四次元ロドリゲスの固有値～ウルフラム先生～

ぎょええええええ！？(CV:ほーちゅーさん)


行列指数関数と固有ベクトルは出なかったけど、
固有値だけはとりあえず出た！出やがった！っていうか意外とすっきりしてる！！！！！

scilabで特殊ユニタリ群SU(3)

a=[rand(),rand(),rand(),rand(),rand(),rand(),rand(),rand()]

a=a/norm(a)

確認のため改めてnorm(a)を計算し、1になることを確かめる。

b=a(1)+%i*a(2)
c=a(4)+%i*a(5)
d=a(6)+%i*a(7)
x=a(3)+a(8)/sqrt(3)
y=-a(3)+a(8)/sqrt(3)
z=-2*a(8)/sqrt(3)

A=[x,b',c';b,y,d';c,d,z]

B=expm(%i*A)
expにm(atrix)をつけようね～

そうです、BがSU(3)の特殊ユニタリです。

行列式det(B)≒1とでるはず。abs(det(B))やらなくても、非負実数の1だよ～。

固有値spec(B)も計算してみると
3つでてくるはずで

Bがユニタリなので、3つとも複素平面の単位円周上にきますし

spec(A)も出しておいて、a1,a2,a3(Aがエルミートなので全部実数)とすると

spec(B)の偏角もa1,a2,a3になり

a1+a2+a3=0になるはずです。(Aのトレースはゼロ)



このAの特性方程式が、手計算で出したやつと一致するかを確認したいな。
まだscilabはじめたてだから変数の概念とかプロットとかもう少し勉強しないとな。
せっかく乱数出してんだし、一発屋じゃなくてサンプル数増やして傾向も見たいよね当然。


ずっとため込んでたけど、SU(3)の固有ベクトルも計算したいし
SU(4)にも手を出したいし。まずは固有値の特性方程式の係数からだね
λ^n-λ^(n-2)+Σ(a_(n-m)*λ^(n-m))=0
になるはずなんだ。高次SU(n)でのこのn-m番目のaが知りたいんだってば。
5次以上の行列の固有値はガロアやアーベルの理論がまだ理解できてないから無理だけど
せめて4次な。これを理解したい。


Excelのあのアドインのサポートが切れてから、手間がかかるようになってしまって。
ようやく「楽な複素行列」が我々のもとに戻ってきたって感じ。




それにしても、以前友達に見せてもらったユニティだったかでも思ったけど
プログラミング言語の概念が壊れるなぁ
これもプログラミング環境の1つなのか・・・この中にforとかも入るんだよね？
なんかこうしっくりこない

ってか、早いとここの演算結果をcsvとかにぶち込む方法を理解しないとな。
特に勉強中の間はなんでもscilabでできるわけじゃないんだから
Excelに分担してもらうところも多数出てくると思うんだよ

グラフもどのくらい自由度があるのか未知数だし。
3Dグラフなんか特にね。結構ニッチな需要の3D用意しなきゃならないときもあるし

もしあれならC#と合わせて、Excelを上回ってくれることを祈るばかりだ。まあ僕の勉強次第だろうなあ
少なくともワイヤーフレームじゃなくてポリゴンっぽいのを2面以上はほしいよね



そうだ。
パウリ行列指数関数が無課金のウルフラムアルファで出ないなら
せめて固有値・固有ベクトルはなんとかならないか、あとでお願いしてみよう。
ん？なんかデジャヴを感じる。



ユニタリの特性方程式を、単位円周上の実質1次元じゃなくて、実部・虚部ともに-2～+2くらいの複素平面全体でてさぐってみるのもやりたいね～

パウリ行列指数関数の時点で気づくべきだった

 
指数関数も三角関数もないことに早く気づけよ！

ゲルマン行列指数関数

もしかしたらわしゃ、とんでもないものに手を出そうとしてたのかもしれんのう・・・
このバグ表記みたいのが解読できればいいんじゃが



あ゛あ゛ーしまったー変数xは余計だったじゃねえかああああ


iの2乗とかいう表現が平然と出ている件について。
これはあれだな、変数にfとgを使ったからおせっかい機能が気を利かせてiも変数だと認識してしまったのかもしれない。
にもかかわらず、ωと一緒に勝手にiが出現している。
こっちのiは正真正銘の虚数単位だろう。まあ変数のiを翻訳して混ぜれば済む話だ。

それにしても2.7とか表記してるのはこれもやっぱりdとfとgを使ってるから遠慮してるのか？
それともシンプル表記を宣伝してるのか？つまり金を払えと・・・

むしろ
対角成分をa,b,c、非対角成分をz,y,x,w,・・・などとしたほうがよかったのかもしれないな

4次元版ロドリゲスの回転公式を探る旅(修正・考察)

こないだね、

この展開が4乗でループするのが「3ペアの6つ」って間違えて書いちゃったんです。

正しくは以下の「4ペアの8つ」でした。

残りの6ペア12個は4乗でループしないんですね。

普段用いる右肩下がりのいわゆる「対角」とは別の、「右肩上がり」の対角
赤線で示したやつなんですけど、左と右はこの「右肩上がりの対角線」を軸に対称になっているのがわかるかと思います。


また、この8つに共通するのは、この「右肩上がりの対角」上に1つの変数しか入っていないこと
反対角行列っていう概念がすでにあるみたいなんですけど
それが排他的になってるんです。これを今回「反対角XOR」と呼ぶことにしました。

それともう1つ、反対角要素以外にも
たとえば一番下の1ペアを見てもらうとわかる通り、s1があるとs6はこれず
s2があるとs5がこれない。ここにも排他的な感じが現れています。
これを個人的に「反転置XOR」と呼んでいます。

この「反対角XOR」と「反転置XOR」の両方の条件を満たしているものだけが、4乗でループするようです。

2通りのアフィン変換と、2通りの固有ベクトル

の固有ベクトルPとその逆行列は



 
  
の固有ベクトルPとその逆行列は


で、AP=PJだけで解けますね。
PA=JPに頼らなくても万能でしたね。 



なんかごちゃごちゃしちゃったんで途中計算消しました＞＜
要は、0/0を発散と捉えないで、不定と捉えることで、解けるってことを言いたかったんです。
あとは、縦ベクトルで

って出ても
横同士で通分もできて

なんてことが可能だよってことです。

ステまED風Excel3Dっぽい2Dグラフ

ヨナカジカル　ステラのまほう　Excel　3D　2D　グラフ　劣化MMD　数学　行列
 


なーもりー

ユニタリで必ず対角化できると言ったな、あれは嘘だ

3次元アフィン変換Aを対角化するための行列PはP自身もアフィン変換であり

このようになる。

invP・A・Pはちゃんと対角化されるが、

これを規格化してユニタリにしようとすると、単にノルムが1になるように

このようにBの規格化定数シリーズを決定したようでは、明らかにユニタリにはならないことがわかった。

そこで、グラム・シュミットの正規直交化法というのを試してみた。

すでに得ている、規格化前の固有ベクトルをv1～vnとして
u1～unを求めることでユニタリになるように仕向ける方法だ。
なんだか全微分を思い出す。


u1～unは以下のように求める。

ここで、u・vは(n次元での)内積を意味しており、|u|^2=u・u(自分自身との内積)を意味している。

そうやってできた固有ベクトルu1～unの、ノルムを1にするようにして満を持してここで素直に規格化(vシリーズではなくuシリーズで)すると、ようやくユニタリ行列ができあがる。



正直、イメージ図のgifを見ても何をやっているのかさっぱりわからないが、とにかくユニタリ化できたことはわかった。逆行列が転置行列そのものになっている。もちろん行列式は1。

しかも、中身が全部実数でできたユニタリ行列だ。


しかしながら、これを改めてPとしてinvP・A・Pを求めても、対角化できない。なぜだ！？


と思ったが、グラムシュミットの方法のページには、「対角化できる」とは書いていないのだ。
代わりに「三角行列ができる」とだけ書いてある。
確かに演算結果は三角行列にはなっている。
そもそもグラムシュミットについて知ったのは知恵袋的なところからであり、
「ユニタリにしたいなら規格化だけではだめで、グラムシュミットが必要だよ」という口コミがソースだった。こちらも、「ユニタリにできる」とは書いているが、「対角化」には触れていなかった。


このユニタリは一体なんのために生まれて何をして喜ぶのだろうか・・・？
この生成されたユニタリPは、何らかの行列を対角化できる相手の行列本妻Aが存在するのだろうか？


＝＝＝＝＝＝＝＝
ところで、
ふとこれを複素行列に拡張したくなった。当然の発想ではある。

すると、「複素内積」という概念が出てきて、これについて複素数は交換法則が効かないらしい。


言われてみれば、u=a+ibとおくと、|u|^2=(a+ib)(a-ib)
といった風に、自身とその複素共役を掛け算することでノルムを得ている。
自分自身との複素共役だったから、たまたま、掛け算が逆になっても結果は変わらなかった。

ところが
これを、u自身とではなく、ほかの複素数v=c+idとの複素内積を行うのだとしたら

u・v=(a+ib)(c-id)
となって
v・u=(c+id)(a-ib)
とは結果が異なってしまう。


どうして僕は今の今までこのような内容を全然知らされていなかったのか。

おそらく、僕の住んでいた分野ではグラムシュミットの必要性がなかったのだろう。
量子力学にしても、ジョルダン標準形があんまり必要なさそうな分野だ。グラムシュミットが必然的に不要気味でもおかしくはない。


それに、複素行列になってようやく、複素数そのものの交換法則が揺らぎ始めたのも
おそらくそれまでは複素数uが孤独だったからだと考えられるのではないか。
行列の中に入って初めて、ほかの隣人複素数との内積をとるようになって、交換法則に乱れが生じるようになったのかもしれない。
あくまで複素数の問題であって行列の問題だけではないことに注意が必要だと思う。


思えば、複素数が、四則演算で交換法則を保っていたことのほうが不思議にさえ思えてくる。



また、ここでも分野と人類による対称性の自発的破れが起きており
u・vを
u・v=uv*=(a+ib)(c-id)
と定義する分野があったり、
u・v=u*v=(a-ib)(c+id)
と定義する分野があったりするらしい。
(複素数uの複素共役をu*と表現している。掛け算の記号ではない)

工場見学～逆ラプラス変換の工房を見てみよう～

サイラボを手に入れた！サイキックラボー！いつも手のひらの宇宙！


「なんとかして逆ラプラス変換の内部事情を見せてもらえないでしょうか！？そこをなんとか！

　（開口一番それ言っちゃうんだ・・・
　「できるかどうかはわかりませんが、努力してみますね

「え！？そんな工場ないの！？

　「はい、たぶん。まだないかも。知らんけど

「『見てみて～あれが留数定理器だよ～』ってパパが自慢げに見せてあげたいんですけど！

　（あったら私がいの一番に見てみたいわ！！！

不等号が回る！

クォータニオンで！3Dで回る！今流行りのパックマン！

(1,1,1)のベクトルを回転軸にして回るよ！しかも周波数逓倍器でビットごとに2倍2倍！


まるで不等号のスピントロニクスやぁ～



コーシー(お前がマワってどうすんだ・・・)

お客様とかいう多神教は死んだ

世界の支配構造を打ち砕く。

これからはグループ企業内では社畜が一番えらい！

社員＞請負会社＞＞＞＞＞＞請負会社＞会社＞客

こうだ！

面接官はさらに偉～い求人者殿ちゃん様に不快な思いをさせないように努力したまえ。


これが人類補完計画の全貌である。
実は計画前と後とが地続きだったんだよ！
世界の支配構造は誰にともなく勝手に打ち砕かれていくスタイルだったんだ。
まさにウロボロスの壺＼ﾃﾞｰﾝ！／








今日の俺、死ぬ死なないの話しかしてなくね？

じゃあ私ハイシナナイねﾟ_ﾟ

死ぬ死なないじゃねーよ甘д甘`

人はいつ死ぬと思う？忘れられたときさ

ｂｙエルヴィン・シュレーディンガー＠「生命とは何か」

備忘録：「反転置XOR」と「反対角XOR」という概念がほしい

昨日の日記において、4乗ループが成立するのは6通りと言ったが、8通りの間違いだった。

あれからもう少し分析を進めていったところ

昨日の日記のような4乗ループを仮に「狭義の4次元版ロドリゲス」と呼ぶことにして

狭義の4次元版ロドリゲス回転公式が成立するには

「反転置XOR」かつ「反対角XOR」である必要があるらしいことがわかった。


ちなみに「反対角行列」自体はすでに概念があるのに対し、「反転置行列」という概念はないらしい。

audacity、5分でできる全波・半波整流の作り方

たとえば440Hz(ラの音)の半波整流を作りたいとき

まず、ジェネレータ→トーンで440Hzの正弦波を作ります。振幅は1にしておきましょう。





次に、この440Hzの正弦波を、上に1だけシフトさせます。

そのために、基本周波数1Hz、振幅1の矩形波(エイリアス云々かいてないやつ)を生成します。



上にだけシフトさせたいので、矩形波の下の部分を消して、混ぜて、書き出します。



これまで編集していた音窓をすべて閉じて、書き出したファイルを読み込みます。
audacityは基本的には-1から1までの音しか扱わないようなので、はみ出た部分は切ってしまうようです。

これを利用すると、簡単に半波整流が作れます。

作った半波整流がこの音声ファイルです。後ろに尺あまり的な正弦波が残ってます。


この音声ファイルをオシロとスペアナの機能をもつ「WS」というツール(オシロとスペアナ機能があればなんでもいいです)で見てみると



しっかりと直流バイアス分が、リアルワールドでもデジタルワールドでも見えていますね＾＾


そこで、正規化をしてみましょう。エフェクト→正規化
今回は、オフセットだけゼロにしてみました。
この際、後ろの尺あまり的な正弦波は解析に邪魔なデータになるのでカットします。

書き出して、オシロとスペアナで見てみましょう。作った音声ファイル

スペアナのゼロHz付近に出っ張っていた突起が消えているのがわかるかと思います。
 



全波整流も作ってしまいましょう。
どうしたら作れるでしょうか。

半分の振幅の正弦波を引けばいいですね？ということは逆位相です。逆位相はエフェクト→上下を反転でできます。

作った音声ファイルがこちら


周期が半分になったので、スペアナのピークが440Hzから880Hz付近に移動したことがわかるかと思います。また、440Hzのピークは完全に消えていますね

音を聞いてもわかるとおり、音色はともかく明らかに1オクターブ高いですよね

最後のミキシングで、正規化がいらなかったのがわかるかと思います。
正弦波の平均値はゼロですからね。

スペクトル成分は、440Hzの1本が消えた以外、何も変わっていません。

4次元版ロドリゲスの回転公式を探る旅

おそらくはこれでいいのだろうが、行列指数関数の結果がいまいちわからない。


幸い？変数は6つある。6つあるうちの3つだけを選んで、ロドリゲスの回転公式が成立するのを確かめてみよう。


組み合わせは以下の6C3=20通りだ。


ロドリゲスの回転公式の行列指数関数を展開するにあたってポイントとなるのは
指数の中身になる行列Aの2乗が、マイナスのAそのものになることだ。
つまりもっといえば、4乗して元に戻る。(回転軸の法線ベクトルを規格化していたらの話)


そこで、10乗までして様子を見たところ、意外な結果となった。

20通りあるうちの、6通りしか、4乗して元に戻らないのだ。
それどころか、ほかの12通りでは、何乗しても戻りそうにない。

4乗ループが成立するのは、以下の3通りと、その転置行列を合わせた6通りらしい。
いやこれは転置ではなかったな。
通常用いる行列の対角線ではないもう1本の対角線を軸に対称にした3ペアだ。



最近改めて思い出したのだが、例示は理解の試金石ということだ。
何も、解析的に計算しているばかりが発見につながるわけではないわけで
このように、ある程度あてをつけながらs1～s6に一様乱数をぶちこんで
数値計算の様子を見るのも方法の一つなのだなと思い出させられた。


昨晩、scilabを導入していて思ったのだが
複素行列を簡単に大量に扱えるようになるといって、何のいいことがあろうか
と思っていたが、そんなのは遊んでみてから勝手に決まることだ。

個人的には複素数の構造体と、行列の配列・ポインタと愉快なラブ・ライブラリたちを作ることで理解する。
それが最優先事項というか、目的そのもののように思えてきてしまっていたのだが、
そうではない。

もちろんすでにある英知の結晶に劣るのはわかっているが、これを使って何ができるだろうと
考えるより産むがやすしだったのをすっかり忘れていた。

以前のように、ユニタリ行列に乱数をぶちこんで遊んでみればいいではないか。
それで結果が出るようであれば出るべくして出るし、出ないのなら仕方がない。


解析用のExcelファイルを置いておく。よかったら遊んでやってほしい
いつものように、空白セルを選択した上でdelボタンを乱射すると、一様乱数が再計算される仕組みになっている。
たぶん、その場で開くのではなく一旦DLしたほうが動くと思う。
DLしたら、保護されている「編集」をONにしてくれると数値が動くはずだ。
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