昨日の縛りが

すべて同値だった件ｗｗｗｗｗ

対角化行列が「特殊」ユニタリなエルミート

特殊ユニタリ生成子


きっとこんな縛りがあるのだろうと。


そしてこういう条件もあるでしょうね


を満たすLはL1とL2である、と。 (もしかしたら同値の式同士かもしれない)


ただし、r^2=x^2+y^2+z^2、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r


3行3列以上は手計算ではやりたくないの、わかるでそｗｗ

配列とポインタと一次元位置ベクトル

配列が位置ベクトルに相当するとすると、
ポインタは位置ベクトルの対義語に相当するような気がする。


位置ベクトルの対義語ってなんだろう？
平行移動できないやつのことなんだけど

ポインタだったらその対象を掴めるかもしれないねっ(やけくそ)



一意的にゆいつーしんちゃんの淡いお豆さん

天井関数と床関数の差

が1なのは当たり前すぎて誰も言わないのか？？wikiにもない



それにしても、床関数と天井関数
rounddownとroundupを正負で場合分けして処理したらだめっぽいな
if(x>=0,roundup(x,0),rounddown(x,0))
みたいな感じで。
xが整数のときにバグるっぽい


床関数をint関数で表現してやって、天井関数を逆算したほうがよほど健全っぽい

取り急ぎだからよくわかんなくなったけど
wikiのフーリエ展開見たっけ「差が１」の定理は合ってるみたいだから、どっちが正解なんだろう

一般的な特殊ユニタリってなんだよ

対角化のための行列が「特殊」ユニタリ行列になるようなエルミート行列を探す旅、
二行二列でも相当めんどくさい


生成子を指数関数に入れて一般的な特殊ユニタリを作っておいてからの、
対角化済みの行列をエルミート共約とで挟んで、
出来上がった行列の行列式がゼロになる方程式を作り、
その方程式を解いた固有値が、
仮定した固有値と一致する縛りを与える。
めんどくさ。
今日祝日だしもう寝る

うっかり特殊のつかないユニタリ群

空き時間にエルミート行列の対角化をしてて気づいたんですが

対角化する際に規格化してユニタリにしたやつって
特殊が付かないユニタリ行列だったんですね。

以前、特殊ユニタリ群のことを書いたブログで
特殊ユニタリ群には生成子があるけど、特殊じゃないやつには特にこれといってないよね？
って言ったのは間違いでした。

こんなに身近に潜んでいたとは。

でもそれじゃあ、生成子で作れる特殊ユニタリ行列は、
どんなエルミート行列を対角化する際に現れるものなのか、気になるじゃないですか


おそらく対角化する際の行列に紛れ込んでると思うんですよ


ああそういえばですね
固有ベクトルを規格化する際、
固有ベクトルの各要素が実数の場合は、単純に二乗和平方根を取ればいいですが
複素数の場合って、ノルムを取らなきゃいけないんで
各要素の「絶対値の」二乗を取って足して平方根を取らなきゃいかんのですよね。
すっかり騙されて、「何度やってもうまくいかん」ってやってました



この一連の流れ、もしかしたら部分的にではなく全部
ちょっと前にやったかもしれません
最近やったことほど忘れます。リボってるね、リボるGだね。
旧式ノGGIトイウホカニハ特ニ

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嫁のデジットマンがこんなに女の子なわけがないと思った？

グリッドマンと俺妹とデジモンに求めているものって、実はカブるんじゃないだろうか




カメラが下からグリッドマンしてタイトルロゴがどーん
あ、けこからー？

ちぎれたカケラを拾い集めてブリを描こう

やっぱり紅くしておきたかったなぁ・・・

クルックス管のように熱浴な、クォータニオンが入ったタンジェント

ようやく余裕ができて、Excelの複素行列を使って数値的に検算することができました。







ただしくはこうです。



検算用、複素行列解析エクセルはこちら。
DLしていただいてから、編集を有効にしてくれればdelを押すたびに動くはずです
複素関数なので、配列関数を使うのはやめて、掛け算などに複合参照を用いています。
基本的には青いセルだけいじってください。
初期値として-1～1の一様疑似乱数を入れてありますので、空白セルでdelボタン連打でも割と楽しめるかと思います
例外処理がしやすいように(逆行列がエルミート共役になるように)、固有ベクトルを規格化(ユニタリ化)しました。


 
クォータニオン(パウリ行列、SU(2)：特殊ユニタリ群)
xI+Jy+Kz→-i(xσx+yσy+zσz)=-iAはエルミート行列Aに-iをかけた歪エルミート行列なので

exp(-iA)はユニタリ行列になるはずです。

エルミート行列は実数の行列バージョン
歪エルミート行列は純虚数の行列バージョンとみなせますからね、
exp(実数)が指数関数的に増減する指数関数であるのに対して
exp(純虚数)がぐるぐる回る指数関数であるのとアナロジーがあります。

ちなみにexpのエルミート行列乗はエルミート行列になります


exp(-iA)がすでに求まっているので、

あとはcos(-A)=cos(A)を計算すれば、
オイラーの公式からsin(-A)=-sin(A)は自動的に求まります。

これが、cosAというのが面白い性質がありまして

cosA=cosr×単位行列

なんですよ！
ただし、回転角(固有値)r^2=x^2+y^2+z^2、回転の法線ベクトルx/r=X、y/r=Y、z/r=Zとする。


そうすると、オイラーの公式から得られた-sinAは、
exp(-iA)=cosA-isinAを変形すると
sinA=(exp(-iA)-cosA)/(-i)

と求まり、
両辺をcosAで割ると
tanA=(exp(-iA)-cosA)/(-icosA)=i(exp(-iA)/coaA-1)

となるわけで、このsinやtanは実はエルミート行列なんですよ！


つまりオイラーの公式のクォータニオンバージョンは
exp(歪エルミート)=ユニタリ=スカラー×単位行列+歪エルミート

という、割と不思議な関係になっているわけです。
スカラーのオイラーより不思議さのレベルがあがってる自信がちょっとだけあります


何の役に立つのかわからないまま始まり、わからないまま終わった
この、exp以外にもいろんな関数に複素？行列をぶっ込んでみようというこの企画

tanから始めてよかった！

特に何に使えるわけでもないけど、理解だけは深まった！
まるで羽根車の入ったクルックス管のように
密閉されていても光や熱は出入りできる窓であり
教材としてはかなりいいものだ！ｱﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊ (⌒ワ⌒)

sinやtanは関数の中身がパウリ行列だと、その複素共役(あるいは転置)がそのまま外に出るんですね～
cosは外に出すと単位行列に。
偶関数や奇関数全体に言えることなのかどうか、またパウリ行列以外のエルミート行列だとどうなるかはわかりません

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爆ぜろ！スーフォニウム

ゆあ「新しい吹奏楽部を考えてみよう！」

ひーな「自走する金管楽器がある」

こはるん「えっとそれはどういう」

ひーな「バイクと楽器を作ってるあのメーカーが、バイクでもある楽器を作って体育館に乗り入れて学園祭で演奏するのよ」

あおい「新しい！」

ゆあ「ドレミファインバータの空気制御バージョンだね？」

こはるん「でもそれって、実現できるならもうとっくにヤ○ハさんがやってると思うんですが、動画を見ても見当たらないということは、現段階では実現不可能なんじゃないでしょうか？」

あおい「人類には新しすぎた！」


ゆあ「電子じゃなくて空気とかの物流を制御する(バイポーラ)トランジスタが必要だからね」

ひーな「そうよね。下手すると中性子星の超流動や重力波とかの超重力理論が必要になってくるかも」

こはるん「あ！そうだ。羽のない扇風機はどうですか？」

あおい「こはるん、モーガン・フリーマン・ダイ○ンのあの扇風機は羽がないんじゃなくて隠れてるだけなんだよ？」

ひーな「そう、そこがネックなの。人類スケールでやるには羽の隠れた扇風機が最適だと思ってはいるんだけど、この扇風機1個がバイポーラトランジスタだとすると、電子回路の集積度を維持するためにはとんでもない大きさが必要になるのよ」

ゆあ「大昔の真空管みたいにね」

あおい「新しくない！古い！」

こはるん「原子にやらせちゃえばよくないですか？」

ひーな「何を言ってるのこはるん！？」

こはるん「テラヘルツ波ってありますよね？その昔、暗黒の周波数領域と呼ばれていた」

ゆあ「ああ、あったわね。ギガヘルツぐらいだと人間業ギリギリの細かさで電磁波を出すけど、テラヘルツの向こう側にあるマイクロ波や赤外域・可視光域なんかは、発振を原子がやっちゃってくれるんだよね。それこそヘルツとかって振動数ではなく波長で呼んじゃうんだよね」

こはるん「そうですよ！原子にやらせればいいんですよ」

ひーな「音階と量子・・・確かにどちらも不連続的で調和がとれてるものだから、案外相性がいいかもしれない・・・パイプオルガンて手もあるわね。鍵盤金管楽器か・・・和音も作れるわね、調和振動子だけに（ﾄﾞﾔｧ」

あおい「あの、ところでインバータっていうのはなんですか？バッファの論理反転かなにかですか？」

ひーな「インバータっていうのはコンバートのインバースだからインバータなのよ」

ゆあ「DC-ACインバータとかあるよね」

あおい「Ｄはディグリーで、Ａはアナログ？コンパレータ？」

ひーな「そっちのDAコンバータでもなくて・・・ああ～！ゆとり！」(あけこばんばん)

あおい「コンパレバータ！♪」ドンチキ♪└(^ω^ )┐♪┌( ^ω^)┘♪ドンチキ

ゆあ「ｱﾊﾊﾊ！デシマル－デジタル・コンパレバータｗｗｗｗ」

あおい「コンパレバータ！♪」ドンチキ♪└(^ω^ )┐♪┌( ^ω^)┘♪ドンチキ

こはるん「コンパレバータ！♪」ドンチキ♪└(^ω^ )┐♪┌( ^ω^)┘♪ドンチキ

ひーな「ドンチキよ・・・」




3週間後

ひーな「できたわよ！人類スケールの物流トランジスタでこさえたドレミファインバータなマフラー！」

ゆあ「こっちも完成だよ～手編みのマフラー」

ひーな「でもどうしても、シの音が出せなかったの。対応する遷移準位がなくて」

あおい「ならシ抜きで演奏しましょうよ」

こはるん「そうですよ！しぬきで演奏したらできますよ！」

あおい「・・・あの・・・お亡くなりになられてるんですか？」

ひーな(あけこばんばん)

ゆあ「ｱﾊﾊﾊﾊ！」

Heごちん「もうそのネタいいじゃないですか～やめてくださいよ～」

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ひーな「もう！京アニさんなんだからYAMAHAさんぐらい伏せないで書きなさい！」

あ、そういえば

オイラーの公式の、ありそうであまり見かけない変形

exp(ix)/cos(x)=1+i*tan(x)

で思い出したんですが

クォータニオンが中身のsinとcosをオイラーの公式ばりに組み合わせれば
過去の日記のクォータニオン指数関数に一致するかどうかで検算ができるじゃん！

まあ、sin^2+cos^2=1で検算しておいてもいいよね。あ、でも2乗の計算が面倒かもですね

タンジェント・クォータニオン

とりあえず中間報告を載せておきましょう。

クォータニオンw+Ix+Jy+Kz=w・σ0-i(σx・ｙ+σy・ｙ+σz・ｚ)
といった風にパウリ行列で表現したとして



ここで、r^2=x^2+y^2+z^2とします

ロドリゲスの回転公式でやった計算を彷彿とさせる懐かしいやり取り。
まあ、クォータニオンを対角化させる行列Pとその逆行列ってのがすでにテンプレなんで、必然っちゃ必然なんですよね。

数式エディタでやって、対称性もなんとなくある感じなので大丈夫かと思いますが
符号とか心配ですね。

いちおうwだけ、xだけ、yだけ、zだけ1変数をそれぞれ有限にした検算はやってみましたが
かなり不十分な感じがするというか
クォータニオンなだけに、w+Ixとかw+Jyとかw+Kzくらいやっておかないとまともな検算にすらならないってのがねえ
ただのエルミートや歪エルミートみたいな感じになってしまうんですよね

余裕があったら数値計算して検算したいです。


これで２／３くらいまで終わったと思ったのですが
合体テストが残りの１／３以上占めているかもしれません。


tanqだけでなく、tanhqやatanq、atanhqにも手を出したいんですが
そのころにはもう飽きてるんじゃないか心配です

ノーベル賞と栄養ドリンクに直接的な因果関係はないと否定しており

栄養ドリンクを飲むたびにノーベル賞レベルの研究ができる

そんな体質の知的生命体がこの広い地球には存在するかもしれません＠モーガン・フリーマン



ノーベルの残した最後の宿題といわれていた現象、ついに発見か

昨日の日記が色々おかしい

かといって訂正バージョンを書こうにも、意外と分量がひどすぎた

まだ計算途中。

法事もあって疲れたのでそろそろ寝る

いつ計算終わるかな・・・


っていうかなんかこうもっと有意義な日記を書きたか・・・た・・・。ｶﾞｸｯ


今日は僕の法事
なんてこたない
何年後になるかな



デジタル－デシマル・コンパレバータ

だぁー行列だから安易に約分できないんだあああ

tan(iσnxn)=iσ3tanhxn
じゃなくて
tan(iσnxn)=iσntanhxn


こうだったみたいだああ><

ちなみに
tan(w+xI+yJ+zK)=(sinw+Isinhx+Jsinhy+Ksinhz)/(cosw+coshx+coshy+coshz)
のおかげで気づいた