アフィン変換「平行移動」行列のランクがわからねえええ

いつでもλ-1=0が3重にカブるはずで
x0とy0が大概任意の時に、対角化がジョルダン標準形になるはずなんだけど
こいつのランクがさっぱりわからん。困った。


とはいってもまあ2択まで絞れるのかな


ウルフラムアルファを頼ってもいいのかもしれないけど
なるべくならネタバレは避けたい


転置してもランクは変わらないはずだよな・・・？

は～どうやって例題を応用したもんか

続・4行4列のユニタリ生成子の固有値を数値的にてさぐるXlsXファイル

昨日2016/6/19の続きで、いよいよ固有値をてさぐる段階に入ります。

てさぐり固有値の最低値と刻み幅を決める枠を設けておきましょう。

あとから自由に変えることができます。

次に、固有値をてさぐる枠の上に、生成子のエルミート行列を載せて、行番号と列番号のラベルを貼ります



「a11-λ」～「a44-λ」という4つの枠を設け、実際に引き算します。
対角成分は実数なので、imsub関数を使う必要はありません。
ただ、a11～a44の参照は絶対参照、λは相対参照にしておく必要があります。

4列くらい挿入し、余因子を並べます。このとき、固有値をてさぐる領域のすぐ上の行列からではなく、元来の4次行列から参照してください。作業が煩雑になってしまいますので。
配列関数の場合、配列を無理やり引きちぎろうとするとエラーになりますが
あくまで手動で配列関数のまねごとをやっているだけなので、特に何も注意されません。

このとき、a11-λ～a44-λは左端によせまとめておきます。

余因子が3次の行列なのでサラスの方法を使ってしまいます。

さらに8列ほど挿入しましょう。

improductを使って、プラスとマイナスの3つずつ6個の項を設け、imsumとimsubを使って3つのプラスから3つのマイナスを引き、小さな行列式を形成します。
いっぺんにやってもいいですが、パソコンのスペックはこれくらいではおそらくびくともしないので
ケアレスミスを防ぎたければセルをたくさん使ったほうが堅実かと思います。
 

1行目1列目に対する余因子もまたエルミート行列なので、小行列式がほぼ実数になることがわかるかと思います。
 
 
絶対参照と相対参照(あるいは複合参照)を使い分けましょう。

1行目1列目a11そのものではなく、a11-λを小行列式に掛け算するところなどに注意です。

また、複素数ライブラリの出力は文字列扱いなので、小行列式が実数のように見えても、そのまま掛け算ができません。面倒かもしれませんが、improduct関数を使います。

 

適切に列を挿入・削除し、1列目の計算をなるべく少ない行数・列数に整頓します。
 
 
2列目以降も、相対参照と絶対参照を使いわけて、慎重にセル参照を行いましょう。


それぞれ、赤橙緑青地に白文字の部分が、赤文字a33-λ・橙文字a22-λ・緑文字a33-λ・青文字a44-λに置き換わります。
また、てさぐり固有値を含む場合は、部分的に絶対参照や複合参照を組み合わせないと、正しい値が出ません。
数度試行しても実数しか出ない要素が「てさぐり固有値」に置き換える対象の目安となります。

その上、昨日も言った通り、偶数列目の列代表値の値は符号を反転する必要もあるので注意してください。



こまごまやって、出した4次の行列式はこのようになります。虚部がほぼゼロなのを確認しておいてimrealで実部をとり文字から数値に戻してから、列の切り取りと貼り付けで、固有値のすぐ右に移動させます。
 

それから、横軸にてさぐり固有値、縦軸に四次の(てさぐり固有値を反映した)行列式をプロットすると
ほぼ4か所(重複していれば2～3か所)の零点を通る実数の4次関数が描かれるはずです。


θ1～15は、-π～πの間の一様疑似乱数です。

ここまでのExcelファイルをアップロードしておきます。
マクロはまだ組んでいません。

怪しいものではないので、DL後にナンチャラを許可して、適当な空白セルでdelボタンを連打してみると動くはずです



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曇ってて調子が出ないから指慣らしにブログでも書いてウォーミングアップします

１２２１＝３＊１１＊３７

つまり３３＊３７

ってことは（３５＋２）（３５－２）

３５は３５＝７＊５つまり（６＋１）（６－１）

だから１２２１＝（３５＋２）（３５－２）
１２２１＝｛（６＋１）（６－１）＋２｝｛（６＋１）（６－１）－２｝

｛（ｎ＋ｍ）（ｎ－ｍ）＋Ｌ｝｛（ｎ＋ｍ）（ｎ－ｍ）ーＬ｝

計算結果が正の数であるためには、ｎ＞ｍである必要と、ｎ＾２＞Ｌ＋ｍ＾２の条件が必要なのかな？



あーねみーなー暇だなーだるいなーぼーっとするなー

あ、
（ｎ＜ｍ）でも｛（ｎ＋ｍ）（ｎ－ｍ）＋Ｌ｝と｛（ｎ＋ｍ）（ｎ－ｍ）ーＬ｝のＡＮＤが正であればいいし
｛（ｎ＋ｍ）（ｎ－ｍ）＋Ｌ｝と｛（ｎ＋ｍ）（ｎ－ｍ）ーＬ｝が両方とも負でもいい

つまり
｛（ｎ＋ｍ）（ｎ－ｍ）＋Ｌ｝か｛（ｎ＋ｍ）（ｎ－ｍ）ーＬ｝のＸＯＲが負になるっていう条件の補集合か。


いやちょっと待てよ
（ｎ＾２－ｍ＾２）＾２＞Ｌ＾２だけで済むじゃん
ｎもｍもＬも実数だから、左辺も右辺も正の数だなぁ

整数かどうかは・・・まあ、整数に限らないと面白味が薄れるかもしれないから整数に限ろうか

真に再帰的なアルゴリズムのボトムアップとトップダウンがわけわからんので

誰かフィボナッチ行列の一般式(対角化)あたりでわかりやすく説明してくれｗｗｗｗｗ

量子の日常

朝起きて仕事行ってExcelで4次のユニタリ生成子の固有値のブログ解説パーツ作って学校行って旅行の手続きして仕事して、
あと飯３食食って寝る予定



まだ、ポインタに追い込まれてないから蝿縄量ではない。ただの質＆量だ

4行4列のユニタリ生成子を、数値計算的にてさぐるXlsXファイル方法論

ユニタリ生成子は次のようになります。



見通しがよくなるように、次のように書き換えておきましょう。
 

これを、セルに実装してみます。

最終目的としては、このエルミート行列に-iをかけた歪エルミート行列を行列指数関数に放り込んで、高次元のユニタリ行列(回転行列のようなもの)にするのが目標なので
θ1からθ15までの値は、すべて-π～πの中に納まるはずです。

そこで、とりあえずの処置として、疑似乱数rand()関数を使います。
rand関数は0～1の一様乱数なので、1/2を引いてからπをかけるとよいでしょう。


次に、複素数a～fと、実数w～zを定めます。
a*などのアスタリスクのついた複素数は、複素共役を意味します。
たとえば、b*はbの複素共役ですので

a=complex(θ1,θ2)などというように、a～fを定め
それぞれの複素共役は、imconjugate(a)といった風に実装します。

また、x=θ8/√3、y=θ15/sqrt(6)です。

aとb、bとcなどはセル1個分ずれているのに対し、θ1、2ペアとθ4、5ペアがセル2～3個分ずれているので、2～3個下にいったんコピペーしてから、上に戻すようにカッペーしてやると効率がいいです。
セルの乳首をつまむと、参照した部分が赤面するので、ぶっこんだごとに、どこの穴を参照したのか、色を当てにして確認するとよいでしょう






できあがった行列がこれです
 

エクセルのエンジニアリング関数に入っている、複素数のためのライブラリ関数は
なぜか1つのセルに複素数を文字列として詰め込む仕様なので
あまりうまく整って出力されません。
今回は、見やすいように小数点以下1桁までで表示してます。

せめて、行列のように配列関数であるとありがたいのですが・・・


また、行列のためのライブラリ関数とも相性が悪いので、複素行列が扱えない仕様となっております。


そのため、行列の基本演算を、手動で行っていくことにします。


固有値を出す前に、腕慣らしとして、この4次行列の行列式を求めてみましょう。
4行4列の場合は、サラスの公式が使えないので、3次になるまで余因子展開を行いましょう。

ここでは、1行目に着目して、
1列目の余因子、2列目の余因子、3列目の余因子、4列目の余因子を算出し
そこからサラスの方法を用いて行列式を出してから
合計して４次本来の行列式を求める方法をとります。


まず
１行目の１列目から４列目の数値を右側に参照して出しておきます。
 

それから、余因子展開ができるように、「列の追加」で、
それぞれの列を参照したスペース同士の間に隙間を作っておきます。
２列ずつ追加になりますね。
 

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各列の代表の下に、余因子を並べていくと、次のようになります
 

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3次の行列式になったので、もうサラスの方法が使えます。
複素数の掛け算improductを使って、掛け算しましょう。
プラスの掛け算と、マイナスの掛け算がそれぞれ3項ずつあるはずです。

 

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3要素の掛け算が3セット出そろったら、プラスからマイナスを引きます。
imsub関数を使います。この関数は二項演算用です。

プラスからマイナスを引いた3つの複素数が算出されたら、その3つを足しましょう。
imsum関数を使います。この関数はimproduct関数同様、二項ではなく多項演算用の関数です。

それから、各列の代表値を再度表示するのですが、1行目1列目から数えて奇数回隣に移ったものの符号はマイナスなので、そこに注意。

 
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たとえば、2列目と4列目の代表、赤の印をつけたところは符号を反転させています。
imsub(0,なんとか)
といった使い方をしてます

そして最後に、符号も考慮した各列の代表×３次の行列式を４列すべて足せば
４行４列の複素行列の行列式が出せます。


エルミート行列の固有値はすべて実数なので
行列式もちゃんと実数になっている(ちょっと誤差あるけど)ことがわかるかと思います。



これは、あくまで行列式を求める計算を、腕慣らしに行っただけなのですが
次はいよいよ、
固有値を求めてみましょう。


固有値をいろいろ変えて、てさぐってみるイメージなのですが
お気づきの方もいるかと思いますが
固有値をてさぐらせるために行の部分を使ってしまうため
残りの演算をすべて１行にまとめてしまわなくてはいけません。

これをコピペーで行うには煩雑で、参照ミスもたくさん出てしまいがちなので
こういうときに役に立つのがカッペーです。

カッペーは、コピペーとは違って、セルの内容ではなくポインタを移動させる方法をとるため
絶対参照にしなくとも、セル参照のズレが起きません。

その代わり、リファレンスエラーが起きやすいデメリットもあります。
操作を間違えた場合は、手動で治すよりも、「元に戻す」を行ったほうが間違いが少なくてすみます。


つづく。

番組改変期。今日もアキバで頬が鳴る

ホノカ「最初のDライブを取り消すと、海未ちゃんが死ぬ」

(中略)

エリーチカ大統領「ホノカ、お願い！私と一緒に踊って！」

ホノカ「・・・断る！」

エリーチカ大統領「100人の生徒の命がかかってるんだ！」

ホノカ「私は・・・ことり(・８・)ちゃんがブヨブヨの鶏になって飛んでいくところを何回も見た・・・海未ちゃんの犠牲と引き換えに、ことり(・８・)ちゃんを救うために、ここまできたんだ。いまさらそれを無駄にはできない」

エリーチカ大統領「大参事世界大戦を止める方法が、園田海未を助けることだと言ったら？」

ホノカ「よし、やろう。（ｶﾞｼｯﾄ」

はなよ「即答かよ！」

ニコ（この女、ちょろいわね）



ことり(・８・)「これは？」

ニコ「(制作会社的に)ロボじゃね？」

ホノカ「アイドルだ・・・」

ニコ「まじ・・・！？」

エリーチカ大統領「ロボメンナンバーU２０３　2ndエディションver2.31。通称トウジョルノよ」

トウジョルノ「おねえちゃん！会いたかったよ！」

ニコ「ｼｬﾍﾞｯﾀｱｱｱｱ！？」

ホノカ「うん。彼女は私たちと同じロボメン、つまり２０３人目のサイボーグなの。」

ことり(・８・)「そして、海未ちゃんの双子のクローンだったのでーす！」

エリーチカ大統領「へっ！？それは初耳よ！？」

ことり(・８・)「ヘヘヘ～その証拠に～、海未ちゃんがトウジョルノさんに搭乗すると、姉妹効果で一時的に胸が大きくなるのです」

海未「くっ！」

ニコ「未来人パナいわね・・・！私にはいないの！？双子のクローン」

エリーチカ大統領「ニコには6人いるけど、全員男の子なのよ＾＾；」

ニコ「なんでよ！それじゃまるで私が本当は男子だったみたいじゃない！」

トウジョルノ「正直ワシワシしようがなかったんよね」


(中略)

ホノカ「私が海未ちゃんを殺した・・・私が海未ちゃんを殺した・・・」

ことり（・８・）「ﾊﾉｹﾁｪﾝその血は！？」

エリーチカ大統領「大丈夫、ホノカの血ではないわ」

ホノカ「ここは別世界だ・・・存在しない世界なんだ・・・」

エリーチカ大統領「どうして！？たった1回の失敗で！」

ホノカ「1回！？私が何回失敗したと思ってるの！これは運命なんだ・・・どうせ変えられやしない・・・」

ﾊﾟｧｰﾝ！

ことり(・８・)「ﾊﾉｹﾁｪﾝは途中で諦めるような人じゃないよ！」(中略)

エリーチカ大統領「ホノカ、メールよ」

「テレビを見ろ」

(中略)

エリーチカ大統領「この論文がハラショーな世界に渡り、熾烈なアイドル争奪ラブライブに発展するのよ。全国のアキバを制することは、世界を制するも同じだからね。

7月28日、君にメールが届いたはず」

ホノカ「7月・・・28日・・・」

エリーチカ大統領「今なら見れるはず。園田海未の救出に、一度失敗した今なら」

ホノカ「・・・」

エリーチカ大統領「騙してごめん。君が失敗するのは計画のうちだったのよ」


ゼロカロリーホノカ「初めましてだね、15年前の私」

ことり(・８・)「ホノカちゃんだー！」


(中略)

ゼロノカ「ちなみに、インベスの名称はＵ２０４型、頭文字が何を意味しているか、言うまでもないよね？」

ホノカ「うみんちゅ・・・」

ゼロノカ「そして目的の大会の名前をラブ；ライブと名付けたのも私。なぜそう名付けたのか、いうまでもないよね」

ホノカ・ゼロノカ「特に、意味はない」(かーなーしーみのー)

ゼロノカ「これより、オペレーションスクイズの概要を説明する。血まみれになった園田海未と、それに降られた高坂穂乃果。その結果を変えずに未来を変えるの！最初のお前と踊れ、世界と踊れ！検討を祈る。ﾔｾｲ・ﾉ・ﾁﾝｽｺｩ」

ニコ「いったいなんなのよ？」

ことり(・８・)「声渋かったよね～(小並感)」

ホノカ「ｸｸｸ・・・ﾊﾊﾊﾊﾊ！ミューズミュージックスタートだとぉ！？ﾔ・ｾｲﾉ・ﾁﾝｽｺｩだとぉ！？２９にもなってなにをやっているんだ私は！まるで厨二病全開じゃない！やってやる！それがラブ；ライブの選択というのなら！

私は狂気のMADアーティスト、鳳凰院キーマ！世界を騙すなど、造作もない！(ﾟ∀ﾟ)ﾌｩｰﾊﾊﾊ！」


ニコ「いつものホノカに戻った」

ことり(・８・)「私はこっちのﾊﾉｹﾁｪﾝのほうが好きなのです＾＾」


ホノカ「あえてもう一度言おう。私は狂気のMADノーティスト、鳳凰院キーマ！世界はこの私の手の中にある！」

wolfram alphaすげー！

そしてこええええええ！


ためしにコレぶち込んでみたんだ



まだこの領域はポンコツでほっとした。
なんかよーわからん表示になってた。
でも当たらずとも遠からずって感じで
とりあえずノルムは出せてたから怖い。
√(-x^2-y^2-z^2)だってよｗｗｗ

ひっそりと有料版ではしっかり整式されてたらと思うとぞっとするね


日本語版はまだないみたいだけど、
英語版でもだいたいなんとかなるようにできてる。

メニューのところにいくつか質問の例があって
たとえばmatrixって部分だったら

文字じゃなくて具体的な数だけど、2次の行列が配列みたいに書いてあって
固有値と固有ベクトルを計算しなさい的な意識高い系命令が書いてある(笑)
意識たけーなぁー

ちなみにexp(行列)だと、行列の各要素を独立に指数関数に入れてしまうから
「行列指数関数」を明示するのにmatrixexpって入力するらしいね

具体的な数だとよう知らんけど
文字を入れた行列の固有ベクトルは、規格化はされてなかったね。

ただ、どっかのサイトで、ジョルダン標準形は出せたとか言ってた。
おっかねー
これが俺たちのリアルかよこえーなー
趣味まで奪われるｗｗｗｗやべえｗｗｗ人類は皆おパンツを研究するだけの存在になるんだろうかｗｗｗｗ


ってか、パウリ行列入れた時点で、x,y,zは勝手に実数って定義されるんだろかｗ

audacityの

音声データを虫眼鏡で最大まで拡大して
その音圧データをズラーーーーーってAA文字なり画像なりでブログにアップして

画像なりテキストなりを読み取った読者がダウンロード＆エンコードして
楽曲に再編成できたら面白いだろうなぁ、アホみたいで。

スキュー(せん断)変換のn乗でイメージするジョルダン標準形の練習

図のように、平面や立体図形をプラスx軸方向(やy軸方向)のみに傾ける変換をスキュー(せん断)
といいます。

傾ける角度をθとすると

変換はこのような行列で定義できます。



この変換行列の固有値λは、角度に依存せずにλ=1が2重にダブるため、

この変換を例に、ジョルダン標準形の練習をやってみましょう。



ジョルダン細胞が図のような形になるように、
AP=PJ
の関係式から
固有ベクトルのペアPを定めます。(Aは変換行列のことです)


つまり
 
このような条件の永年方程式を解くことになります。


tanθ・v2y=v1x

tanθ・v1y=0

v2xはなんでもいいのでとりあえずv1とv2が線形従属にならないように、v2x=1

ここから、

と、ちゃんとJが導出できてちゃんと辻褄も合いました。


そしたら今度は、スキュー変換のn乗を計算してみましょう。


と求まることがわかるかと思います。

ためしに、逆変換を-1乗と逆行列で検算してみるとよいでしょう。


イメージがあると得体の知れないものでも多少はやりやすくなるかと思います。
検算もしやすいですしね


ところで
回転・平行移動・拡大縮小を合わせて、アフィン変換と呼ぶらしいですが
平面図形にダミー次元を1つ付け加えて平行移動に対応させた
任意のθ、A、x0、y0を用いた変換も、2重か3重に固有値がダブるので
例題としてはいいかもしれません。



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MOB

県立、学文高校1年2組その他、放送開始から国民中の注目を集める生徒たちがいた。

日直さえもツッコミ不在！

ランチパックもツッコミ不在！

廊下を走らせてもツッコミ不在！

その一挙手一投足が　ふざい！　ふざけろ！　ふざけるが！！

圧倒的に価値観の異なる世界観を魅せつける、その生徒たちの名は

※モブですが？

スキューでジョルダンの練習

あーかろうじてできたっぽいわ。
スキューのn乗を一般式にしてみた。やっぱ実体あると分かりやすいしおもろいなこれ。
スキューの逆行列もちゃんと出せた。
今はまだ平面だけど、立体バージョンもやってみよう



ジョルダン細胞が上三角っぽかなきゃいかんってのは人間による約束事だねたぶん

チモたん、壊れる

ﾁｯﾁｯﾁﾁｰﾓﾁﾓﾁﾓ

片対数への変換行列？

たとえば、リニア方眼紙を、片対数方眼紙に変換させる行列なんてのは存在するだろうか

もし存在するのであれば、スキューと組み合わせることで、行列を使って相対論的なダイヤグラムに変換できるんだけども。



うっかりしてた。相対論の目盛りは対数じゃねえや。何を考えてるんだ

スキューとジョルダン

言われてみれば、スキュー変換の固有値って被るよね
こいつをジョルダンの例題にしてみるのはどうか。