中身が複素数のタンジェントも複素数

使うかどうかわからなくなりましたが、せっかく計算したので載せます

iを虚数単位、A,Bを実数として
tan(A+iB)は加法定理からこうなります。



また、中身が純虚数の三角関数は双曲線関数に置き換えることができ

このようになります。

そうすると元の式は以下のように変形出来、有理化して展開すると

こうなりますが、三角関数の性質(ピタゴラス)から、大部分が省略可能です。
また、三角関数同様、双曲線関数にもピタゴラスのような性質があり

結局ここまで簡略化できます。



ところで、sin(A+iB)とcos(A+iB)の間にはピタゴラスが成り立つのか確かめてみますと

このように、複素数の「絶対値の」2乗同士を足すまでもなく、sinとcosの2乗同士の和は
中身が複素数でも1になることがわかります。


なんだか特殊ユニタリな雰囲気でほほえましいですなあ

奇数/2型奇数芒星の中にある正奇数角形の外接円

奇数/2型奇数芒星の中にある正奇数角形の外接円の半径rは、
nを奇数とすると

r=cos(360°/n)/cos(180°/n)

奇数/2型n芒星の面積をsinc関数で出そうとすると、
このrの円に内接する正nかっけーの面積だけダブって計算される。

これを修正することでおそらく、n/(n-2)型n芒星の、sincで出した面積(の絶対値？)と一致する
と思う



例：n=5の五芒星
正5/2かっけーの中にある正五角形に外接する円の半径はr=cos(72°)/cos(36°)

正7/2かっけーの中にある正７角形に外接する円の半径はr=cos(360°/7)/cos(180°/7)

正9/2かっけーの中にある正９角形に外接する円の半径はr=cos(40°)/cos(20°)

それぞれ、5/3かっけーと7/5かっけーと、9/7かっけーの、sincで出した面積(たぶんマイナスだから絶対値)と一致する
んじゃないかと思う

sincの中身が2/5や2/7や2/9のときは中身が1(あるいは1/2)を下回っているのでプラスだけど大きめに出るし
sincの中身が3/5や5/7や7/9のときは中身が1(あるいは1/2)を上回っているので、絶対値は正味かもしれないけどマイナスになると思う






マクロス☆（５わるさんかっけー）

正整数角形の面積と外周への拡張

奇数角形のときにもsinc関数に当てはまることが無事証明できました＾＾
三角形を例にすれば手っ取り早いです

ついでに外周も求めてみました。整数対応です＾＾

半径1の円に内接する正n角形(nは整数)の面積Sは、S=(n/2)*sin(π/(n/2))、
同じく外周Lは、L=2nsin(π/n)

です。＼＾o＾／どちらもsinc関数ですね！

ちゃんと、n→∞の極限で、S=π、L=2πに収束することを確認できましたｂ


この2つのsinc関数の関係は、横が半分(外周→面積)になったら縦も半分(2π→π)になる、δ関数とは性質が違いますね！
1かっけーの外周は、sincの暗黒面(負の数領域)をまたぎませんしね。

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追記：うぉぉおおおおお！分数角形って星型のことだったのかあああ！！！
3分の10角形なんてのもあるらしい。
分母はなんでもいいのかな？
だとしたら有理数角形までは拡張できることになりますね

正多角形の面積とsinc関数

昨日の日記では、半径1の円に内接する正2n角形の面積はn*sin(π/n)といいましたね。
あれは嘘だ！

このnが無限大の極限で、正多角形は円になるので
面積はπに漸近していくはずです。


ところで、n=1/xと置き換えることで

sin(πx)/xという、sinc関数のようなものになります。

いや、これは紛れもなくsinc関数なんです。
πx=Xに置き換えれば
sin(πx)/(πx)=sin(X)/Xだから、ただの変数xのスケール変換だったんですよ

だったら、sin(πx)/x=πsin(X)/X=πsinc(X)になって、X=0の極限でπになるのは、当たり前だったんですよ

それなのに、wiki見るまで全然気づかなくて
積を和に変換する定理を使おうにもπとかいう超越数倍ってどうすんねんとか
ロピタルの定理に頼ってしまうとかこの体たらく＞＜

やー昨日は本当にガッカリしましたわぁ


気が向いたら、nが奇数の正n角形の面積にも手を出したいなぁ
同じ理屈を偶数から整数に拡張できるかもしれないし

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半径1の円に内接する正2n角形の面積

2nsin(π/2/n)cos(π/2/n)=nsin(π/n)
だと思う。なんだこれsinc関数に似てるかな

ラピュタがある限り、悪が滅びたためしあり！

悪の指数の肩には純虚数が入ってネガティブフィードバック(安定化)する

正義の指数の肩には実数が入って、ポジティブフィードバック(発振)する



そして、近年顕著になっていることだが
悪というのは、熱力学的に流行らないことのみをいうのだ

昨日の仮説

訂正。4.5とかは９の「倍数」ではなく９「で割りきれる数」

それから、公差と桁数は、９で割ったあまりとかで有限のわっかにできると思う

つまり桁数も公差も、０～８の値をとる。たぶん


あ、そういえば今日の運転中、三菱ふそうのトラックを眺めていて思ったんだけど、
三角形のufoっていたよね。

今日の仮説

任意の公差の３桁の数を考える
ど真ん中が３の倍数の数は少なくとも９の倍数

例
２３４、５６７、８０１(公差１)
１３５、４６８、７９２
０３６


また、順番を入れ換えてもよい

間が３の倍数ではない数は、全体ではたぶん高々３の倍数
例
１２３、３４５
２４６、３５７
２５８

同様に、順序を入れ換えても変わらない


これが３の倍数桁ではなくなると、
中心に３の倍数がきたときに全体で３の倍数になるに留まり、
９の倍数が中心だと全体でも９倍数になる(１シフト下がる)
例
６７８９は中心が７.５なので３の倍数止まり
３４５６は中心が４.５なので少なくとも９の倍数

なお、これも順番は関係ないので
４５３６にしても９の倍数



３桁では(n-1)+n+(n+1)=3n 証明終わり

平成と、西暦の下二桁と、１２で割ったあまり

西暦の下二桁からゼロを引いた値と、平成の下二桁は同じ(１２を法とするモジュロ)


Mod(Mod(西暦、１００)、１２)=mod(平成、１２)

mod((n+1)(n-1),10)～環になって手をつないだ～

因数分解n^2-1=(n+1)(n-1)

たとえば17×15の下1桁の5は、16×16の6より1つ小さい

これは10で割ったあまりのモジュロ演算に対応するが
modする前としたあとで必ず一致しているのか。
まあ一致しているんだけど
たかだかnを10個試せばいいだけなんで、試してみよう

といってもn=2～8の7例では自明なので

n=9、0、1の3例でちゃんとつながってループしているのか確かめてみる。

mod(0×8,10)=0
mod(9×9,10)=1=mod(0+1,10)

mod(1×9,10)=9
mod(0×0,10)=0=mod(9+1,10)

mod(2×0,10)=0
mod(1×1,10)=1=mod(0+1,10)


mod(-1,10)=9
mod(-2,10)=8なので
n=-1、0、1といった負の数でやっても構わない



mod(0×(-2),10)=0
mod((-1)×(-1),10)=1=mod(0+1,10)

mod(1×(-1),10)=-1
mod(0×0,10)=0=mod(-1+1,10)

mod(2×0,10)=0
mod(1×1,10)=1=mod(0+1,10)


＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝





解析的な微分には汎用性はある
解析的な積分には汎用性が足りないが
微分方程式にはちょっとだけ汎用性が積分そのものより増えている気がしないでもない
Hバーを持つものこそが、最もiのあること、歴史からも読み取れる。
神は死んだ。お前だったのか。

 
エウロパ、」「ヨーロッパですか？（懇親のﾄﾞﾔｧ

有限体？余剰環？ごっちゃになるねん
 戦闘軍艦隊

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nを中心とした公差mの等差数列３項の和f

fをは必ず3の倍数なので3で割って、それをさらに3で割ったあまりは「nを3で割ったあまり」と等しい

f=(n-m)+n+(n+m)=3n

mod(f/3,3)=mod(n,3)
というか、f/3=nだから当たり前体操


例
1+2+3の2は3で割ったまありが2で、和の6を3で割った2をさらに3で割ったあまりも2
1+3+5の3は以下同様文



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エルミート行列とその複素共役との積は実対称行列

ははっ！



エルミート行列AをA=Re+i×Imとするだろぉー
Aの複素共役は転置行列と同じだからA*=Re-i×Imになって
abs(A)=A×A*=Re^2+Im^2　※絶対値absであって行列式detではない
Reは対称行列、Imは交代行列だからー
２乗はともに対称行列になるじゃんかー
対称行列同士の和も対称行列じゃんかー
証明終わり。



なんだろうね、エルミート行列の世界では実部にいるべき行列と虚部にいるべき行列が異なるのかな～？
スカラーだったらともに実数なのに～一体なんなんだろーねぇー



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また帰ってきやがった今日の定理～世界線を越えて～

車のナンバー、たとえば右が14で左が12だったら
掛け算すると168になって、
13×13=169より1つ小さい。


このことは個人的に、相加相乗平均よりも、(n+a)(n-a)=n^2-a^2の展開(因数分解)のほうが理解しやすいと思っているのだですけど
散歩してると生理的に5秒に1回とかの頻度でナンバー演算を行うので、掛け算するのが面倒くさくなるのです。


そこでふと思いついたのだですが
下1桁だけ計算してパリティ検算できないかと思ったわけです。


下1桁の取出しといえば、モジュロ演算で「10を法とする」ことと同じなので、合同式を用いて


(n+a)(n-a)≡n^2-a^2　(mod10)^{[ここ重要]}　nとaは整数

が言えるのではないかと思ったのです。

念のためにチェックしておきましょう。
モジュロ演算の強みは、証明するのに高々有限個で虱潰しができるところです。(後述)


興味深いのは、n+aとn-aの間柄が10をまたいでもこの性質が有効だということです。
たとえばn=8、a=4としますと
n+a=12　カイバー
n-a=4
n^2=64
a^2=16

なのですが、
それぞれの下1桁だけを見て
n+a=2
n-a=4
n^2=4
a^2=6

とやって

(n+a)(n-a)=12・4（=2・4=8）=48=（-2=4-6=）64-16=n^2-a^2　
※ただしmod10に限る

が成立するのです。



以下参考(証明表)：クリックすると拡大します




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既知との遭遇

 
昨日の定理を拡張しようとしていて
まあハイパボリックに拡張したのはいいんですけど
1+1=2をn+1にしてたら、いっそのことn+mにしようってなって、
やったあとにやっと我々に帰りまして
これ和と積の公式そのまんまじゃないですか・・・


ゲンスリしました
なんで1+1=2の段階で似てると一瞬足りとも思わなかったんだろうって。はぁ・・・


じょうじ

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変な定理できたったｗｗｗ

 
直交関数考えてたら、どうあがいてもcosに収束するのでつい

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