ジョルダン標準形と規格化(ユニタリ化)

そういえば、ジョルダン標準形にする際の対角「化」行列P(≠対角行列λ)
って規格化してユニタリにってできないですよね。

隣の固有ベクトルまで巻き添えになって連動しちゃうので、おそらくできないんでしょうね



あ、そういえば。
非対称(非エルミート)行列を対角「化」する行列Pって、
規格化できるとは限らないんですかね？
というか、規格化できたように見えても、それは対角化のための行列ではない感じでしょうか。

Pの行列式が全然1になりませんし、逆行列もなんか変です

今回やった(実数)行列の例では、規格化せずともPの行列式が1になって
でもそれはユニタリではないので、転置(エルミート共役)したものが逆行列ではなかったんですよ

そんなことってあるんだなぁ

アニメの腹黒メガネ主人公は優しすぎる

というタイトルのラノベがあってね？」「ねーよ



ログホライズンのシロエも大概、どこが腹黒なの？系の腹黒キャラな印象でしたが
三者三葉の葉山さんも腹黒要素があまり見られませんよね。

まあいわゆる主人公補正というやつでしょうか。キャラが薄味になる主人公補正ってなんなん・・・


そんな場面見せられないよ！(モザイク)見せたところで誰得？的な。


ただ、文化祭の話は割りと指揮官めいたことをやっていたので、少しはシロエっぽい描写ができたのかなと思います


よくは覚えてませんが、個人的にはパロディ回な印象でしたね。



もうだいぶ忘れられてるからだと思うんですが、画像がないので作って差し上げたい
シロエっぽい葉山さんの黒い笑顔
コラしたいこの笑顔！

。


葉山さんの白目をちびまる子風の黒目に変えちゃっていいですか？

3次のジョルダン細胞のﾊﾟﾃｨｰﾝとべき乗

どうも、こういう規則性があるらしい


 
定数を微分するのは気が引けるけど、なんか楽に書けるので、微分表記してみた。

n次の行列だったら、0階からn-1階微分まであり得るのかな？

ジョルダン標準形の近似？

ふと思ったのですが、ジョルダン標準形を必要とする行列というのはどのくらいニッチな需要なんでしょうか。


ありふれているのか、それとも、一部のマニアな行列さんにだけウケる商品なのか。

たとえば、
ジョルダン標準形を必要とする行列と、それとほんのわずかだけ異なる行列があったとして
その場合、固有値は重なっているように見えても厳密には重なっておらず
したがって固有ベクトルを求める際も、単なる対角化を求めれば済む

ということになるのかならないのか。


サポートが切れてしまって今現在使えないエクセルのアドインで
複素行列に関するライブラリとも呼べるユーザー定義のような関数群があったのですが

行列に実数のランダムな値を入れている限りは
ジョルダン標準形を意識することはなく
気づくこともありませんでした。

まあ当時は存在そのものをほとんど認識していなかったのですから、
気づかないのは当然かもしれません。

しかし、実際、その行列の固有値・固有ベクトルを求めるのにどんな方法を使っていたのか
「ヤコビ法らしい」こと以外はわからず
ヤコビ法のアルゴリズムにも当時はあまり興味がなかったため

まあなんか、「エルミート行列じゃなかったらちゃんと計算されないんだね」
程度の認識しかしていませんでした。


もうちょっとよく観察できたらよかったな・・・
あいつが生き返ってくれればまた使役してあげるのに。


はたして、ジョルダン標準形というのは行列における整数論のような存在なのか否か。

ヤコビ法ははたしてどの範囲まで着実に計算してくれるのか。

ジョルダン標準形を算出するコンピュータのプログラムは存在するのか

エルミートやユニタリとどのような関係があるのか。

高次元の回転との関係はあるのかないのか

ペロンフロベニウスの定理との関係はあるのかないのか



わからないことだらけです。

「謎は解けるばかりか深まっていくばかり」とはよく言いますが
じゃあ逆に「なぞはすべて解けた！」という状況はいかほどあるのでしょうか


イメージとカーネルはわからないし
ランクの計算だっていつだって計算間違いできるよ！

ジョルダン標準形の例題

「ジョルダン標準形　例題」でやふったりググったりすると、ほぼほぼ一番上に、首都大学東京のpdfが現れるんですが、

それの続きを、通院の待ち時間の間に解いてて、帰ってからさらに続けて、ようやく5問全部手続きが終わりました。

が、「答えを見て、なるほど」状態でしかなく、まだまだ、何も見ずに答えにたどり着く自信はないです。



最小限という意味では最適な5問ではあると思いますが、慣れるにはもっと数値を変えて解かないといけない感じですね。

線形従属なのか独立なのかがモロに効いてくる世界なんで、その判別をどういったアルゴリズムで統一させたもんかなと思うのです。

5問は、すべて違うパターンで、よく練られた具体例だと思います。


何ヶ月ぶりとかのリベンジだったんですが、ようやくpdfの底にたどり着きました。
まさか一番底に、手順が書いてあるとは思わず、
通院の際に資料を集めておくとかいう無駄な作業をしてしまいました。


しかしながら、その書かれている手順をそのままアルゴリズムに転写するほど僕の理解は及んでおらず、核(カーネル)とか像(イメージ)とかに至っては、定義自体が意味わかりませんorz

一筆書きをグラフ理論語で簡潔に答えよ

一筆書きできる条件は、次数が奇数のノードが0から2つまで。

一筆書きする方法は、奇数次数ノードから始める。
奇数次数ノードが2つなら、終点も奇数次数ノード。
奇数ノードが1つなら、どこで終わってもいい。
奇数ノードがなければどこから始めてどこで終わってもいい。

以上

デンライナーが無限軌道と聞いて

踏切で無限軌道から有限だが果てはない軌道に履き替える重機はまだですか！？




「おっす！オラリニアモータ！多極だと逆走しづらいってほんとか～！？」

　「リニアには聞いてない」

「ｲｯｰ！(赤ボルト)お前さ～もうちょっと極限とれよもう～」

　「極限を取ると無限大の半径の円周が直線になるってのか！？ああん！？」

「いや、なんとなく」

「ティーナはなんで跳ぶのん？」

　「エイティーンですけどなにか～(⌒-⌒)」





 
パンツーパンツー受け止めパンツー

ワイヤレスイヤホン(2個目)のレビュー

以前、確か2000円くらいで買ったのはレッドエレファントのコレでした。


今回はコレ。GENAIとか書いてます。
父がどこからか仕入れたもので、日本円だと500円相当だとか。



レッドエレファントと比較すると

１．音質はわずかにいい（かも）
２．インピーダンスマッチングは取れてるっぽい
３．一時停止ボタンがない(あるいは機能しない)
４．次・前の曲ボタンも同様
５．よく音が飛ぶ


１．に関しては、屋内で数時間聞いてみただけなので、気のせいかもしれません

次に２．について

レッドエレファントのものにはもう片耳用のイヤホンが付属しており
しかし、どういうわけか本体より明らかに音量が小さいのです。

そこで、別口でマイクロUSBの片耳イヤホンを買ってつけてみると
どういうわけか電池の消耗がえらく速いのです。

これは推測ですが、おそらくインピーダンスマッチングをサボって、付属イヤホンのインピーダンスのほうを本体の仕様に合わせたのではないかと思っています

３．と４．については
説明書に「一時停止・前後曲ボタンはあるよ」と書いてあるようなないような・・・

web説明書なんですけどね。

けど、作動しません。
僕の使ってるガラケーとの相性のせいなのかはまだ検証できていません。


５．に関してもまだ十分なデータが取れていないのですが
初日に屋外で使ったときの天候が、すごい風が吹いている日で
やたら音が飛んだのです。

ワイヤレスで音が飛ぶのはおそらく
・風
・車載アンテナとの混線
・首のひねり角度

あたりだと思います。


あと、
ポケットにガラケーを入れたまましゃがむとなぜか音が飛ぶ
という現象も時々見られるようで
GENAIのは割りとそれが顕著でした。

距離的には近くなったのに、これも「首のひねり角度」同様、アンテナの指向性の問題でしょうか。



それから、この手のワイヤレスイヤホンにはあるのかないのかわからないのが
「学習機能」です。

いまや指先にあるサイズでも学習機能があってもおかしくない集積度の時代なので
ユーザーの首のひねり具合の癖などを読み取っていて、使うごとに音飛びが少なくなる
なんてことがあっても不思議ではありません。

しかし、そうなるとユーズド商品はどうなるんでしょうか。

レッドエレファントの製品も、初日の音飛びがひどかった印象があります
(その日もたまたま風が強かったような)
ユーザーである僕が気にしなくなっただけの話ではないような気がします


やはりこれは、両方のワイヤレスイヤホンを旅行か何かで首都圏まで持っていって
都会の(電波的な)喧騒で試験してみなくてはいけませんね



あとは、kindleやvitaに楽曲データを入れて、試験ですね。


あ、ちなみに、両者とも、音ゲーは無理な遅延具合です。むり

3次に因数分解できる4次方程式の実数解

とりあえずちょっと訂正

x^4-x^2+px=0
の解は


であることが、フェラーリの方法からわかった。

カルダノの方法と比べると
λ(λ^3-λ+q)=0
 
なるほどそっくり。

xの絶対値がとれればなあ
あとなんで偏角を3じゃなく2で割ってるのかよくわからない
まあ4次方程式(4分角の定理)だから必要っちゃ必要な手順なんだろうけど、これと符号の件は関連するのかしないのか

理想としては
3じゃなく2で割りながら、符号も含めて一致させたい

もしかして、6分角の公式とかが必要だったりするんじゃねえだろうな
でも6次方程式が出てきたら手に負えんぞ。せめて複3次とかで勘弁してほしい

3次としても解ける4次方程式の実数解

昨日の続き。
とりあえず符号は置いといて計算を続けます。



3倍角の公式より


なので


また、二重根号の中身の分子は以下のように因数分解できるため、二重根号は二重根号たりえないことがわかった！

 


倍角(半角)の公式も使って簡素化していく。


として、加法定理を用いて係数を比較すると



よって、


(符号はあとで考える)
というのが、x^4-x^2+px=0の解だと思いますたぶん

3次に因数分解できる4次方程式の実数解

まあ、単にλ^4-λ^2+pλ=λ(λ^3-λ+p)=0ってだけです。
違うのは、λ=0も解に含まれることですね。


カルダノの方法を純粋に使ったやつと
カルダノの方法を含んだフェラーリの方法とでやって検算してました。



いちおうここまでは合ってるっぽいです。

ここでいうA41というのはλ^3-λ+p=0のpのことです。

θとA41は、次のような関係があるのですが
つまりA41の範囲は|A41|≦2/3/√3になります

これをそのままA41に代入すると、時折符号が反転する(いつもではない)不具合が出るうえに


(赤い±だけ複号同順でない)
ここまで整理したところで、二重根号をどうやってほどけばいいのか難儀してます。

4分角の定理「俺の屍を超えていけ」

複二次な四次方程式の実数解を解析的に解いて、幾何学的な意味を求めるところで力尽きました

規格化された特殊ユニタリ生成子を全部線形結合させたエルミート行列の固有値
を求める方程式は

n-1次の係数がゼロ、n-2次の係数がマイナス1になるため

たとえば4次だったら

λ^4-λ^2+pλ+q=0
といった風になります。

そのうち、p=0に限定したのがこの図となります。
実数解であるために、エルミート行列は0≦q≦1/4を要求する。
(4分角の定理が大変参考になりました)


見ての通り、四次とはいっても、パウリ行列系に毛が生えた程度の二次っぽさなので
対称性がまだすごく高いです。


 
pもqも一般化する前に

q=0で3分角の定理を適用した3次方程式に立ち寄ってみましょう
こちらではちゃんと固有値の対称性が破れてくるんですよね。



カルダノは空で言えるのに
フェラーリはまだなのよね～

どうしても煩雑になってしまう。
(手書きでやってるからかもしれないけど)

p、qともに一般化したら、円がどんな風になるんだろう
1つ増えた自由度で、半径が変わるのか、偏角が変わるのか
それとも平行移動したりするのか

やっぱり解析解を見るのが一番手っ取り早いんだろうなぁ

しかしそれ以前に、二重根号をほどけるかどうかが心配ﾃﾞｰｽ

4分角の定理(自明)が半分うまくいって半分うまくいかない

8cos^4(θ/4)-8cos^2(θ/4)+1-cosθ=0

を、cos^2(θ/4)=Xとした2次式を解くのは問題なくできる。

cos(θ/4)=±cos(θ/4)、±sin(θ/4)は出せたし

たぶんsin(θ/4)=±cos(θ/4)、±sin(θ/4)だって出せると思う。

でもこれを4次方程式としてフェラーリとカルダノで解くのは結構煩雑

どっかでミスる気がする。というかミスってるのかどうかすらよくわからない。
どの程度細かくしてバグを取ればいいのか。細かくしたら切りがないぞ


もし、4次式が2次式を参考とかゴールフラグにできれば少し荷が軽くなっているのかもしれない。


でも、僕が解きたいのは4分角の定理そのものじゃなくて

4分角の定理を踏み台にした、4次の特殊ユニタリ生成子のエルミート行列の固有値の解析解なんだ。

当然、1次の項が出てきて邪魔なので、複2次として解くことはできなくなる。

1次の項が出てきてもなお、何かしら幾何学的な法則がないか、知りたいんだ。


4次方程式は、内部に3次方程式と2次方程式をマトリョーシカのように搭載してるからなぁ
解析解を求めるとなると記号の付け方がどうしても煩雑になるんだよ。




ちなみに、エルミート行列の固有値を求める方程式を、解析的に整理するのはほぼほぼ諦めましたorz
ミスが多すぎて太刀打ちできない・・・

とりあえず実数解を4つ持つ係数の4次方程式を仮定して、ってやるつもりです


5次？そんな高望みはしません。＾＾＃
そういえば、5次方程式のwikiがあるんですね。何書いてるのかさっぱりわかりませんが！

いんくりでくり「バイ・ヤイ・ヤイ」

1をあらかじめ足しておく++cとかいう命令
命令をしてから1を足すc++とかいう命令
1をあらかじめ引いておく--cとかいう命令
命令をしてから1を引くc--とかいう命令


の功罪について考えていた。
ソースコードに芸術性は必要だろうか、それとも有害でしかないのだろうか

無駄にとっつきにくくても仕方ないと思えなくもない。
オブジェクティブな時代としては、時代錯誤なのではないかとも思ったところで


あらかじめ割ったあまりを算出してから命令をするとか言う

%%c

について考えてみた

何で割ったあまりなんだ？

そうだな、加減算以外における1は単位元なのだから意味がない。
ましてやゼロはご法度である。


じゃあ、boolean的な意味でも、乗除剰余算においては、2を基準に取ってみてはどうだろう

とか思った。

**c　：あらかじめ2をかけておいて命令をする(ビットシフト)
c**　：命令をしてから2をかける
c//　：命令をしてから2で割る
//c　：2で割っておいてから命令
%%c　：2で割ったあまりを算出してからの命令
c%%　：命令してからの2で割ったあまりの算出

これ(↓以下↓)はもうあるんだっけ？
&&c
c&&
||c
c||



あ、でも紛らわしいんだったな
a&cと、a&&cは違うんだとこないだ知った
確か、片方が集合的な意味で、もう片方がビット演算的な意味だったはず。

あっちゃいけないのかもしれない



浮動小数点で思い出したけど
エクセルのシリアル値は、整数部と小数部にわけることができるね。
整数部が日付で
小数部がその日の中の時刻

なるほど、mod(now(),1)とnow()-today()は同じ値になるのか。
でもnow()-today()のほうが、勝手に数値として認識してくれるから使い勝手がいいな。

冷やし送電、始めました

ポインティングベクトルの向きを答えなさい


どの方向を向いて箸を持って待機していれば、流し送電をつかむことができるのか。
ただし、メッカアプリを使ってはいけない。