面調和関数の代数表現(具体例)

どこからどこまで自分で再発見した車輪なのかおぼろげなのですが、放送大学「量子物理」の小形正男さんによる14話、

3状態系の調和関数の代数的表現(行列表現)を参考に、ある程度自力で2状態系に応用したら
それがスピンやパウリ行列そのものだった

といったような記憶があって


先日の日記で、余裕がなかったので定性的な話を多めにしたら
自分でしゃべってようやく自分で気づきました。

固有ベクトルがユニタリになるのは必然なんじゃないかなって。
こういうところに定性的な話の重要性があるようですね。


そこで、量子物理14話に今一度戻って、3状態系の球面調和関数を例に、固有状態を計算してみたのがこちらです。

行列表現は抽象化されていて、あまり具体例を見ない気がするので、よかったら参考にしてもらえればと。


まず、このように3状態を定義します。
一番高い状態

中くらいの状態

一番低い状態


これらの状態を1つ上に押しやるのが上昇演算子L+ 
1つ下に下げるのが下降演算子L-とすると、
3状態横に並べて、まとめてこのような行列の積で書けるはずです。




ただし、一番上の状態をさらに上げようとしても上がりませんし
一番下の状態をさらに下げようとしても下げられません。

この式の数学的な意味は、単に単位行列Eに行列Lを掛け算したら、行列Lになるよってそれだけのことです。

L=L×E


ここで、係数Aはまだ確定していないものとします。

「量子物理」14話では、理由はよくわからないのですが
上昇・下降演算子L+とL-は角運動量のxとy軸方向成分LxとLyを使って、

L+=Lx+iLy
L-=Lx-iLy

と定義されており、また角運動量のz軸方向成分Lzは、交換関係を用いて

iLz=[Lx,Ly]

と定義されていたので、それに従うと、以下のようになります。



ここで、Lx、Ly、Lzの固有値を求めてみましょう。

Lx,Lyの固有値はλ=0,±A/√2
Lzの固有値はλ=0、±A^2/2

になるので、3軸の固有値がすべて整数、特に0、±1に揃うようなAを探すと、A=√2となります。


したがって、Lx,Ly,Lzはそれぞれ


であることが判明しました。

固有値が求められたので、今度は固有ベクトルを求めてみましょう。
固有値が重解ではないので、固有ベクトルを規格化することが可能です。

Lxの固有ベクトルは、固有値が1,0,-1の場合にそれぞれ

になるため、列ベクトルのノルムが1となるように規格化すると

このようになります。

この3つ並んだ列ベクトルを行列とみなすと

このようになって、行列式を計算してみると-1となり、ユニタリ行列であることがわかるかと思います。

LzはLz自身がすでに対角化されているので、状態固有ベクトルは単位行列となり、行列式はもちろん1の、ユニタリ行列です。

Lyの状態固有ベクトルは・・・材料は揃っているので計算してみてください。
昨日の日記のようになるはずです。

余裕があったら、3軸それぞれの対角化までやってみてください。

備忘録：3状態系の球面調和関数の代数

y方向角運動量の、行列表現のやつです。このエルミート行列Aを対角化する際は、対角化のための行列Pが規格化できるため、きっちりユニタリ行列になってくれます。Pの行列式の値はiです

３次元スピンの向きを、１軸ごとにいっぺんに表す

 
x方向、y方向、z方向それぞれのプラス、マイナスのスピンをいっぺんに表示する
つまり列ベクトルを並べると

なるほどこれは、それぞれのパウリ行列を対角化したいときに出てくる固有値問題

AP=λPの

規格化した固有ベクトルPそのものだ。

たとえばx方向のパウリ行列sxを対角化させたいときの規格化した固有ベクトルPは
x方向のプラスとマイナスそれぞれのスピンの状態列ベクトルを、行に２つ並べたものに等しい。

つまりこの状態ベクトルを重ねて行列表示したものは
ユニタリ行列であって、この逆行列invPはエルミート共役P†そのものである。
invP=P†

(ただし特殊ユニタリではないため、Pの行列式は1とは限らず、
Pの行列式の絶対値(ノルム)が1であるにすぎない)


これは暗記するのにとても適している。

二周してはじめて元に戻るフェルミオン

どうもこういうことのようだ。


σiのiが1でも2でも3でも、つまりどの向きに360度回しても、マイナスの単位行列になる。
720度回して初めて、プラスの単位行列に戻る。

スピン１／２のフェルミオン(スピノール)の性質というのは、どうもこういうことらしい

ゲート能力者のフレンズ(ネタバレあり けものフレンズSS)

もうちょっとでゲートだよ




あれもヘテロダインセルリアンですか？


えー！？へしがないよ！なんで！？


サーバルさん、セルリアンのうしろに！



ほら・・・！ほら！
秘儀！レペティションサイドステップ（反復横跳び）
めちゃくちゃ見てるよ！向こう向いてよ！



オープン・ザ・ゲート！オブ・・・


（コンティニューマーク描くの忘れた）セル～ン！セル～ン！セル～ン！
ゲルバナ！！



パカァァァン！！！



「すっごーい！なにあれなにあれ！？ヒューって空を飛ぶやつ！あれなにー？」

「ゲートエンジンのこと？作ったんだけど」

「作ったーー！？」

「たぁぁぁー！そんなわけないのだ！この帽子の子はさっき生まれたばかりのフレンズなのだ！」

「あなたたちは？」

「アライさんなのだ！」

「フェネックなのさー」

「ボクはかばんです。こっちはサーバルさん。」

「アライさんはねー、さっき生まれたばっかりのかばんさんがゲートエンジンなんて代物を作れるわけがないって言ってるんだよねー」

「初めまして、僕は、ゲートエンジンだよ」

「うわあああああ！しゃべったぁぁぁあぁ！」

「ゲートエンジンは、その昔、ヒトが開発したといわれているよ。そして、かばん、君は、そのヒトの体毛から生まれた、ヒトのフレンズだよ」

「ボクは、ヒトのフレンズ・・・」

「その中でも、特に、ゲート能力者のフレンズだったようだね。君のゲート能力はゲートオブゲルバナ。すべてのゲート能力を、どの時間・空間にかかわらず召喚できる能力だね。」

「ああー、それでここにあったゲートエンジンがたまたま作動したのかー」

「君を生み出した体毛の主は、遊ぶことが大好きだったようだね。だからバナナが出てきたんだ。
食欲も旺盛だったみたいだね。遊んでいるうちに、すべてのゲート能力者の始祖となるタイムマシンを開発してしまったようだよ。」

「カレーうどんを作ってほしいのだ！」

「アライさーん、でもカレーうどんは汁が」

「気を付けても無駄だから、もはやノーガードなのだ！」

「僕というゲートエンジンは、君が生まれた体毛の主によって、はるか昔に作られたものだね。」

「ゲートエンジンってたくさんいるんだよ！」

「サーバルさん、詳しいですね！」

「えっへん！あ、そうだ。なんでバナナは緑色だったの？あれじゃ食べられないよぉー」

「おそらく、カーブラックホールの特異リングを通る際に、圧縮に耐えられなかったんだね」

「カーブラックホールってなに？」

「回転してるブラックホールのことだよ。」

「ブラックホールってなんなのだ！？」

「エネルギーや質量を、一定の範囲以内に押し込むと、時空が耐え切れなくなって、なんでも吸い込んでしまう天体になるんですよ。その天体をブラックホールって呼ぶんです」

「回転している意味はあるのー？」

「はい。ブラックホールはなんでも吸い込んでしまうので、物質が中心の特異点に集まります。そこは回転しないブラックホールの場合は点のはずなんですが、回転していると、遠心力の影響で、特異点がリングになるといわれているんです。」

「特異点がリングになるとなにがどうなるのだ！？」

「さきほど、ボクが”空間”ではなく”時空”が耐え切れなくなると言ったのを覚えていますか？空間と時間を併せて時空と呼ぶのですが、ブラックホールでは、空間と一緒に時間もひずむんです。だから、ブラックホールの近くに行くと、空間だけでなく時間まで、周りの人よりも大きく旅をできるんです」

「なるほど！それでタイムマシンなのだ！」

「そういうことです。ですが、基本的にこれが使えるのは未来へのタイムトラベルのみで、過去へのタイムトラベルとなると、難易度が急に高くなるんです。そこで、回転しているブラックホールのリング状特異点のわっかの中を通るというアイデアで解決しようとしたんです」

「ブラックホールには体毛が3本しかないといわれているよ」

「毛があってよかったねえ」

「はい。質量・回転、そして電荷の3本と言われています。」