備忘録：仮説

やっぱり未規格化状態のSU(2)生成子の固有値の概念は
規格化したあとのSU(2)生成子の固有値同様に価値があるような気がしてきた。

結局n=2でもn=3でも回ってる円のコサイン成分なんだ。回ってるんだよ。
それが、n=3だと回れば非対称になるのに対して、n=2だと対称にしかならないっていうのは大事なことだと思う。

これが、規格化されてしまうと半径が一定になってしまって目に見えにくい。
SU(4)を考えるうえでも、もしかしたら道しるべになるかもしれないし。


ああ、そういえばSU(4)は4次方程式だけど、極大・極小を考えることはたぶん大事で
そういう意味では3次方程式になるね。

ということはSU(5)も部分的に4次方程式にできるから、まったく解析ができないわけでもなくなる

n-1次の係数が0で、n-2次の係数が-1な理由がなんとなくわかってきた。

n-2次が-1なのは規格化のせいというのはノルムの次元解析の観点からもう知ってる。

n-1次はトレースが関係している。そんでもって、n-1次になりえる要素は対角成分しかありえない。対角成分同士の積(x1-r)(x2-r)・・・(xn-1-r)(xn-r)からしか生じない。

だから、特殊ユニタリSU(n)の生成子から得られるn次多項式のn-1次はΣ(xn)つまりトレースでいつもゼロなんだ。



それと、SU(n)においては、計算をかなりモジュール化・ブラックボックス化して見られる部分が多そうな気がする。
いちいち中身を気にする必要がない。

たとえば、エルミートの固有値が実数であることを既知の事実とすれば、
生成子の固有値を解析的に計算する意味はほとんどなく、数値計算で間に合うということだ。
r^4-r^2+a1*r+a0=0のa0、a1の中身が生成子の中身とどうつながるのかとか、ぶっちゃけどうでもいい。

ただ、実数であるには何が必要か、その要請からほとんど、あわよくばすべての分析が可能。

固有値そのもののn次方程式にしても
極大・極小のn-1次方程式にしても
実数であるために、3次方程式の解の公式の、複素共役である要請が役に立ったりする。




あと、これもなんとなくだけど
量子力学でジョルダン標準形がほぼ不要なように
これまでグラムシュミットの正規直交化法を聞いたことがなかったことにもたぶんそれなりの理由があって
ほとんど出番がないからだと思う。


SU(3)の固有ベクトル、出したいなぁ。行列指数関数も解析的に出したいなぁ
どんな形してんのかなあ
SO(3)が2つとSU(3)が1つがネタバレだっけ？
導きてえ～
固有値が3つってことから、たぶんs1～s8の8つも変数がいるような鬼畜仕様にはならないと思うんだ

wikiの「クォーク場に吸収される」がまったく意味わかんないけど
数学だけでなんとかなんねえかなあ。

特殊ユニタリSU(4)生成子の特性方程式～解析・数値答え合わせ編～

wolframalphaとExcelを用いて、やっとうまくいきました・・・。scilabはまだ勉強(サボり)中
C#とサイラボの本、返さなきゃ

四次の特殊ユニタリSU(4)
の生成子A=

の固有値rは
行列式det(A-rI)=0を用いて、以下の式で求められます。(Iは4次の単位行列)



アスタリスクは複素共役を表し、s1～s15の2乗和(ノルム)は1とします。


大文字の扱いは前回のSU(4)のときやSU(3)のとき同様、
基本的には小文字の絶対値の2乗、ただし、cで表されるコサインの括弧の中では複素平面内の偏角を表します。√の中身は直後に来るコサインの中身の和(偏角)を積(絶対値)にしたものとします。

例：
x{bd*g+(bd*g)*}と同等です。




SU(4)は物理的に何に使われるのか僕にはわかりませんが、
数学的には4次方程式の解(すべて実数)の例題に用いることができると思います

この生成子の行列指数関数にはとても手が出せないと思いますが
せめてSU(3)だったらもしかしたら解析的にも手が・・・出せるかな・・・？
固有ベクトルがねえ・・・

SU(4)生成子の幾何学的意味にも再挑戦してみたいです。

SU(3)生成子の固有値がなぜ非対称になるのかは幾何学的に理解できました。


分析用Excelソースファイルは・・・4次方程式を解析または数値的に解いてからアップしたいです・・・いつになるやらｪ


SU(5)生成子の固有値はねえ・・・もし仮に特性方程式が特定できても、アーベルの理論が理解できてないからねえ

むらかわしーしゃーぷ先輩

ステラのまほう　村上椎奈　村川梨衣　C++　C#　目からシイタケ　目からゴボウ

カラーコンタクト　Rie§hon

冴えない眼鏡vs腹黒メガネ

たまき「そっか、葉山だからはーちゃんか！＼PON／」


はぁ・・・番組改変期は少し早めに最終回してもらいたい最近。
ニコ生での振り返り一挙もある時代だし

もう丸々一週間、アニメだけ有給無音の放送事故状態にしないか？
1クールの仕様、全10話とか11話でいいからさ。

積んだアニメも消化できないし、次の予約で目が回るし
余韻にも浸れない。

もうアニメスタッフはお疲れさま状態で1～2週間有給休暇取ってください！
そうでないとボーナスもらえないようにしていいよ！




ハイ茄子の揚げ浸しといえばですね

正規労働者と非正規労働者が同じ待遇を受けるのは、過去派遣社員だった僕としてもあまり納得のいく話ではないと思っています。

あくまでそれは話をそらした形になってはいないでしょうか。
するべきは、正規と非正規を割りと自由に行き来できるマネーRPGシステムであって
「正規と非正規の差をなくそう」ではないと思うんですよね。

まあ、それができないから「同じ待遇」っていう方向にそれたのかもしれませんが、
雇用する側としても、雇用される側としても
平等な責任などないのです。

不平等だからこそ非正規から自信を持ちたいと思う労働者の需要があってそもそも派遣社員の制度が始まったわけですし
雇用側が安く支払いたいのと、労働側がナメて仕事したいっていう両者win-winで成立した制度だったはずじゃないですか。



一度自信を失って自分から人生を脱線した経験のある僕としては
人間として扱われなかった派遣社員時代も悪くはなかったと思っていますし
この時代がなければ今の僕もありえず
派遣先から色々な技術をこの身に盗んで得て自信と知恵をつけることもなかったと思いますよ

それもこれも、ふざけた派遣とかいうシステムが成せた技でしたよ。

特殊ユニタリ生成子SU(3)の特性方程式を解析計算

これ過去にどこまでやったっけ？

λ^3-λ+a0=0のa0を解析的に定められたかどうかよく覚えてないんだけど。

まあとにかく出た。
なんか意外と簡単だったのは、レベルアップで簡単に思えてきたのか、それとも実際に簡単だったからすでに計算を終えているものなのか。


このように、1つ目から8つ目までのsシリーズを、2乗和(ノルム)が1になるように定義し、
複素数a,b,cと実数x,y,zを定義して

このような特殊ユニタリSU(3)生成子いわゆる「ゲルマン行列の和」(エルミート)の中身に設定すると

この生成子の固有値λを求める特性方程式は以下のようになります。

もちろんアスタリスクは複素共役を表します。




ここで、大文字は小文字の絶対値の2乗を意味します
例：A=a×a*

が、c()の意味するコサインの中身においては複素平面での極座標表現における偏角を意味します。
また、コサインの中にたとえばA-B+Cが入っているなら
ルートの中身はABCとなり、√(ABC)という意味です。もちろんコサインの外の大文字は偏角ではなく絶対値のほうです。


wolframalphaとExcelで確認(λ=0つまり生成子そのものの行列式)して、どうも合っているようです。
3次行列まではサラスの方法が有効なので、勉強中のscilabの出番はまだないんですよ＾＾；


多項式はちゃんと、x軸と交わるのが1～3個となっていて、0個にはなりません(接するときは2個の重解、必ず多項式がx軸と「交わる」か「接します」)。


3次方程式を用いる方法や、多項式の1階、2階微分を用いて分析することが可能でしょう。
a0という上下平行移動の項しかないので、この最小値と最大値を解析的に求めることが可能になりました。



できれば行列指数関数の形まで持っていきたいですねえ
固有値が求まったら、次は固有ベクトルになりますか～


あ、でもそういえば、固有値は、一定半径の円のコサイン成分という影を見ている
って結論づけられたんでしたっけ。

じゃあ、a0が解析的に求まって、改めてやることは、その円が「どのくらいの角度だけ回転しうるのか」くらいしかないのかな？

SU(4)の生成子の特性方程式ぐらいwolframalphaにぶち込んでもバチぁ当たらんだろう

4次の複素行列の固有値を求める式をウルフラムアルファにぶち込んで行列式を展開してもらった。


特殊ユニタリの生成子はエルミート行列なので、
アスタリスクのついているものは、ついてないやつの複素共役。
これをi倍して行列指数関数の中に入れると、detそのものがキッチリ1の、特殊ユニタリとなる。

それぞれの変数a,b,c,d,f,g,w,x,y,zは以下に定義される。
a,b,c,d,f,gは複素数で、w,x,y,zは実数。

なお、添え字付きの15個の実数シリーズsjの2乗和(ノルム)は1とする。

特性方程式をまとめたら以下のようになった。


なお、a1とa0は以下に定義する。



ここで、大文字のAは小文字のaの絶対値の2乗である。
例：A=a×a*
a,b,c,d,f,g,w,x,y,zすべてについてそう定義した。
ただし、c()はコサインで、中身にある大文字だけは、複素平面で極座標をとった際の偏角とし、
コサインの直前にあるルートの中身は、コサインの中の文字の積であるとする。

たとえば
c(A-B-F+G)の直前の√の中身はABFGなので、√(ABFG)という意味である。




・・・確かめるのがこわい・・・orz

四次元ロドリゲスの固有値～ウルフラム先生～

ぎょええええええ！？(CV:ほーちゅーさん)


行列指数関数と固有ベクトルは出なかったけど、
固有値だけはとりあえず出た！出やがった！っていうか意外とすっきりしてる！！！！！

scilabで特殊ユニタリ群SU(3)

a=[rand(),rand(),rand(),rand(),rand(),rand(),rand(),rand()]

a=a/norm(a)

確認のため改めてnorm(a)を計算し、1になることを確かめる。

b=a(1)+%i*a(2)
c=a(4)+%i*a(5)
d=a(6)+%i*a(7)
x=a(3)+a(8)/sqrt(3)
y=-a(3)+a(8)/sqrt(3)
z=-2*a(8)/sqrt(3)

A=[x,b',c';b,y,d';c,d,z]

B=expm(%i*A)
expにm(atrix)をつけようね～

そうです、BがSU(3)の特殊ユニタリです。

行列式det(B)≒1とでるはず。abs(det(B))やらなくても、非負実数の1だよ～。

固有値spec(B)も計算してみると
3つでてくるはずで

Bがユニタリなので、3つとも複素平面の単位円周上にきますし

spec(A)も出しておいて、a1,a2,a3(Aがエルミートなので全部実数)とすると

spec(B)の偏角もa1,a2,a3になり

a1+a2+a3=0になるはずです。(Aのトレースはゼロ)



このAの特性方程式が、手計算で出したやつと一致するかを確認したいな。
まだscilabはじめたてだから変数の概念とかプロットとかもう少し勉強しないとな。
せっかく乱数出してんだし、一発屋じゃなくてサンプル数増やして傾向も見たいよね当然。


ずっとため込んでたけど、SU(3)の固有ベクトルも計算したいし
SU(4)にも手を出したいし。まずは固有値の特性方程式の係数からだね
λ^n-λ^(n-2)+Σ(a_(n-m)*λ^(n-m))=0
になるはずなんだ。高次SU(n)でのこのn-m番目のaが知りたいんだってば。
5次以上の行列の固有値はガロアやアーベルの理論がまだ理解できてないから無理だけど
せめて4次な。これを理解したい。


Excelのあのアドインのサポートが切れてから、手間がかかるようになってしまって。
ようやく「楽な複素行列」が我々のもとに戻ってきたって感じ。




それにしても、以前友達に見せてもらったユニティだったかでも思ったけど
プログラミング言語の概念が壊れるなぁ
これもプログラミング環境の1つなのか・・・この中にforとかも入るんだよね？
なんかこうしっくりこない

ってか、早いとここの演算結果をcsvとかにぶち込む方法を理解しないとな。
特に勉強中の間はなんでもscilabでできるわけじゃないんだから
Excelに分担してもらうところも多数出てくると思うんだよ

グラフもどのくらい自由度があるのか未知数だし。
3Dグラフなんか特にね。結構ニッチな需要の3D用意しなきゃならないときもあるし

もしあれならC#と合わせて、Excelを上回ってくれることを祈るばかりだ。まあ僕の勉強次第だろうなあ
少なくともワイヤーフレームじゃなくてポリゴンっぽいのを2面以上はほしいよね



そうだ。
パウリ行列指数関数が無課金のウルフラムアルファで出ないなら
せめて固有値・固有ベクトルはなんとかならないか、あとでお願いしてみよう。
ん？なんかデジャヴを感じる。



ユニタリの特性方程式を、単位円周上の実質1次元じゃなくて、実部・虚部ともに-2～+2くらいの複素平面全体でてさぐってみるのもやりたいね～

パウリ行列指数関数の時点で気づくべきだった

 
指数関数も三角関数もないことに早く気づけよ！

ゲルマン行列指数関数

もしかしたらわしゃ、とんでもないものに手を出そうとしてたのかもしれんのう・・・
このバグ表記みたいのが解読できればいいんじゃが



あ゛あ゛ーしまったー変数xは余計だったじゃねえかああああ


iの2乗とかいう表現が平然と出ている件について。
これはあれだな、変数にfとgを使ったからおせっかい機能が気を利かせてiも変数だと認識してしまったのかもしれない。
にもかかわらず、ωと一緒に勝手にiが出現している。
こっちのiは正真正銘の虚数単位だろう。まあ変数のiを翻訳して混ぜれば済む話だ。

それにしても2.7とか表記してるのはこれもやっぱりdとfとgを使ってるから遠慮してるのか？
それともシンプル表記を宣伝してるのか？つまり金を払えと・・・

むしろ
対角成分をa,b,c、非対角成分をz,y,x,w,・・・などとしたほうがよかったのかもしれないな

4次元版ロドリゲスの回転公式を探る旅(修正・考察)

こないだね、

この展開が4乗でループするのが「3ペアの6つ」って間違えて書いちゃったんです。

正しくは以下の「4ペアの8つ」でした。

残りの6ペア12個は4乗でループしないんですね。

普段用いる右肩下がりのいわゆる「対角」とは別の、「右肩上がり」の対角
赤線で示したやつなんですけど、左と右はこの「右肩上がりの対角線」を軸に対称になっているのがわかるかと思います。


また、この8つに共通するのは、この「右肩上がりの対角」上に1つの変数しか入っていないこと
反対角行列っていう概念がすでにあるみたいなんですけど
それが排他的になってるんです。これを今回「反対角XOR」と呼ぶことにしました。

それともう1つ、反対角要素以外にも
たとえば一番下の1ペアを見てもらうとわかる通り、s1があるとs6はこれず
s2があるとs5がこれない。ここにも排他的な感じが現れています。
これを個人的に「反転置XOR」と呼んでいます。

この「反対角XOR」と「反転置XOR」の両方の条件を満たしているものだけが、4乗でループするようです。

2通りのアフィン変換と、2通りの固有ベクトル

の固有ベクトルPとその逆行列は



 
  
の固有ベクトルPとその逆行列は


で、AP=PJだけで解けますね。
PA=JPに頼らなくても万能でしたね。 



なんかごちゃごちゃしちゃったんで途中計算消しました＞＜
要は、0/0を発散と捉えないで、不定と捉えることで、解けるってことを言いたかったんです。
あとは、縦ベクトルで

って出ても
横同士で通分もできて

なんてことが可能だよってことです。

ステまED風Excel3Dっぽい2Dグラフ

ヨナカジカル　ステラのまほう　Excel　3D　2D　グラフ　劣化MMD　数学　行列
 


なーもりー

ユニタリで必ず対角化できると言ったな、あれは嘘だ

3次元アフィン変換Aを対角化するための行列PはP自身もアフィン変換であり

このようになる。

invP・A・Pはちゃんと対角化されるが、

これを規格化してユニタリにしようとすると、単にノルムが1になるように

このようにBの規格化定数シリーズを決定したようでは、明らかにユニタリにはならないことがわかった。

そこで、グラム・シュミットの正規直交化法というのを試してみた。

すでに得ている、規格化前の固有ベクトルをv1～vnとして
u1～unを求めることでユニタリになるように仕向ける方法だ。
なんだか全微分を思い出す。


u1～unは以下のように求める。

ここで、u・vは(n次元での)内積を意味しており、|u|^2=u・u(自分自身との内積)を意味している。

そうやってできた固有ベクトルu1～unの、ノルムを1にするようにして満を持してここで素直に規格化(vシリーズではなくuシリーズで)すると、ようやくユニタリ行列ができあがる。



正直、イメージ図のgifを見ても何をやっているのかさっぱりわからないが、とにかくユニタリ化できたことはわかった。逆行列が転置行列そのものになっている。もちろん行列式は1。

しかも、中身が全部実数でできたユニタリ行列だ。


しかしながら、これを改めてPとしてinvP・A・Pを求めても、対角化できない。なぜだ！？


と思ったが、グラムシュミットの方法のページには、「対角化できる」とは書いていないのだ。
代わりに「三角行列ができる」とだけ書いてある。
確かに演算結果は三角行列にはなっている。
そもそもグラムシュミットについて知ったのは知恵袋的なところからであり、
「ユニタリにしたいなら規格化だけではだめで、グラムシュミットが必要だよ」という口コミがソースだった。こちらも、「ユニタリにできる」とは書いているが、「対角化」には触れていなかった。


このユニタリは一体なんのために生まれて何をして喜ぶのだろうか・・・？
この生成されたユニタリPは、何らかの行列を対角化できる相手の行列本妻Aが存在するのだろうか？


＝＝＝＝＝＝＝＝
ところで、
ふとこれを複素行列に拡張したくなった。当然の発想ではある。

すると、「複素内積」という概念が出てきて、これについて複素数は交換法則が効かないらしい。


言われてみれば、u=a+ibとおくと、|u|^2=(a+ib)(a-ib)
といった風に、自身とその複素共役を掛け算することでノルムを得ている。
自分自身との複素共役だったから、たまたま、掛け算が逆になっても結果は変わらなかった。

ところが
これを、u自身とではなく、ほかの複素数v=c+idとの複素内積を行うのだとしたら

u・v=(a+ib)(c-id)
となって
v・u=(c+id)(a-ib)
とは結果が異なってしまう。


どうして僕は今の今までこのような内容を全然知らされていなかったのか。

おそらく、僕の住んでいた分野ではグラムシュミットの必要性がなかったのだろう。
量子力学にしても、ジョルダン標準形があんまり必要なさそうな分野だ。グラムシュミットが必然的に不要気味でもおかしくはない。


それに、複素行列になってようやく、複素数そのものの交換法則が揺らぎ始めたのも
おそらくそれまでは複素数uが孤独だったからだと考えられるのではないか。
行列の中に入って初めて、ほかの隣人複素数との内積をとるようになって、交換法則に乱れが生じるようになったのかもしれない。
あくまで複素数の問題であって行列の問題だけではないことに注意が必要だと思う。


思えば、複素数が、四則演算で交換法則を保っていたことのほうが不思議にさえ思えてくる。



また、ここでも分野と人類による対称性の自発的破れが起きており
u・vを
u・v=uv*=(a+ib)(c-id)
と定義する分野があったり、
u・v=u*v=(a-ib)(c+id)
と定義する分野があったりするらしい。
(複素数uの複素共役をu*と表現している。掛け算の記号ではない)

工場見学～逆ラプラス変換の工房を見てみよう～

サイラボを手に入れた！サイキックラボー！いつも手のひらの宇宙！


「なんとかして逆ラプラス変換の内部事情を見せてもらえないでしょうか！？そこをなんとか！

　（開口一番それ言っちゃうんだ・・・
　「できるかどうかはわかりませんが、努力してみますね

「え！？そんな工場ないの！？

　「はい、たぶん。まだないかも。知らんけど

「『見てみて～あれが留数定理器だよ～』ってパパが自慢げに見せてあげたいんですけど！

　（あったら私がいの一番に見てみたいわ！！！