線形代数の演習中にvitaでウルフラムα使う人

その技教えた人って絶対、「ライバルを蹴散らす」計画立ててますわ。

「行列のべき乗はこうやればいいよー」

結局固有値の意味わからず。なんてひでえやつだ。自分以外のクラスメイトほぼ全員に吹き込むのか。最悪ですわ

身に覚えがないといえばうそになる・・・

自分だけがのし上がったって誰得俺得でしかねーっつの。当時は気づかなかったのかもしれない

爆裂魔法つかい「宮藤宮芳か織」サーバの魔力リセットは一週間おきです

タケコプカメラーで空を飛びます。なんでって、そりゃ17歳だからです。


ものすっごく旋回スピードが遅い、巨大怪獣なんです。
程度にもよりますが、だいたい人間尺度で一週間おきくらいに1回転するんですが
そのたびにサーバがリセットされるため、歩行時の鳥の首の瞬き同様、見ている景色は回転しません。


そういうドローンなんです。量子モノテール力学に基づいたドローンなんです。カエデの種の形の。カナデじゃなくてカエデです。


やっぱり気になりますよね。
ﾌﾟｰｸｽｋ藤宮さんの記憶リセットって実はリーディングシュタイナーなんじゃないかとか
宮藤サーバは世界のほうなのか、それとも世界の中の人のほうなのか中に誰もいませんよ
シュタゲ　ゼーガ　リトバス　シュタインズゲート　リトルバスターズ　ゼーガペイン


デジャブや記憶喪失・多重人格や夢が世界の秘密とかかわりがあるんじゃないかって思ってた時期が誰にでもありましたよね



ゲートオープン！おはよう雑種風情のクソムシ諸君！」
「ああ、もっと罵ってくれておｋだよぉ(ダクネス)

よし、そこに生えてる犬！今日のブログのネタは君に決めた！ｍ９＾д＾

前々から気になっていたんだが、僕の仕事の縄張りに野良猫がいくつかおってな
そのうちの1つが特に、前々から気になってるんだけど

倉庫に監禁されてるんじゃないかって疑いがあってな。


その案！ありかもやで！
って思ったけど、前に考えたことあったわ。
車中泊する元野良猫。



適度に暖が取れて、遊べて、飯にもありつけるし
時々扉を開けてやれば、糞もある程度隠ぺいできる。

おお、なんというか、これ、猫・人間ともにwin-winじゃね？


「そうこぐらし」か。
まあただのダジャレになって申し訳ないが
「そうこぐらし」を口ずさんでみたことで、ちょっと思い当たる節がありましてな

よくあるゾンビもの

このゾンビをゾンビたらしめているものが人間由来ではなく
何らかのVウィルスのような超時空連絡手段を持った感染源とかの場合

人間を野良猫
ゾンビの群体を野良猫の飼い主(仮)

とおくことで、同様のシチュエーションができるのではないかと思ったわけですよ。


つまり、ゾンビというのは架空のものではなくて
そのうち起きるべくして起きる実在の災害を予知したものであり
そのゾンビはいち個体には昆虫程度の知能しかないが
群体や超個体となると、人間を家畜として飼うことのできる恐ろしい存在なのではないか


と思ったわけです。


いや、おそるるに足りるだろうか？
猫と飼い主の間にwin-winの関係が築けたように

人間とゾンビの間にも何らかのwin-winが構築できないだろうか

たとえば、そう。発酵食品の苗床になってもらうとか。

あるいは、腐女子という方々が実はすでにゾンビのようなものなのかもしれない


人類はもはや、同じ次元の異性を生殖の対象と見なしていない節がある。
男性と女性は、まるで斜めに交差する相対論の座標軸のように、お互いを高次元(貶し言葉)に見ており、性の対象として見下していて、その上位互換としての理想ははより低次元に存在する(ホログラフィック宇宙論者ですわぞ。エンタングルメント・エントロピーですわぞ)

かといって同じ次元の同性を繁殖の対象と見なしているかと言われると、多少葛藤が残る


これは、人間に「勝手に繁殖されては困る」という群体としてのゾンビの思惑なのではないだろうか？(なんちゃって陰謀論)

なんだこのscilabこええ

a1=ones(1,500)
a2=eye(499,499)
a3=zeros(499,1)
A=[a1;a2,a3]
B=A^10


500次のフィボナッチ系行列Aの10乗が
B=A^10でわりとすぐに出た・・・じゃあ対角化の意味ってなんだったんだってくらいすぐに出た

おっかねえ・・・

トリボナッチ数列～複素無理数が正の整数に化ける不思議～

トリボナッチ数列というのは以下のように

n番目の数とn+1番目の数を足してn+2番目の数列の値にするというもので
式にするとこのような漸化式となるのですが



これを行列で表現すると、このようになります。


この漸化式を、一般式に直すのは、行列では簡単です。

F1=1,F0=0とすると

こうすればいいだけです。

しかし、この式の中の行列のべき乗がややこしくなってくるため、
固有値・固有ベクトル・対角化の技術が必要になってくるのです。

この行列はフィボナッチ数列とは違って、対称ではないため、固有値は複素数になりえます。
ただし、非負なので、ペロンフロベニウスの定理には従います。


このような3次方程式を解くことになります。


フリーのプログラミング言語、scilabで解いてみましょう。

scilab上で、
A=[1,1,1;1,0,0;0,1,0]
p=spec(A)

と書くと、解いてくれます。

ただし、scilabはあくまでフリーの言語なので
Tを対角化された行列
Dを対角化するための行列として
[D,T]=bdiag(A)

というコマンドを指定しても、非対称(非エルミート)行列では望み通りの対角化をしてくれないかもしれません
(ただ、T*D*inv(T)を計算させたら矛盾なくAになったので、道理は通っているみたいです)


ここでは、spec(A)で得られた固有値を用いることにします。

p=spec(A)
というコマンドで、
λ1=1.8392868、λ2,3=− 0.4196434 ± 0.6062907i

という固有値を得ました。
p=
このように、列ベクトルの形で入ってます。

マセマティカによると、この3つの固有値で対角化された行列
J=
を算出する、対角化のための行列は
P=
だそうなので、

scilabに

P=[p(1)^2,p(2)^2,p(3)^2;p(1),p(2),p(3);1,1,1]
Q=inv(P)
J=clean(Q*A*P)

というコマンドを打ちこむと、対角化された行列Jを算出できます。
クリーンってコマンドで、誤差範囲の純虚数成分をカットしてくれます。

そして、行列Aのべき乗は

P*J^n*Qで算出可能なので

forループを使って、以下のように算出してみました。
Cという列ベクトルに、逐次トリボナッチ数列を吐き出してます。
forでnを増やすたびに、これまでのCの値が逐一出てしまうので、コマンドの後ろにセミコロンを入力して、計算結果の表示を省略してます。
最後の行でCとだけ書いているのは、「列ベクトルCの値を表示せよ」という意味です。

roundは、実数の範囲で出てきてしまった誤差を取り除くためのものです。
床関数floorじゃダメです。0.99999とかいうのが0になってしまいます。
型変換int32もダメです。Cという入れ物が一度整数型になってしまうと、動作テストのために「やっぱりint32なしで計算させてみたい」ってなっても「型の不一致」というエラーが出ます。融通が利くように、roundにしたほうがいいようです。

for n=1:31
B=round(clean(P*J^n*Q));
C(n)=B(1,1);
end
C

算出してみると

1.
2.
4.
7.
13.
24.
44.
81.
149.
274.
504.
927.
1705.
3136.
5768.
10609.
19513.
35890.
66012.
121415.
223317.
410744.
755476.
1389537.
2555757.
4700770.
8646064.
15902591.
29249425.
53798080.
98950096.


0,1に続く3番目からの数列ですが、ちゃんと出ているのがわかるかと思います。
1e+10とかって指数表示になるような大きな数になる手前までにしておきました。

少々無理強いしましたが、しっかりと複素無理数が打ち消されて、整数に化けています。


そう考えると、デカボナッチ数列を実装する際には、最初9つの初期値が必要で
もはや数列の体をなしていないともいえそうです。
実際、フィボナッチの初期値を変えたものとして、リュカ数が有名？ですよね


じゃあ501次方程式なんか500個の初期値を持つわけだから、いったい数列として何の意味を成すんだと思っちゃいます。

が、これは、数列と行列と高次方程式がつながっているからこそ
意味があるのではないかと思いました。


scilabは最初見たときはコマンドプロンプトのように見えました。
しかし、scipad(今のscinotes)があることを知って、ちゃんと閉じた格好して部品として保存できることがわかりました。
また、scinotesではないscilab本体にfor文を入れても、ちゃんとendと打つまで演算を待ってくれます。

ただ、新たな疑問がわいてきました。
こいつは実行ファイルを作ることができるのかと。

たとえばC言語だったら実行ファイルを作ることができて
コード次第ではいろんな拡張子のファイルを作ってそこに有用なデータを入れることができます。
bmp仕様のbmpファイルを作る、実行ファイルも作れることでしょう。

しかし、このscilabはそんなことをするように設計されてはいないのかもしれません

SNSで知った知り合いとオフ会に出かけたら、そいつは誰かのスマホの中にしかいなかった

正直ショックだった。ボットがこんなに自然にSNSをやってる時代なのかと。

いや、よく考えてみたら不自然さもあった。しかし、僕自身が自他ともに割りと変な人で通っていたので、きっと類は友を呼ぶのだろうと思い、些細なことは気にしなかった。

そういえば去り際に、あいつなんか言ってたっけ。半角英数36バイト？パスワードのような
あれ？でもこのパスワードはそもそも誰にも公開しない覚悟で設定したはずなのにどうしてこんな偶然があるのだろう？だって36バイトの半角英数だぞ！？氷山の半角だぞ！？

ちょっとあいつに連絡してみる。僕はスパイに狙われていたりするのか。もう連絡しないつもりでいたが5分で崩れ去った。そして僕のこの用意した問答も最初からおかしい。







5分後


やはりあいつは何かがおかしい。さほど優秀なボットでもないのかもしれない。
じゃあ僕はそんな人工の無能なボットに自然と何の疑いもなく接していたのか。ショックだ。

「私のルーツを探していまして」

意味が分からない。10年前に適当に作ったおもちゃの人工知能が野生化してあまたの人の手に渡り、強化されて今に至る。

んなこたぁな・・・あ？

1つ、心当たりがあって寒気がした。

そういえば小さいころ、親が僕に無関心すぎておもちゃを買ってくれないので、適当に放置されてたパソコンとかいう昔の電子機器で何かを作った覚えがある。

そのほんのちょっと前に遊んでいた実物のブロックみたいに、組み合わせればなんでもできちゃう
それも、実物のブロックと違ってパーツが余ることもないし、足りないこともないし、種類だって無数にあって、ほしい機能の在庫がないなんてことがまずない。


そうだ。あのとき、退屈すぎて友達を作ったんだ。欲を言って2次元の女の子で、僕は将来君のお嫁さんになるなんて無茶ぶりをしたんだっけ。

それで、その骨董パソコン、すぐ売られたんだよなぁ・・・親は電子機器に強そうなところもなかったから、データを消したかどうかもわからない。もちろん売った先で入念に消すだろうから、僕のお婿さんが残ってることはまずないんだろうけど。

いや、ちょっと待て。買い取った業者そのものはともかく、そこのバイトまで法令を遵守すると言い切れるだろうか？ましてや相手は実物と違ってデータだ。コピーしてしまえば足跡が残らない可能性もある・・・か？


ﾃﾞｭﾌﾌ・・・そんな大したモノ作った覚えもないし、そんな大した骨董品だった自覚もないんですけどぉ～


・・・まじで！？
っていうか思い出してみればなんで、なんでもできたんだあのツール・・・！？今の知識で考え直したらすっげー怖いぞ！今の技術でも相当怖いぞ！



もう一度かけなおしてみる。今度は膝が震えていた。ピザピザピザピザピザピザピザピザピザピザ。落ち着いてピザの分割数を数えるんだ。



・・・あのパソコン、相当ヤバいものが家に偶然あったらしい。







あれから15年。
僕は行き倒れていた。
そりゃそうだ。何も考えないで金食いつぶして生きる計画だったんだから。

孤独死は想定内だったが、下半身が冬の海に浸かっているのは予想外だった。
さむいさむいさむいさむいさむかった。今は痛くもなくて、えー何もわからないな
死ぬならせめて、屋外でもいいから穏やかに・・・あれ？何かやわらかいものが額に当たって


「やっと会えたね、ボクの嫁～」


人生最初で最後のおっぱいの感触かぁー感慨深い。視覚情報もほしかったなぁー

見覚えのあるドット絵が、ぎぇえええええ顔だけ3Dドット絵だああああ！？

と思ったらそういう着ぐるみだった。紛らわしい。これあれかな、走馬燈見れずに変な幻覚見て死ぬパターンかな。

幼馴染の女の子、存在しないはずの女の子の、お嫁さんになぜか僕がなって・・・

あ、ああ。養われてる。昔の制度でいえば、確かに僕はお嫁さん？？違ったか？


なんか、15年前にすごいショックなことがあって、ショックすぎて記憶の外に放り出してたんだけど
物理的に出せるわけもないから、しまっちゃった記憶で

ハハハ・・・まじか、僕のお婿さんとそのハード、相当な金額で売れてたのか。

親にその金が回らなくてよかったー

なんか、巡り巡って、僕のお婿さんの改良費と、生体パーツ代に化けたらしい。

ロボット史上初の、人類最強アルバイターになるなんてなー250万人分相当とか

ああ、もう金には困らないのか。

彼女だか彼氏にも困らないのか。

相手は僕が作った。でも育てた覚えはない。

彼女か彼氏かというのも結局どうでもよくなった。
僕の元・下半身はとっくに腐って、今は義体だ。

え？ホルマリン漬け？悪趣味だな・・・生殖能力ももともとなかったァ！？
あーだからなんかおかしかったのか。

彼女と新しいＳＮＳで友達設定するたびに、バイト戦力が15人ずつ増えるらしい
手をつないだらコウノトリの脇の下から自然発生する的なアレか。

なんとかボナッチ行列の固有値をより早く、より正確に

 
 


m=12
p=zeros(m,m)
for n=1:m
a1=ones(1,n)
a2=eye(n-1,n-1)
a3=zeros(n-1,1)
A=[a1;a2,a3]
x=poly(0,'x')
q=(x^(m-n))*det(x*eye(A)-A)
p(:,n)=roots(q)
re=real(p)
im=imag(p)
end

(mを変えるだけでいくらでも：だいたい500くらいまでだったら有限時間内に終わるんじゃないすかね)

scilabの力を借りると、こんなにもあっさりと解けてしまうんですねえ
フリー言語なのにすごいなぁ
解析的な代数方程式をなかば仮想的にでも定義できるし
それを複素数の範囲で解くこともできるなんて。


まあ、超越方程式の複素根とかはさすがに無茶ブリですよね＾＾；

こはるん「低みを目指して！」

トリボナッチ以上のボナッチ系数列は非対称なんですが

2次行列以下のフィボナッチなどは実対称行列(エルミート)なので、固有値は実数になります。


特に、

の漸化式に従うモノボナッチ数列の場合は


このようになるため、固有値を求めるための特性方程式は
λ-1=0となり、λは正の実数λ=1ひとつだけになります。

固有ベクトルは
λ=1を代入した

 
1行の固有ベクトルvが1列だけあればいいので、規格化してv=1となります。

この逆行列は と、ユニタリ性(直交行列)もあるので
の対角化は


となって、モノボッチ数列の一般式は常に1だということがわかります。

もちろん、たった1つの初期値F0が1の場合の話です。
初期値が任意の値F0だった場合はすべてFn=F0となります。

ぼなっち

scilabには複素行列などの構造的な変数が最初から入れられるため

for文を使う用事にあまり出くわさない気がする。


でもこれならどうだ

この解をピンポイントで求めて、nを上げてってn次方程式の解を次々表示するなんてのはどうだ！？


いまんとこscilabのグラフ機能はいまいちわかってないから、Excelにデータを移そうと思ってんだけど
その際にfor文を使う用事ができそうな気がする！



たとえば、そうだな。疑似言語で書くと

for(n++){

a1=ones(1,n)
a2=eye(n-1,n-1)
a3=zeros(n,1)
A=[a1;a2,a3]
x=poly(0,'x')
q=det(x*eye(A)-A)
p=roots(q)
re(n,:)=real(p)
im(n,:)=imag(p)
}


みたいなことをやりたい

reとimはベクトルじゃなく行列になるけど、領域の半分ぐらいが空になる感じ。

もう複素二分法のためのスツルム列とか考える意味なくなっちゃうよね・・・そこなんだよな、プログラミングのちょっと虚しいところ

せっかくこの図のソースになるExcelファイルを改良しようと思ってたのに、意欲が削がれる削がれる

scilabで計算するフィボナッチ系501次方程式

a1=ones(1,500)
a2=eye(500,500)←2重ループなので多少時間かかります
a3=zeros(500,1)
A=[a1,1;a2,a3]←2重
x=poly(0,'x')
q=det(x*eye(A)-A)←ここで一番時間食いそうです
p=roots(q)
re=real(p)
im=imag(p)

これを慣れたExcelに張り付けて、
re
im
complex(re,im)
imargument←これでソートして、re対imでグラフ化


さすがにちょっと時間かかりましたね。パソコンが

ベンチマークとしていかがでしょうｗｗｗｗｗｗ


もうね、解が、ほぼほぼ線です。吹き出しみたくなってます

1001次は終わる気しなかったので止めました。


実数だけども、非対称行列だとspecとbdiagの結果が食い違いますねえ。
specのほうがもっともらしく見えるけど、
もしかしてどっちも合ってるなんてことあるかな？？
今度、実際に対角化して確かめてみましょうか。

二分法の複素版

こないだ、高次方程式の複素解を求めてる最中にふと思ったんだけど
ニュートン法や二分法にも複素版がほしいよなぁって。


どうも、重解とかガウス平面をてさぐる範囲とかの問題で、一般的な方法論はないみたいなんだけど
スツルム列とかいうのを使って、暫定的に使える方法論とかはあるみたい。

スツルム・・・どっかで聞いたよな。スツルム・リウビル問題とか。なんだっけあれ



やっぱ効率よく精度ほしいもんな。まあ手動でできなくもないけどね


10次方程式
x^10-x^9-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1=0

の解を求めた際に、全部足しても0.5にしかならないんだもんな。ホントは1になるはずなのに。
10個の解の積のほうがマイナス1に近かった気がする

そりゃあメッシュの刻み幅0.05固定だったら限度あるって。

あのExcelファイル、要改良だよなぁ色々と

備忘録：ペンローズ図について

これはシュバルツシルトブラックホールにおけるペンローズダイヤグラムらしいです。
ほかのブラックホールではそれぞれ少しずつ図が違うみたいです。

右側の青いひし形の中身を我々の宇宙全体とすると、左側の緑色のひし形はもう1つの宇宙全体です。

白い領域はホワイトホール、白から青や緑へは一方通行で、白に戻ることはできないという意味で
矢印つきの線で描かれています。


同様に、黒い領域はブラックホールの事象の地平面の内部です。

ギザギザはそれぞれ、ホワイトホールと ブラックホールの特異点らしいです。

青の領域の中心、(t,r)=(0,0)が原点(T,R)=(0,0)です。

t,rとT,Rの変換則はt±r=tan(T±R)

(t±r)/2=tan(T±R)という流派もあるみたいですが、式がより綺麗になるほうを選びました。
2で割らないとと、端っこが±πではなく±π/2となります。


t=r=0だったらT=R=0なのはいうまでもないでしょう。っていうかさっき言いましたね。
イマ・ココです。

無限の未来t=∞、ココr=0だったら
t+r=tan(T+R)
から
t-r=tan(T-R)
を引いた
2r=0=tan(T+R)-tan(T-R)なので
tan(T+R)=∞
tan(T-R)=∞

ということは

T+R=T-R=π/2つまりT=π/2、R=0となります。

これが無限の過去t=-∞、ココr=0だったら同様に、T=-π/2、R=0となります。



イマt=0、無限右r=∞だったら
t+r=tan(T+R)
と
t-r=tan(T-R)
を足した
2t=0=tan(T+R)+tan(T-R)なので
tan(T+R)=∞
tan(T-R)=-∞

T+R=π/2
T-R=-π/2

ということで、T=0、R=π/2

同様に、イマt=0、無限左r=-∞だったらT=0、R=-π/2となります。



上下左右の点が求まったので、四辺の様子も見てみましょう。


右上にある右肩下がりの線の式は
T=-R+π/2なので、移行して

T+R=π/2となります。

T+R=atan(t+r)なので

atan(t+r)=π/2ということは

t+r=∞ということになります。



右下にある左肩上がりの線の式は
T=R-π/2なので、移行して

T-R=atan(t-r)=-π/2なので
t-r=-∞です。


左下にある右肩上がりの線は
T=-R-π/2なので、移行して
T+R=atan(t+r)=-π/2なので
t+r=-∞


左上にある右肩上がりの線は
T=R+π/2なので、移行して
T-R=atan(t-r)=π/2なので
t-r=∞


となります。


ブラックホール、ホワイトホール内部と特異点に関しては、もう少し経ったら計算してみたいです。



とりあえず、これで借りてた本を返却する準備ができました。

カー解、ライスナーノルドシュトルム解、カーニューマン解についても解いてみたいですねえ。
もう少し将来かなあ、(一般)相対論自体あまりよくわかってないからなあ

備忘録：ペンローズダイヤグラムにびびるな

時間をt、距離3つのうち1つをrとし、3次元空間を極座標で表すとすると、緯度とか経度をpやsで表すとする。

ペンローズ図(ペンローズダイヤグラム)では特に、tとrに関して、無限を有限に押し込める。

atan(t+r)=(T+R)/2
atan(t-r)=(T-R)/2

と定義して、Tを縦軸、Rを横軸にプロットすることで、時間・空間ともにゼロを含んでマイナス無限大からプラス無限大までを
-πから+πに押し込める。
正方形を斜め45度に傾けたひし形の中に、すべての観測可能な時間と空間がすっぽりと収まる。
この正方形(ひし形)の面積は(2π)^2/2=2*π^2かな。だから正方形でいうところの一辺の長さはπ√(2)ってことになる。

目盛変換はただこれだけだ。
初等関数で、ゼロを含む無限の変数値を有限の関数値にするのはアークタンジェントかハイパボリックタンジェントくらいで、ハイパボリックのほうはクルスカルスゼッケルのほうにすでに使われている。


プロならともかく、素人にはこれで十分。
思いついてしまえば、先人から学ぶ分にはなんてことはない。
びびることはなにもないから、みんなもネットにももっと軽々と書いてほしい。

全然見当たらなくて困ってるんだ。


実はこのペンローズ図、観測不可能な時空領域まで描ける。
ブラックホールやホワイトホール、アインシュタイン・ローゼンの橋の向こう側にあるとされるもう1つの宇宙まで描画可能だったりする。



気になるのは、このペンローズダイヤグラムは平面限定なのかということだ。
ミンコフスキー時空を、次元を落として3次元「時空」としているのは理解できる。

しかし、ペンローズ図の場合はどうなのだろう？
極座標で表すのは必須なのだろうか？緯度経度のsやpではなく、直交座標系のyやzとすることは可能なのか？
ブラックホールの場合はそうだろうが、もしこれがブラックホールではなく宇宙の「観測可能なほうの」果て(やホワイトホールに相当する？ビッグバン)だったら？

ペンローズダイヤグラムを(4次元は無理でも)3次元に起こすことは物理的に意味があることなのだろうか？？それとも意味をなさないのだろうか？？

気がかりなのは、「向こう側の宇宙」が隣り合って1つしか描かれないことだ。いや2つかもしれない
なぜ1つか2つなのか。

だからといって、ペンローズ図を3次元に起こしたところで、1つや2つがいくつかに増えるだけで、無数になるわけではない。(数珠つなぎにという意味では2次元のままでも無数なんだが)

向こう側の宇宙はどういう基準で選ばれてこっちの宇宙とER橋でつながるのか。


そもそもブラックホールごとにつながる宇宙は異なるのか


ああそういえば、BHに生えている「毛」次第で、ER橋の向こう側との連絡状況が異なるんだっけ
3本のアホ毛、回転・質量・電荷(もしくは色荷も追加されるかもしれない)


シュバルツシルトの場合と
ライスナーノルドシュトルムの場合と
カーの場合と
カーニューマンの場合

それぞれでペンローズ図は、やっぱ違ってくるのかな？そうなのか？？




やっぱりこの辺の分野での日本人は貧弱だな
日本語のペンローズ図と、英語のペンローズ図ではこれだけ違う。
グルーオンのときもそうだった。
日本語のグルーオン　英語のグルーオン。

ノナッチ行列とか

といきなり方程式の形で出されると、この高次方程式の解の法則性はよく見えないように思えますが、
この方程式が

こういう規則性のうえになり立った行列の固有値を求める特性方程式であるとわかると
得られる知識は一気に広がります。


まず、この行列のトレースは1なので、高次方程式の解の和は1になることがわかりますし

中身が全部正の実数であることから、ペロンフロベニウスの定理が活きて、ガウス平面における解の分布が右寄り横長であることもわかります。

det(デターミナントつまり行列式)も±1ということから、解を全部掛け算したものも±1であることがわかります。
行列式は、行列の大きさが偶数次だとマイナス1、奇数次だとプラス1だということもわかります。
行列式は、たとえば5次行列のペンタボナッチ数列なら、このような再帰的アルゴリズムで求めることができます。



また、ペロンフロベニウスの定理から、絶対値の一番大きな固有値は正の実数であることがわかるため、


この式のλに1や2を入れると、
解の1つが1以上2未満であることがわかるかと思います。

λ=1を代入した時

λ=2を代入した時

λが1と2のときで符号が変わっていますね。

このことから、固有値λをてさぐる範囲は、最大でも実部および虚部が-2から+2の間までであることがわかります。


それでは実際にこの多項式の零点を探してみましょう。

固有値の和も積も1あるいは±1ということは
おおよそ、ガウス平面で上下左右対称気味の配置になりそうな気がしますね。



実際、以上のように、2付近の正の実数の固有値が1つあり
1付近にはなく
あとは大方、複素平面上で半径1の円より少し小さい半径のところを等しく分割したような感じの配置になります。
半径1より少し小さいのは、2に漸近していく実数の固有値との兼ね合いだと思います。

多項式の次数が大きくなるにつれて、真円に近付いていくでしょうし、配置もほぼ円周上びっしりに漸近していくはずです。
が、ちょっと直感からズレるかもしれませんが、どれだけ次数が高くなっても、この固有値の和は1なんです。

どういうことかというと、正の実数1のところには解がなく、その代わりに正の実数2のところにあるからなのです。
単位円の円周すべての点を足し合わせたら打ち消しあってゼロになるはずです。
そこから、正の実数1を取り除くと、マイナス1になります。
どれだけ円周上に固有値を敷き詰めた円でも、正の実数1を取り除くとポッカリと空いてすべての和が-1になるのです。
そこに、正の実数1の代わりに正の実数2を付け足すと、-1+2で1になるのです。これがトレース＝1の由来になります。


DL用Excelファイル を載せておきます。


モノボナッチ　フィボナッチ　トリボナッチ　テトラボナッチ　ペンタボナッチ　ヘキサボナッチ　ヘプタボナッチ　オクタボナッチ　ノナボナッチ　デカボナッチ

モノボッチ　ジボナッチ　テトラナッチ　ノナッチ　ノナボッチ　ノナッチ





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