|
20080511～
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
天気はよかったのに、悔しいかな体調があまりよくなくて。
そういえば偶数次の行列の、角運動量演算子の固有値な 奇数次みたいにうまくいかないみたいだから、もしかしてその辺ボソンとフェルミオンの分け目なのかなって思って、交換関係じゃなくて反交換関係でやってみようかなとか思ったりして。 それで、パウリ行列のwikiを眺めてみたら、さすがマジックナンバー２ 交換関係も反交換関係も両方ありなのかよおまえすげーな！ それで少し思ったのが、 ユニタリとかエルミートの行列の次数って偶数か奇数かが割りと大事なんじゃないかなってことで ほら、２って唯一の偶数素数だし そもそも１次の行列ってスカラーじゃないすか。 その辺、なんとなく素数ですらない１と親和性高いかな～？とか。 じゃあ素数次の行列ってのも割りと重要性あるかもってことになりそうだよね あーこれはいよいよ、仮面ライダービルドが、スピン2/2のボールをばんじょうやフォーゼとキャッチボールするシチュエーションがはかどりますわ ばんじょうやフォーゼはきっと、スピン2/2のくじゅうううう偶蹄目な口蹄疫を 無理やり物理でスピン捻じ曲げて半整数のSUSY(馬)にして病気を病気じゃなくして返すタイプだからね 重力波以外では消える魔球だよ！ニュートリノ天文学もびっくりだよ！
PR
おとといの続きです。
暴風雨がうるさくて怖いので、なるべく無心に、何も考えないで作業して暇をつぶします。 5状態系の角運動量のy成分Lyを行列表現すると こうなるので、おとといと同様に、λを固有値として |2Ly-2λE|=0となるλを計算してみましょう。 1行目をi/λ倍したものを2行目から引いて、2行目に代入します。 5次行列式が1次減って4次行列式になるので、 ふたたび 1行目をλ/(-2λ^2+2)×(i√6)倍して2行目から引き、それを2行目に代入しましょう。 そうすると行列式が3次まで減らせるので、 1行目を(-2λ^2+2)/(4λ^3-10λ)×(i√6)倍して2行目から引き、それを2行目に代入して、次数を2次にします。 最後に、 1行目を(4λ^3-10λ)/(-8λ^4+32λ^2-12)×(i2)倍して2行目から引いたものを2行目に代入し、自明なスカラーにしてしまいましょう。 おとといと同じ方程式が出てきましたね。 -32λ(λ^4-5λ^2+4)=0 これは -32λ(λ^2-1)(λ^2-4)=0 に因数分解でき、さらに -32λ(λ+1)(λ-1)(λ+2)(λ-2)=0 に因数分解できるので 固有値はλ=0,±1,±2の5つとなります。 おととい同様、エルミート行列だったので、固有値が実数でしたね。 また、-2λが5つあるので、 展開した多項式におけるλの最大次数は5で、その係数は(-2)の5乗で-32になりましたね。
進捗ここまで～ 今のところ、要素に実部か虚部どちらかにしか印がないので、明日はペア揃える。
まずはx成分から。
Lxは こうなので、λを固有値として 2Lx-2λEの行列式を求めてみましょう。 ここで、1行目を1/λ倍して、2行目から引いた値を、2行目に代入してみますと、1列目がほとんどゼロになるので、 5次の行列を4次の行列に縮めることができます。 4次の行列でも同様に、 ②←②-①×λ/(2-2λ^2)×√6 を行って、3次の行列に縮めることができます。 さらに、②←②-①×(2-2λ^2)/(4λ^3-10λ)×√6をして2次に ②←②-①×(4λ^3-10)/(-8λ^4+32λ^2-12)×2 をしてスカラーの方程式にしますと -32λ(λ^4-5λ^2+4)=0 という方程式になります。 これをλ^2について因数分解すると -32λ(λ^2-1)(λ^2-4)=0 になるので、さらに因数分解しますと -32λ(λ+1)(λ-1)(λ+2)(λ-2)=0 となって、固有値λ=0,±1,±2を求めることができます。
2017/10/12のコイツ
3状態系の角運動量のx軸成分の固有状態を並べたもの コイツは素直にエルミートかつユニタリっすよね。 じゃあ2017/10/11のコイツ 角運動量のy軸成分はどうでしょうか。 ユニタリですが、エルミートではありませんね。 しかし、縦に並んでいる3つの串と見なせば、この串を90度ずつ回転させる自由度はあるので 真ん中の列ベクトルをごっそり-i倍してみましょう。 そうするとまず、こうなりますよね 2行2列目を実数に保ちつつ、2行1列目に1行2列目を合わせる形で、列ベクトルの串を90度回転させました。 そうしたら、今度は2行3列目と3行2列目の帳尻を合わせるように、3列目の列ベクトルの串を90度ずつ回したいので、今回はごっそり180度回転させてしまいますと このようになって、1行3列目と、3行1列目の帳尻もちゃんと合ってることがわかり、 無事、エルミートかつユニタリとなりました。 この固有状態の行列式は-1です。 固有値の絶対値も、3つとも1です。 4と1/2と1/2などということはありません。 トレースも1であることがわかるため、固有値は1が2つカブっていて、そのほかに-1があることがわかるかと思います。 わざわざ固有方程式を出すまでもなく、因数分解した結果がわかっているということです。 (λ+1)(λ-1)(λ-1)=0 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 5状態系もやってみましょう。 昇降演算子はそれぞれ このような係数になっているので LxとLyはそれぞれ こうなり、 Lzは交換関係iLz=[Lx,Ly]から こうなります。 Lzはもちろん、LxとLyからも、共通の固有値±2,±1,0が導出できて 固有ベクトルはx,y方向それぞれ と となり、エルミートかつユニタリになりました。 z方向の固有状態は単位行列となり、 どうも x：実対称行列かつユニタリ y：エルミートかつユニタリ z：単位行列 となる癖があるようですね。 ユニタリであることと、行列式とトレースから、このユニタリの固有値はすぐに -1,1-1,1,1 と求めることができます。 つまり逆算すると (λ+1)(λ-1)(λ+1)(λ-1)(λ-1)=0 という5次方程式になるはずということです。 ためしに、5状態系で、固有状態の行列式がiになるような状況で固有方程式を求めてみたところ 解として-1の複素原始3乗根「ω+1」が出てくる方程式が現れたことがありました。 てっきり360°を5等分する、代数的ではない(三角関数的)な解が出てくることを期待したのですが いまいちうまくいきませんでした。 もしかしたらほかの状態だと72度の三角関数が顔を出してくれたのかもしれません。 偶数次の行列も、許されていないわけではないようなので、そのうちやってみようかと思ってます。 scilabに時々頼るのですが 瞬時に固有値が出たり、固有方程式が解析的に出せたりして、それでいて無料なので 便利ですよね。 ああそういえばCV：くじら偶蹄目で思い出したんですが 動物の蹄にスピンなんか関係しませんよねたぶん 偶数に割れてるのがボソンで、 奇数に割れてるのがフェルミオンで どちらかだけ口蹄疫に感染するとか、まさか～ｗｗｗ 関係があるとしても、たぶん、同じ数学を使う全然別の現象 クォークのひも理論と超ひも理 あるいは 量子力学に使うパウリ行列と3DCGに使うクォータニオン ぐらい違うんじゃないかな P†=inv(P) かつ P†=P だからinv(P)=Pで 対角化がJ=PAPなのはじわじわ草生えます 追記 そういえば3状態の固有状態の行列式ですが、-1になってましたね。 この3列とも符号を反転させれば、めでたく行列式をプラスにすることができますね。 ということはええと、特殊ユニタリ・・・のような気がしますね。まじですか 生成子と結び付けることが可能と・・・
楽しい楽しいツイッターのせいで！！！！
5状態系の角運動量の固有状態を考えますよ 5行5列の行列で表されるじゃないですか。 固有値を求めて、それから固有ベクトルを規格化して。 まあ規格化した固有ベクトルだから、並べるとユニタリになるわけですけど、 固有ベクトルを求める際の連立方程式って永年方程式じゃないですか。 自由度が1つ余ってるんですよ。 こいつをうまく回してやると、ユニタリでありながらエルミートでもある行列が作れちゃうわけです 例えて言うなら焼肉です。 5つのサイコロステーキが1本の串に刺さっているとしましょう。 これが5本あります。 この5本の串を、サイコロの1面だけあぶるように、90度ずつクルクル回転させると それぞれ最適な角度で、エルミート行列になりえるんです。おそらく必ずなりえるんです。 行列は焼肉だ！といいますが、まさにそれです。 エルミート行列の固有値を取るだけなので、固有値は必ず実数になるじゃないですか。 そうすると、元の行列が実対称行列ではなく、あくまでエルミート行列なので 固有ベクトルは90度ごとに4つありえるわけです。 これが、もっと一般的な行列で、固有値がカブらなかったら 固有値は5つの複素数として一般化されるでしょう そしたら、固有ベクトルは90度といった量子化された角度で回るだけでなく もっと連続的な回転角を持って、最適な角度でエルミートになるでしょう。 ところが、エルミートなので、ぐるっと一周360度の間に0,90,180,270°の4つしか状態がないわけですよ。 エルミート行列だとそこんとこかなり都合が良く、 実際エルミート行列は重宝されます。 だから、行列は焼肉だっつってんすよ！ ところで、ユニタリっつうことは 行列式の絶対値が1なだけじゃなく 個々の固有値も、複素平面の単位円上に必ずあるわけで ユニタリかつエルミートっつったら 偶数次だったら1と-1が同数 奇数次だったら1と-1の個数が1つ違いでカブってる以外ありえないわけです。 固有値方程式を行列式から求めなくても、想像に難くないわけですよ そんな行列を量産できるんです。量子力学の知識で。 さあどっちが道具でどっちが使役者したか？数学ですか？量子力学ですか？
さっきな、静かな図書館で落ち着いて手計算やった結果を家に帰ってscilabにぶち込んで確認してたんだ。5次行列をがんばって解いてた。
ついうっかり間違えて P'-inv(P) と打つところを P-inv(P) と打ってみたら、両方とも行列の中身がゼロになって、偶然気づいたんだけど 角運動量の固有状態になるユニタリ行列のx軸成分って ユニタリでもありながらエルミートでもあったのな！ なんかn次の行列全部に言えそうな気がする。 つまりn状態系すべてのx軸の固有状態がな。 パウリ行列σxを対角化するためのアレ （|sx+>、|sx->） だけじゃなかったのか・・・！ まじでびっくりした。 （|sx1>、|sx2>、・・・、|sxn-1>、|sxn>、）←こいつがユニタリ＆エルミート nが奇数だけじゃなく、偶数でも行けそう。ぼちぼち確かめてみるわ。 もしかしたらy成分はy成分で、ユニタリかつ歪エルミートかもしれん そういや行列式がiになる感じがしたっけ 並べ方次第かなあ。ノルムを維持しつつ符号を並べ替えたら、一意ではない気がする なんか特徴ありそう x方向はユニタリかつエルミートときどき歪エルミート？？ 5次ユニタリの固有値方程式を解いてみたい。 5次とは言っても簡単に解ける形になるはずだ。 代数的にではなくとも、三角関数を使えば解けるような解の公式みたいな条件・・・
ムシャクシャしてやった。
パラメータや定数として文字を定義するのはまだ諦めていない 5状態・7状態・多状態系の角運動量演算子の行列表現 a=poly(0,"a") b=poly(0,"b") a+b !--error 144 指定したオペランドに関する処理が定義されていません. 関数 %p_f_p を確認またはオーバーロード定義してください. な、なんだってー！？ ウルフラム先生は、ちょーっと複雑にしただけで金要求してくるし 先日の続きで、5状態系に拡張してみた結果 こう定義してしまうと、球面調和関数Lx,Ly,Lzの固有値が揃わないどころか、整数から外れるものが出てしまうので、前提が間違っていたようだ。(背理法) ということで、以下のように定義してみると Lzを算出するだけで Lzの対角要素が-2,-1,0,1,2(固有値)であることを利用して B^2=2*2 A^2-B^2=1*2 の連立方程式が出来上がり、解くことができるようになった。 同様に、7状態系でも かなり楽ができて 対角要素だけ3つ計算すれば、あとはゼロか符号反転なので計算しなくてもよく C^2=3*2 B^2-C^2=2*2 A^2-B^2=1*2 の連立方程式ができ、これを解けば、係数は定まる。 9状態系以降も、同様に計算可能。 ただ、パラメータが増えるので、A,B,C・・・などというよりはa1,a2,a3・・・などとしたほうがよいだろう
メイドインアビス、作者編。
高山病的なアレ 相対論的なアレ 素粒子論(ヒッグス粒子)的なアレ 定性的な話だけなら、せめて割りとネットに出回ってるかと思ったんですが コメ見ながらでも高山病的なアレしかまだ見当たらないですね。 相対論的なアレは通り過ぎたし ヒッグス粒子的なアレはもう少ししてからです。今コメありで2巡目だから。 重い（想い）し蟹のときもだったんですが、やはり、学んでいる人が思うほど素粒子論は花形じゃないんだなあと。 「呪いの正体」のところで「力場」っていってるのがすごくしっくりきたんですが、超個人的すぎたのでしょうか 作者が狙っているのだとしたら、視聴者のみなさんは気づいててあえて何も言わないのでしょうか もしかして無粋？ 冥途インアビスでありmaidインアビスでありmadeインアビスであり 対象は今のところ、レグ１：リコ２のミーニング そういえばレグはルフィにエースを足したような能力持ってるなって思いました 腕伸ばした状態で火葬砲撃つ場合、エネルギー供給ラインってどうなってるんだろう めっちゃ頑丈らしいけど、途中でライン切れたら相当危険だよね
昨日の日記はこちらです。3状態系の量子力学、行列表現です
ユニタリ行列Pの固有値は、僕自身がネタバレを回避するために、まだやってません 手計算かなにかで3次方程式をまず解いてみたいのです。 うろ覚えですが、確かこの量子数の個数って奇数でしたよね。 3次の次が4次すっ飛ばして5次方程式なのはなんだか残念です。 物理法則をやや無視して、無理やり4次のを作って解くのもありでしょうかねえ 2次のパウリ行列でできたんだから4次もできるんじゃ？と期待してしまいます y 軸方向の球面調和関数 A=[0,-1,0;1,0,-1;0,1,0] A=A*%i/sqrt(2) p1=[1/2;%i/sqrt(2);-1/2] p2=[1/sqrt(2);0;1/sqrt(2)] p3=[1/2;-%i/sqrt(2);-1/2] P=[p1,p2,p3] det(P) P'*A*P x 方向 A=[0,1,0;1,0,1;0,1,0] A=A/sqrt(2) p1=[1/2;1/sqrt(2);1/2] p2=[1/sqrt(2);0;-1/sqrt(2)] p3=[1/2;-1/sqrt(2);1/2] P=[p1,p2,p3] det(P) P'*A*P ああそういえば、スピン3/2で思い出したんですが 3/2階やほかの半整数階のテンソルってあるんでしょうか。
たまたま本気出してブログ書いた日の翌日に、たまたまブログサーバの不具合とかが出ると
もしかして俺の人気にサーバがやられたのか！？ だったら本当はもっとお客さん入ってたのに見れてないだけなんじゃね！？ とかありもしない妄想に駆られます。ｗｗｗ
どこからどこまで自分で再発見した車輪なのかおぼろげなのですが、放送大学「量子物理」の小形正男さんによる14話、
3状態系の調和関数の代数的表現(行列表現)を参考に、ある程度自力で2状態系に応用したら それがスピンやパウリ行列そのものだった といったような記憶があって 先日の日記で、余裕がなかったので定性的な話を多めにしたら 自分でしゃべってようやく自分で気づきました。 固有ベクトルがユニタリになるのは必然なんじゃないかなって。 こういうところに定性的な話の重要性があるようですね。 そこで、量子物理14話に今一度戻って、3状態系の球面調和関数を例に、固有状態を計算してみたのがこちらです。 行列表現は抽象化されていて、あまり具体例を見ない気がするので、よかったら参考にしてもらえればと。 まず、このように3状態を定義します。 一番高い状態 中くらいの状態 一番低い状態 これらの状態を1つ上に押しやるのが上昇演算子L+ 1つ下に下げるのが下降演算子L-とすると、 3状態横に並べて、まとめてこのような行列の積で書けるはずです。 ただし、一番上の状態をさらに上げようとしても上がりませんし 一番下の状態をさらに下げようとしても下げられません。 この式の数学的な意味は、単に単位行列Eに行列Lを掛け算したら、行列Lになるよってそれだけのことです。 L=L×E ここで、係数Aはまだ確定していないものとします。 「量子物理」14話では、理由はよくわからないのですが 上昇・下降演算子L+とL-は角運動量のxとy軸方向成分LxとLyを使って、 L+=Lx+iLy L-=Lx-iLy と定義されており、また角運動量のz軸方向成分Lzは、交換関係を用いて iLz=[Lx,Ly] と定義されていたので、それに従うと、以下のようになります。 ここで、Lx、Ly、Lzの固有値を求めてみましょう。 Lx,Lyの固有値はλ=0,±A/√2 Lzの固有値はλ=0、±A^2/2 になるので、3軸の固有値がすべて整数、特に0、±1に揃うようなAを探すと、A=√2となります。 したがって、Lx,Ly,Lzはそれぞれ であることが判明しました。 固有値が求められたので、今度は固有ベクトルを求めてみましょう。 固有値が重解ではないので、固有ベクトルを規格化することが可能です。 Lxの固有ベクトルは、固有値が1,0,-1の場合にそれぞれ になるため、列ベクトルのノルムが1となるように規格化すると このようになります。 この3つ並んだ列ベクトルを行列とみなすと このようになって、行列式を計算してみると-1となり、ユニタリ行列であることがわかるかと思います。 LzはLz自身がすでに対角化されているので、状態固有ベクトルは単位行列となり、行列式はもちろん1の、ユニタリ行列です。 Lyの状態固有ベクトルは・・・材料は揃っているので計算してみてください。 昨日の日記のようになるはずです。 余裕があったら、3軸それぞれの対角化までやってみてください。
y方向角運動量の、行列表現のやつです。このエルミート行列Aを対角化する際は、対角化のための行列Pが規格化できるため、きっちりユニタリ行列になってくれます。Pの行列式の値はiです
|
カレンダー
カテゴリー
ブログランキング
ブログランキング参戦中
よかったらポチッとお願いします＾＾
最新CM
[12/30 buy steroids credit card]
[09/26 Rositawok]
[03/24 hydraTep]
[03/18 Thomaniveigo]
[03/17 Robertaverm]
最新記事
(01/01)
(03/19)
(03/18)
(03/18)
(02/23)
(02/14)
(02/12)
(01/03)
(09/23)
(09/23)
(02/11)
(05/30)
(05/28)
(05/28)
(05/27)
最新TB
プロフィール
ＨＮ：
量子きのこ
年齢：
44
ＨＰ：
性別：
男性
誕生日：
1981/04/04
職業：
WinDOS.N臣T
趣味：
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介：
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます 例：H→7番目、XP→15(P)×26＋23(X)=413番目。 A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいｽﾞｺｰ
バーコード
ブログ内検索
アーカイブ
最古記事
(05/11)
(05/11)
(05/13)
(05/13)
(05/13)
(05/13)
(05/13)
(05/13)
(05/14)
(05/14)
(05/14)
(05/14)
(05/16)
(05/16)
(05/16)
アクセス解析
|
