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20080511～
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
またしてもgoogleのホームが面白そうなことになってる
google skyだってさ。 といっても地球から見える天体の姿にはあまり興味がないので
どっかで見たことがある。
それと同じことをgoogle skyでは空に向けてやっているらしい。 ふと、右上にある「赤外線」ボタンと「マイクロ波」ボタンが気になったので押した。
べ、別に宇宙に周期的な大規模構造があるわけじゃないんだからねっ でもこの波打ってるのは何だろう？
っていうかせめて、どの色が何度とかいう情報も提供してくれ＞＜
あくまで地球から見渡してる「空の景色」であるから、距離を使うのは不適切なのかな？ スケールのところに何も書かれてないから気になったんだけど、 ちなみに地図では目いっぱいズームアウトすると左下に「このものさしで10000kmだよ」ってのが書いてある。
ん？ハッブル20周年？
PR 電柱も繰り返し蹴り飛ばすことでいつかは倒れる･･･
漫画の主人公がやっていた行動をそのまんま鵜呑みにして、幼少のころの純粋な自分はそう信じてやまなかった。 いつしか、いじめっこを倒すことではなく、電柱そのものを倒すことが目的になってしまった僕は 倒れた電柱に巻き込まれて事故死するのが人生の目標だと思い込むようになっていた。 どうせ電柱を倒すなら、そんなにがむしゃらに蹴らなくてもいいじゃないか･･･ 一生かけて倒れるかどうかもわからない電柱相手に、がんばる事をやめた。 今は、もっと楽に生きている。 自転車で勢いをつけて、電柱の肩をそっと叩くのだ。 それを、天気のいい日にだけ散歩のついでに行うのが日課となった。 いや、もはや癖というべきかもしれない。 電柱が「ﾎﾟｰﾝ」となくのがかわいい。 電柱があれば元気が出る。 電柱に挨拶すれば元気をもらえる。 電柱だけが友達。 電柱は倒すべき相手ではなくなっていた。 20歳をすぎ、力学や、その道具になる数学の知識を得た僕は ふと「どのくらいかけたら電柱を倒せるのか」という疑問にぶち当たった。 電柱は僕にとってのなんだろう？ 友達か、それとも倒すべき相手か、いや、ライバルというのが一番ふさわしい。 青春をともにした幼馴染の電柱に、ほのかな恋心も芽生えていた。 「あ～電柱とヤりて～」 そう言える友達はいなかった。 言ったら「頭おかしいんでないの」といわれそうだからかもしれない。 それでもよかった。 僕には嫁のほかに2人も愛人がいる。 力学と数学だ。 しかし、一生かけて電柱を倒すには、電柱を構成する材料の強度データが必要だった。 欠けた最後の(ミッシング)ワンピース。 電柱を構成する材料･･･なんだかエッチ゛な響き･･･ﾎﾟｯ〃∇〃 しかし、僕は怖かったのかもしれない 電柱を倒してしまったらその後の人生はどうなる？ 「電柱を倒しても代わりはいるもの。」 電柱はきっとそういうだろう。 いや、それより「一生かけても電柱を倒せるのか倒せないのか」わからないまま死んで行くのが怖い･･･ いつしかそんな欲望すら生まれていた。 僕もすっかり汚れてしまったな･･･。 そして、それを知ってしまうのも怖い。 130年かけても絶対に倒せないとわかってしまったら･･･ 電柱は救われるかもしれないが、それでは僕の人生なんだったことになるんだ･･･！ なんて矛盾に満ちた思考なんだろう。 そんな悶々とした日々が続いた。 ある曇り空の日のこと。 背もたれがイカレっちまったイスに座りながらPCで単純作業をして萌えていたとき、ピンッという音がして何かが飛んでいった。 それは明らかにイスの下から聞こえた。 飛んでいったのはビスだった。 イスのビス、吹っ飛ぶ。 布団のそばのイスのビスが吹っ飛んだ。 シャレになってない。 これではイスが使えないではないか。 幸い予備のイスが隣においてあったので、それを使うことにしたんだが 本当にシャレになってないのはこっちのほう。 なんだこれは。 魔法以上のユカイな力でビスが曲がってしまったのか？ それとも元々こんな形のビスなのか？ いや、違う。そのどちらでもない。 僕の体重で潰したんだ。 長い長い時を超えて･･･ビスが変形したんだ。 ！！ 僕の脳裏を何かが掠め飛んでいった。 ビスだ。 ビスが飛んでいく。 あわててそのビスを捕まえる。 ビスは言った。 「常盤金成だお＾＾」 君の名前はそんなふざけた･･･だがちょっと待ってほしい。 時間をかければ全身金属のビスだって曲がる。 じゃあ、手塩にかけて毎日挨拶していれば、電柱だって倒れる日がくるんじゃないのか。 イスが我が家にきてから8年くらいが経っただろうか。 10年もしないうちにビスは曲がる！ 心が希望に満ちてきた。 僕の戦いは、まだ始まったばかりだ！！！１ ご愛読ありがとうございました。 量子きのこの次回作にせいぜいご期待ください。 ↓気になったらせいぜい押してください  にほんブログ村
フェルマーの最終定理は これに対し、 と考えてみていた。 そうすると、オイラーの公式：eix=cos(x)+isin(x)から つまり
もしや本当に存在しないのだろうか･･･ 思えば、0zのzが負数である時点で0による除算になってしまうので このzを複素数に拡張したら･･･どうなるのだろう
じゃあこうしよう。
aのi乗の計算のしかた。 t=aiとおき、自然対数をとる。 とおける。rとθは任意の実数、mは任意の整数である。 では、このsを代入してみる。 lnt=is=ri-(θ+2πm) aiという演算は、aという複素数の偏角と絶対値を入れ替える効果があるらしい。 このaについて0の極限を取りたいのだが、この場合aは複素数であるから、あらゆる偏角から0に収束させていったほうがいいだろう。 すると、rの変化によってaiは図のような数になっていく。 e2πm-θのθとmが任意なので、aiの絶対値はどの値も取りうる。
つまり、aを0に持っていったときのaiは、複素平面全域に広がってしまうということになる。つまり不定だ。
ということは、
前回までの日記は、n次元超球の体積を、ガンマ関数を使ってnが整数ではなく実数まで拡張して表現することに成功した
が、nが1未満のときは自作のガンマ関数では限界があることに気づいた。 というのも、0次元における超球の体積が気になっていたのだ。 超球の体積は、超球の表面積をrで微分すると出てくる。 ということは、n次元超球の体積と表面積の比はnであるべきであり 0次元では、体積が発散でもしない限り、どんな体積でも表面積は0に固定されるはずである。 ならば、0次元超球の体積は発散するのか？ そこが知りたかった。 0次元･･･0は整数だ。 なのであれば、ガンマ関数を階乗に戻して考えることも可能だ。 Vn=2πn/2・rn/n/Γ(n/2) にn=0を入れるとわけのわからないことになるが 同じ式の別表現である Vn=πn/2・rn/Γ((n/2)+1) にn=0を入れると計算が容易だ。Γ(1)=0!なのでVn=1になる。 0次元の超球の体積は有限だった。 ちょっと気になるので、n=1とn=0の間の状況も知っておきたい。 ここは仕方がないから、ネットに頼ろう。 ガンマ関数のグラフがwikipediaに貼ってあるのだから どこかの誰かがガンマ関数の計算をやってくれるアプリケーションをネット上で展開していたりするに違いない。 そしてそれは実在した。 とりあえず1次元まで0.2次元ごとに計算してみて、特に発散しているということはなさそうだった。 次元数を連続化させた場合のn次元超球における体積と表面積のグラフを以下に示す。 1次元の超球は体積が2r、表面積が2だった。特に表面積は半径に依存しない。 何を意味するのだろうか？ 1次元の超球は線以外にない。 ということは、体積は線の長さなのではなかろうか。 中心を線分の二等分したところとすると、なんとなくつじつまが合ってしまう。 表面積はなんだろう･･･線分の中心の左右に1つずつ線分があるよ、という意味ではなかろうか。 そして、0次元。これは点だ。 体積は常に1 半径も何もない。 おそらく0次元には単位というものすらないのだろう。 自由度もないため唯一数えられる数があるとしたら1 だから体積は1以外に存在しない。 といったところなのだろうか？ 表面積は、周りに何もないから0･･･という感じなのだろうか。 どちらも推測に過ぎないが。 そして、階乗は負数では定義できない。発散する。 これは、実数・複素数に拡張されたガンマ関数においてさえ同様である。 つまり、負の実数においては、整数においてだけ発散するのである。 逆に言うと、それ以外では発散しない。 ということは、整数以外の実数次元はおろか、複素数次元というのも考える余地があるということになるのかもしれない。 以前、僕は複素数次元のことを実数軸と複素数軸がある、程度のものだと考えていた。 確かにそういう概念もあるのかもしれない。 しかし、「複素数次元」という表現をした場合、 どちらかというと次元の数自体が複素数であるという解釈のほうが素直な気がしてならない。 つまりこんな感じだ π＋ｉπ次元のような感じだ。 ･･･底なし沼に迷い込んだような悪寒がする。 ところで、0次元超球である点の体積が0ではなく有限なのであれば 点に質量が集中するブラックホールやビッグバン現場などに発散(特異点)が姿を見せることは実はなかったりする･･･なんてことはないよな？ なーんてことを、コンピュータが考えてブログに載せたりする日がきたらいいよなぁ そういえば･･･0次元ですでに点なんだが 点すらないのは何次元なんだろう？ ちなみに 2次元図形で言うところの2角形は線分、1角形は点なのではないかと思っているんだがどうだろう？ n角形の外角の和は360度で、内角の和は180(n-2)度ということと照らし合わせると 2角形の外角の和は180＋180度で360度 内角の和は0度であっているようにも思える。 1角形の外角の和は360度、これもあっているように思えるが 内角の和が-180度というのはどう解釈すればよいのかいまいちよくわからない。 ～いちおう、完～ ↓気になった時点ですでに押すこと。  にほんブログ村  にほんブログ村
前回の日記は、n次元超球の体積と表面積のグラフが連続性を持っていそうな点に興味がいったという話だった。
超球の体積と表面積に関するそれぞれ2つの式 体積が rn(2*(2π)(n-1)/2)/n!! ｎ：奇数 rn((2π)n/2)/n!! ｎ：偶数 で、表面積が rn-1(2(2π)(n-1)/2)/(n-2)!! ｎ：奇数 rn-1((2π)n/2)/(n-2)!! ｎ：偶数 をなんとか統一的に表現できないものか というところからアプローチをスタートした それぞれの項を一般的にあらわさなければならず しかもそれで整合性が取れるのか確かめる必要があった。 しかし、式が複雑怪奇になりすぎて挫折してしまった。 むやみに試行錯誤的な式の修正はするべきではない それが確信を持っていえることなのであればいざしらず 確信も持てないまま進めて行くと、長い道のりの場合モチベーションが持たない。 気分転換のつもりで n!(階乗)についてwikipediaを見ていた。 ゆくゆくは整数ではなく実数のnに対して整合性を取りたいわけだから 階乗も実数に拡張しなくてはならない。 n!の対数を取って、それを∑で表し、さらに∑を積分に見立てたやり方では、n!の桁程度の精度しかなく、こんなものは使えない。 そんなわけで、ガンマ関数という概念にたどり着いた。 ガンマ関数Γ(n)は階乗を整数から実数、そしてなんと複素数にまで拡張した関数であり、 ただし、Γ(n)=(n-1)! の関係がある。 ガンマ関数についてぐぐっていると うっかりネタバレを見てしまった。 開いたサイトにn次元超球のガンマ関数を使った統一的な表現方法が載っているではないか。 n次元超球の体積Vnは、 Vn=πn/2・rn/Γ((n/2)+1)=2πn/2・rn/n/Γ(n/2) だそうだ。 うん、シンプルだね。 答えを見てしまったので、あとはそれに従って計算するのみである。 しかし、ガンマ関数なるものをエクセルで見たことがなかった･･･はず。 おそらくアドインを追加しないとガンマ関数が使えないんじゃなかろうか。 アドイン追加とか関数の検索とかがめんどくさかったので wikipediaにあったガンマ関数の定義を参考に 簡易的に積分して自作することにした。 すると、結構合うではないか。 これなら3.14次元の超球の体積なんかも求められてかなり萌える展開である。 しかし、自作のガンマ関数は、nが1未満になるととたんに収束が悪くなる。 これはどうしたものか。 つづく。 ↓気になったら押しちゃうんだよ！  にほんブログ村  にほんブログ村
2010年4月7日の日記の続きなんだが
n次元超球の体積の求め方は、数値積分としてはさほど難しくないことがわかった。 断っておくが、n次元超球の「体積」がもはや「体積」ではないことは承知している。 以前はn積、n-1積などと呼んでいたが、やっぱり体積・表面積と呼んだほうがイメージしやすいようなので、以後こう呼ばせていただく。 まず2次元超球(円)の体積(面積)V2=π・r22を出しておき r2=√(r32-z22)とした上で V3=∫-r3r3V2dz2 を行うと、3次元超球(球)の体積V3が求まるので これをn次元に拡張すると rn-1=√(rn-zn-1)とした上で Vn=∫-rnrnVn-1dzn-1 ただし、すべてのrn=rであるとする。 とすれば、漸化式的にn次元までの超球の体積を計算できるというわけだ。 これを漸化式から一般式に直すのは簡単で、 単にn重積分を行えばよい。 これを解析的に計算する方法はめんどくさいので具体的には行わないが ∫Vn-1dzn-1を行う上でanをn番目の数列として Vn-1=an・r^n-1 であることと rn-1=√(rn-zn-1) であることがつながると ルートの入った積分と入らない積分を交互に繰り返して行くことが 奇数次元と偶数次元の体積の式ががらっと変わってしまっている原因を作っているのだろうということは確認できた。 これがその式なのだが 体積が rn(2*(2π)(n-1)/2)/n!! ｎ：奇数 rn((2π)n/2)/n!! ｎ：偶数 で、表面積が rn-1)(2(2π)(n-1)/2)/(n-2)!! ｎ：奇数 rn-1((2π)n/2)/(n-2)!! ｎ：偶数 となっている。 n!!は階乗の拡張で2重階乗といい、 nが奇数のとき→n(n-2)(n-4)･･･5・3・1 nが偶数のとき→n(n-2)(n-4)･･･4・2 といったものである。 これをグラフにしたものが以下の図である。 半径を1とした。 驚くべきは、体積・表面積ともに最大値のある次元が有限であるということだ。 体積は5次元、表面積は7次元で最大になる。 それともう1つ、 違う式なのにもかかわらず、グラフが滑らかである点が気になった。 ここで疑問が沸く。 これはもしかして、1つの式で表すことが可能なのではないか？ そして、n次元を整数から実数に拡張できるのではないか？ つづく。 ↓気になったらポチ。お願いしますね  にほんブログ村  にほんブログ村
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ぼーっとしながらノートに力学の計算をしていたらだんだん眠くなって･･･ 気づいたら晩飯だよ！！ 計算式見てたら眠くなるなんてありえないだろ普通 ラジオ聞き逃したし！ なぜお茶放置したし！ しかもそのお茶昨日の残りっぽいし！ 今日のコップにお湯入れろよ！ 隣にあるんだから！ ちくしょう頭いてえ！ 昼寝たけどもう寝る！ じゃ！ ↓ど、どうせたいした日記じゃないからポチっとしなくてもいいんだからねっ  にほんブログ村
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ＨＮ：
量子きのこ
年齢：
43
ＨＰ：
性別：
男性
誕生日：
1981/04/04
職業：
WinDOS.N臣T
趣味：
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介：
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