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20080511～
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
無茶言うなｗｗｗｗｗ
以前、どこかでθ1からθ8まで全部合わせたって言ったのは、exp(Σ)じゃなくてΠ(exp)のほうです すみません＞＜ 8/13追記 ええ～？ これなんとかなるんですかぁ～？ λ^3=θ^3 の式ですよね？ノルム関係ないじゃないですか～。3乗和だったらフェルマーの最終定理的になんかアウツな気がするし 3次方程式でしょ～？これを解く意義を見出せない・・・
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前回の日記。
パウリ行列の指数関数を用いて、ロドリゲスめいた3次元回転行列みたいなのが得られた。 だからどうした！？ あらすじおわり。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ここまで計算し終えてようやく気づいたんだけど、実はこれと同じ結論を去年の夏くらいに得ているようだ。すっかり忘れていた。 ただ、そのときの僕は、この行列を使いあましていた。 この行列をどう使えばいい！？掛け算でもするのか！？ ただただ掛け算すればいいことに、最近気が付いた。 丸一年ごしの馬鹿の壁である。 本来、パウリ行列の2番目、σyを指数関数にぶち込んだ際に得られた 従来の回転行列を思い出そう。 これは(縦)ベクトルに直接掛け算して使っていたではないか。 それなら、パウリ行列を基にした複素行列状のベクトルでも同じように、掛け算することで回転が得られるのではないか。 確か前回、「ベクトルの風味が出るように、行列はエルミートに自由度を制約している」と自分で言っていたではないか。 つまり、行列をエルミートに制約すれば、ベクトルと同じように扱えるのではなかろうか。 まさにかければいいだけの話だったのである・・・。 しかし、行列を作用させる対象のベクトルが、2行2列の行列の形をしているのは、エクセルで扱ううえではなにかと都合が悪い。 しかし確か前回、「ベクトルの風味が出るように、行列はエルミートに自由度を制約している」と自分で言っていたではないか。 そうだそれだ！ 行列の右半分だけ使えばいいのだ！ つまりこうなる。 表計算の縦に伸びる機能を利用して、横ベクトル対応型にするとこうなる。 行列の下半分だけ使えばいいのだ。 ただし、回転行列は左からではなく右からかけることに注意する。 なんとまあ1つの3次元を表すのにセルを2つしか使わなくて済むとは！ (ただし複素数であるが) そのうえ、ベクトルの足し算、つまり平行移動の際にダミーの1次元を足さずに済む (まあ、それが必ずしもいいこととは限らないが) スカラー倍が困ったな・・・個別に操作するしかないのか？ でもそういえば、行列の性質上仕方ないとはいえ、縦ベクトルか横ベクトルかで、回転行列を右から掛け算するのか左から掛け算するのかが変わってくるの？ 元の行列状のベクトル相手だったら、元来左右どっちから掛け算するもんなんだろう？？ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ と思ったのもつかの間、実装してみるとうまく回転しないのである。y軸回転以外。 これじゃあただのベクトルの回転行列じゃないか！！！ 何かの情報が足りない・・・。 そう思って、昨日の愚痴ブログで情報を整理していた。 パウリ行列とクォータニオンの関係は得られている ロドリゲスと行列の指数関数の関係も得ている。 じゃあ欠けているのは、 パウリ・クォータニオン と ロドリゲス・行列指数関数 の関係性だ。 そこで、クォータニオンによる任意軸回転の式をもう一度眺めてみた。 Q=xI+yJ+zKと定義し 3つの虚数単位I、J、Kの間には I^2=J^2=K^2=-1 IJ=-JI=K、JK=-KJ=I、KI=-IK=J の関係があることを前提に 長さが1でnx、ny、nzの成分を持つ回転軸周りをΘだけ回転させるためには C=cos(Θ/2)+(nxI+nyJ+nzK)sin(Θ/2) をQの左から Cの複素共役C*=cos(Θ/2)-(nxI+nyJ+nzK)sin(Θ/2) をQの右から掛け算してやればいい。 昨日の寝る前にようやく気が付いた。 これ これじゃねーかあああああ！！！！ (あ、Θを半分にし忘れてる) ずっと目の前にいらっしゃったのに全然気づかなくてﾜﾛｽｗｗｗｗ まあそういうわけで、前回のブログの最初に掲載した 今度のはめでたく実装もうまくいきました＾＾ 「両側からサンドイッチ」の理由をそんなんで納得していいのかって感じがしなくもない  にほんブログ村
意外と早く復活できました＾＾ｂ
行列指数関数の交換(分配？)法則が一般に成立しないっていうのをパウリ行列を例に説明しようとすると、たぶんこうなる。 これが一般に成立するとは限らない。 パウリ行列を3つの虚数単位に相当させると、クォータニオンの代わりになるんだけど 座標の代わりに回転角を用いてやった行列指数関数ってのは、どうも回転行列になるらしい。 ただし、パウリ行列を用いることで、無理やり（？）3次元の自由度を実現している感じになる。 x2=yの値だけが純虚数に相当するようで、x1=xとx3=zは普通のベクトルに似ている。 (ただし、回転行列を作用させるのはベクトルではなく行列であり、行列のベクトル的な振る舞いの整合性を保つために、エルミート行列または歪エルミート行列でなければならないという自由度の制約がある) それぞれのパウリ行列を指数関数に入れると、 上のような3種類の回転行列となるが Πで結びつけた場合とΣで結びつけた場合とで、回転の様子が違ってくるということらしい。 Πで結びつけた場合は、まずx3=z軸での回転を行い、次にx2=y軸での回転、そして最後にx1=x軸での回転3つを行うイメージである。 ただし、時系列の順番ではなく、あくまで回転行列を作用させる順番であることに注意。 ラジオ体操第一でいうところの、最初の手の動きと最後の手の動きの違いといったところだろうか。 (わかりやすく3次元の回転行列を用いた式でいうと、 のθ1を動かしてからθ2を動かすか、θ1とθ2を同時に動かすかの違いである) ところが、Σで結びつけた場合は、3軸の回転角に重みをつけて、任意軸周りの唯1つの回転といった、いわばロドリゲスの回転公式みたいな感じになっているようだ。 添え字つきの小文字のθx,y,zはそれぞれの軸の角運動量ベクトル、Θは3軸θベクトルの絶対値 nx,y,zはnベクトルの長さを1とする回転の法線ベクトルである。 (こういうとき、非規格化(つまりユニタリになってない)ブラ・ケットが計算の煩雑化を防いで重宝するんだよなぁ) 一般にΠとΣがイコールとは限らないと言ったが、もちろん一致する場合も存在する。 たとえばx軸、y軸、z軸単体での回転の場合、ΠとΣは一致する。 nx=1、ny=nz=0→Π=Σ ny=1、nz=nx=0→Π=Σ nz=1、nx=ny=0→Π=Σ やっと青春の始まり この(ラジオ)会館をあげたい どこまでも伸びてゆく誇らしさ やっと青春の始まり この(ラジオ)会館が好きだよ  にほんブログ村
パウリ行列指数関数のカテゴリの内容、一旦消しました・・・
やっぱりうまくいかないことがわかりました。 渾身の一作だと思ったんだけどなぁー 実装してみるとちゃんと回転しなかったんですよorz exp(X)×exp(Y)=exp(X+Y) とは限らないってのを  こんな風に、パウリ行列とクォータニオンと、岡部のラジオ体操とロドリゲスの回転公式を使って可視化したかったんですけどねえー 残念だったなぁー ロドリゲスと行列指数関数はつながった。 クォータニオンとパウリ行列もつながった。 あとつながってないのは・・・クォータニオンとロドリゲス？ なんかこう、合体ロボがあったら全部合体させて終えたいじゃん せっかくデジタルなんだし、捨てパーツなしで行きたいんだよ クォータニオンによる任意軸回転が どうして半分の角度ずつ複素共役を持ってきて、両側からサンドイッチするのか 余分なコサイン実数(単位行列)がどう効いてくるのかわからん そもそもどうして、ロドリゲスの指数の肩はあの交代行列なんだろう？ 実は、交代行列や歪エルミート行列の指数関数がユニタリになるっていうのは最近知った （ような気がする。） 3×3行列の指数関数が3×3になるのは必然だし 実数のユニタリにするには、歪エルミートではだめで、交代行列にならざるを得ない でもなんだろう、まだ決め手に欠けるというか、 これをどうやったらクォータニオンに応用できるのかがつながらない
調子のいい時には一日一創とかできてたブログが、だんだんと記事１個書き上げるのに、どうしても１週間くらいかけなきゃいけない場合とか出てきて  にほんブログ村
スパイラルパルック出番なし！ そういえば気になってたんですよね。 どうしてライトをバルーンで包む必要があるのか。 虫よけ以外に、光がマイルドになる効果でもあるのなら あまり広がりにくいLED照明をこのバルーンで囲うことで もっと低コストなマイルドピッカリーをお届けできないものかなと 初めて、このバルーンの真下に居座るチャンスを得まして これがまた面白いんですよねー バルーンの形を維持するのに特に空気圧的な労力は必要としていなかったとか 軽油→ディーゼル→発電で光らせてたとか 台車の上に台車が乗ってるとか 申し訳程度かもしれないけどちゃんと交流電圧計が備わってるとか 申し訳程度に電力量計あるいは時計が備わってるとか なかなか面白いです  にほんブログ村
あ、わかった。姓名で分けるなら「CHAIR 椅子」じゃね？
ハッピーセットではピースが揃わなくて、すき家にもいかなきゃならないパターンじゃね？ トライドロンには３人の中の人が乗れるわけですね！ 名誉中の人(シート)、スーツアクター、ベルトさんの声優(ボーカーロード化) さぼさん
今日は厄日。というか、疲れてるなら無理せず家のなかでじっとしてろの日でした。
ろくなことがなかった。 気晴らしにいって余計萎えるとか、本末転倒じゃないか。 お巡りさんに謝罪と賠償と違反無効化を要求する。 うつ再発して死んだらお前らのせい。 僕だけ特例はフェアじゃないから、うつ患者全員に一般化すべき。 そうしたらお前らも恥ずかしい１日竄取り蔓延生活しないで精神安定、しかも、そんな人に恨まれるような仕事につかずにストレスフリーのニート生活だZE 社会の歯車なんて時代遅れなんだぜ 時代遅れは罪なんだぜ
どうも僕は、この「なくなくない」で混乱するらしい。
戦闘力足りてない？ 戦闘力足りてなくない？ まではすんなり頭に入るんだけども 戦闘力足りてなくなくない？ 以降だと混乱するらしい。 というのも、何回否定が入ったのかわからなくなるらしいからで もちろん、偶数なのか奇数なのかもよくわからなくなる。 ？があるかどうかで変わってくるのも重要だね。 僕の癖の1つを銀河戦艦の夜風にたとえると 「オニオンをなぞるほうじゃなく、 夏の大△に4つ目のアレガを足し算するタイプ」らしい。 無意識中に繰り返し処理の回数を数える癖があるようだ。 たとえば踏切で貨物列車と待ち合わせしている際に 途中から途中までなので、何両かははっきりはわからないものの 「最低何両は通った」ということは無意識に数えていることが少なくない。 戦闘力足りてなくなくない も同様なのだが 「戦闘力足りてなくない」の「なく」のあたりでリズムの調子が狂うらしく 否定が偶数回なのか奇数回なのか、ごちゃごちゃになるところを 「戦闘力足りてなくない」ではかろうじてSAN値を保っていられる状態のようだ。 マリオシーケンサの宇宙で、ビッグバンから始まると思ったのに 実はそのちょっと前のインフレーション＜でっていう＞から曲が始まっていた、みたいな。 まあ、奇数が偶数個あるのか、奇数個あるのかは、原始的だが重要な誤り補正のポイントだと思う。 本棚にロボットが数体入っていたとして、棚全体で何体いるのかといわれると 偶数個入っている棚は省略できる。 そして、奇数個入っている棚の、ロボットではなく棚の数を数え 奇数が奇数個であればロボットは全部で奇数体 奇数が偶数個であればロボットは全部で偶数体 ということがすぐにわかる。 それと、やはり我々は十進数人間なので 十進数での最下位の桁がいくつなのかという情報も、誤り補正ポイントとしては重宝する。 棚が12個くらいあって 棚ごとに5～10体ぐらいずつロボットがいらっしゃるのであれば 最下位の桁だけを足し算して、いらっしゃるはずのロボットの個数の下一桁だけと照らし合わせる、なんてこともよくする行動だと思う。 もちろん繰上りなんて無視だ。無視しなければ簡易の意味がない。 12体のロボットの戦闘力(整数)を棚卸するときも同様に重宝する。 12人のネクストが飲み込んだベプシのかさを棚卸してもいい まあ、偶数進数だと楽だよね。 3進数とか奇数だったら、もしかしたら1の複素3乗根を呼んでこなきゃいけなくなるかもしれんし どうするよ我々のご先祖様の右手の指が2本で、左手の指が1本ってそういう種族だったら でもあれだな 足の指が右足何本、左足何本にしても、手足3つか4つか組み合わせ自由だったら 指の数の合計は必ず偶数にできるんだよな(鳩ノ巣原理)
パラレル脳内会議「でもドマンジャーズも結構気に入ってるんだよなぁ」 動画工房「末確認戦隊！？すごいよ！私たちニチアサにも出れちゃうよ！」 UFOtable「私たちもぜひ出させてください。敵役でもいいので」 動画工房「じゃあYOU、アパートとか変形しちゃいなYO！」 UFOtable「千人乗っても大丈夫なアパートって・・・マクロ物置しか思いつかないんですが」 動画工房「マクロで真っ黒！？ﾌﾞﾌｯ・・・！リーディングシュタイナーだったらしいよｱﾊﾊﾊ」 UFOtable「そぉん！」 動画工房「はっ！でこぽん！」 東京レトロ「変身＜トランスフォーム＞！」  にほんブログ村
昨日の続きです。
クリックで拡大します。 ハミルトニアンとブラ・ケットベクトルに具体的な値を入れて計算表現してみました。 XP時代だったら、いいアドインがあったんですけどね、サポートが切れちゃったみたいでして 今のアドインだと、行列と複素数の個別の演算はできるのに、行列の中に複素数を入れられないんですよね。 複素数を扱うアドインは、MSが公式で出してるみたいで、エンジニアリング関連の関数群のアドインを入れればいいみたいです。 入れると言っても外部にあるわけではないようで、もともと入っている関数群を使えるようにチェックを入れるだけみたいです。 ユーザー定義関数を作ればいいんでしょうが、僕にはあまり自信がありません。 主に、VBでの繰り返し処理とか配列関数とかの領域が自信ないので、せめて2行2列ならVBなしでもなんとかなるんじゃないかと思って、サンプルとしてあげてみました。 使用した関数 ・ATAN2 ・sin ・cos ・rand 以下エンジニアリング関数群(の複素数ジャンル) ・complex ・imreal ・imaginary ・imsum ・imsub ・improduct 行列の積のために、複合参照を用いたので、その辺をいじったり流用したりしたい場合は、参照先の調整にご注意ください。 サンプルエクセルファイルのDLはこちらからです。 ハミルトニアンの数値に、-1から1までの一様疑似乱数を入れているので、 適当な空白セルを選択しながらデリートボタンを連打するといろんな値をとってくれます。  にほんブログ村
オリザノールさんが鏡文字にならない順番に、ブラ・ケット。 モナピーが起きている状態を|1>、寝ている状態を|2>と番号をつけておく。 この|1>とか|2>とかいう状態は、あくまで実験装置も含んだ観測者の都合に依存するので、量子サイズのモナピーにとっては固有状態であるとは限らない。 固有状態ならば、○んちょうを素直に測らせてくれるのだけど、 固有状態ではない場合、モナピーは暴れる。 起きているときの○んちょうをε1、寝ているときの○んちょうをε2とし、 ε1>ε2、また、起き上がるときと萎えるときの遷移確率を、それぞれ複素数のγとγ*(肛門マークは複素共役)として、○んちょうの物理量演算子であるHと、状態ブラ・ケットベクトルの中の人をそれぞれ とすると(1つ目が起きてるスイッチon、2つ目が萎えてるスイッチonと考えればよい) ちなみに、ブラをケットに変えるには転置をしてから複素共役を取ればよい。 状態乳ベクトル・物理量の演算子行列・状態尻ベクトルの順に掛け算したものが、 観測される期待値なので <1|H|1>= <2|H|2>= <1|H|2>= <2|H|1>= という風に計算できる。 この○んちょうがタマタマ固有状態だったら、○んちょうはE+とE-で、遷移しないのでγ=0であり、Hは以下のように対角化できるわけだが、 今、この実験系の状態を固有状態の線形結合で表すことができないだろうかと考えると、 都合のいいことに、固有方程式という数学的道具を用いて、固有状態同士の線形結合で書くことができるのだー！ ↑これが固有方程式である。 この固有方程式が成り立つ|E>の中の人αさんとβさんを定めるのである。 つまりは連立方程式が永年方程式になる条件を見つけるのである。 この、|E>というのが固有状態の尻ベクトルである。 尻ベクトルの転置をしてさらに複素共役を取った、つまりエルミート共役を取ったものが、乳ベクトルである。 また、状態ベクトルは、２状態なら２つ、３状態なら３つの状態の、絶対値の２乗の和が１でなければならない(必ず配列内のどこか存在するの意)ので、必ずユニタリ行列となるのだが、ユニタリの便利な性質として、エルミート共役がそのまんま逆行列なのである。 この場合はα^2+β^2=1 あと、Eとかいうスカラー量は固有値であり、Hのような、エルミート行列の固有値は、かならず実数となる。 この場合、物理量は、モナピーのブレない○んちょうである。 重解でもなければ、n×n行列の固有値は一般にn個あるし、ケッツは縦にn個並んでいるセットをnセット横に並べるので、n行n列の正方行列となるし、ブラもn×n正方行列となる。そしてユニタリである。 具体的に解いてみよう。 こいつが永年方程式であればええねんから H-E単位行列の逆行列が存在しない、つまり、H-E単位行列の行列式が0になればええねん。 ほーら、エルミート行列の固有値だから、みんな実数になるじゃろぉ～？ ここで、Hをパウリ行列に分解することを考えてみる。 パウリ行列は3次元の単位ベクトルのような役割を担うこともできるので、 図のように3次元中の極座標による偏角φとθを、|γ|=|q|sinθ、(ε1-ε2)/2=|q|cosθと定義すると と、まとまる。 また、固有値E±は、E±=q0±|q|であるともいえる。 ここで、固有値方程式に戻って、2つのαさんとβさんを求めてみよう。 αとβの式は、永年方程式になっちゃったので、両方解くのは意味がない。どちらか片方だけで十分だ。 (q0I+|q|cosθ)α+|q|exp(-iψ)sinθ・β=q0I±|q|α |q|(-cosθ±1)α=|q|exp(-iψ)sinθ・β (-cosθ±1)α=exp(-iψ)sinθ・β 半角の公式 をフルに使って 尻ベクトル これがユニタリであることを確認するためには、行列式の絶対値|||E>||=1を確認すればいい。 また、乳ベクトルは尻の逆行列でありながらエルミート共役でもある |E+>=cos(θ/2)|1>+exp(-iψ)sin(θ/2)|2> などといった風に、勝手な実験系の2状態の線形結合で、固有状態を表すこともできてしまうし、その逆も可能。 ためしに<E||E>が単位行列になるかどうか確かめてみるといいよ！ ついでに対角化も確認してくれるとおじさんうれしいなー ＝＝＝＝＝＝＝＝ 気になるのは、半角の公式がこうも都合よくフル活用される点です。うまくいきすぎているような・・・ そこで以前からちょっと考えているのが、クォータニオンによる任意軸回転の計算 回転させたいオブジェクトHに対して、回転角θの半分の角度だけ回転させるクォータニオン|E>とその複素共役<E|を <e|h|e>とサンドイッチして掛け算するのに何か対応しないか？というものなのですが まあ共役とサンドイッチするのは対角化で散々見かけるので偶然だとしても 回転角度の半分相当ってのがどうも引っかかるんですよね。 ただ、今回のやつの妙なところは、ゼロ番目のパウリ行列、通称「単位行列」と1～3番目のパウリ行列との間にiの分だけ差別がない点です。 これだと、クォータニオンとしてはちょっと歪んだ形になってしまう でも、元来クォータニオンによる回転は0番目の功(単位行列が担う実数部分)はほとんど見てないんですよね。 実際、この式でもq0は打ち消されましたし。 ちょっと歪んでても成立しちゃうのかなぁとか思ったり。 にほんブログ村
僕の場合、そうやってどんどん自分の書くブログのハードルを高くしてしまっている気がする
ブログなんだから、気軽に数式を書いていけばいいのに、だ。 まあでも、なるべくごみを撒き散らかさないように注意はしたいなぁ 絶対にごみは出さないとかいうアホなことは言わない。 期待すんなよ！いいな、期待はすんなよ！ はぁ～夏バテか～ もう何もかもめんどくさいとか言ってたのは夏バテだったのか～ そうか～恋とか愛とかみたいな、一時の気の迷いか～ ならよかった
寝不足で不調だからかな？  にほんブログ村
プロフェッサー一穂さんは実は怒ると怖い。 ブリュンヒルデの小五郎さん並みに怖いが、興味の対象以外はどうでもいいので Hさせてってお願いすると、案外快諾してくれると思う。 MAD菜園テイストであり、果物の計算のことしか頭にない。 ゲームもほとんどやったことがなく、デジタルに限らずトランプも十分弱い。 普段家で何をしているかといえば、全員分のテスト作成をおかずに、果物が変形するおもちゃの計算をひたすら行っている。 果物と計算のことになればどんなゲスなことでもする。テストと称した人体実験を学生たちに煽りながら行わせることもあるし、 素材のよさを存分に生かした料理は、人間の食べ物なのかペットの食べ物なのか疑わしいレベルと定評がある。 ワープしてきた宇宙人の遺伝物質を果物にBLさせて遠心分離器にかけたことがある。 なお、妹も天才児。姉としては割りと人格者である。  にほんブログ村
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プロフィール
ＨＮ：
量子きのこ
年齢：
43
ＨＰ：
性別：
男性
誕生日：
1981/04/04
職業：
WinDOS.N臣T
趣味：
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介：
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます 例：H→7番目、XP→15(P)×26＋23(X)=413番目。 A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいｽﾞｺｰ
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