MOC：今日の定理で明日につなぐ

風邪なんでね。気味じゃなくてモロに風邪なんでね。今日の定理くらいしか書く余裕ありま温泉。


二項定理を導出するくらいなら11のべき乗の筆算を改造したほうがたぶん早い。
ちなみに3項定理なら111のべき乗を改造すればなんとかなると思う。
4項(ｃｈｒｙ)1111以下同様



3項定理以上の係数は組み合わせのnCmじゃできないかもしれない。
むしろ組み合わせのnCmを思い出すダシに11のべき乗を使うといいかもしんない
そしてオイラーの定理→加法定理(倍角の定理)の導出で確かめるんだ。


なんかわれながら、順番とか色々ムチャクチャだな



けいさん！

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IOC：931PのSS(子臭い五輪ピック委員でない会)

「おお、お前ンとこのケータイ、全部3のべき乗だな！」

　「おうよ、3の2乗、1乗、0乗だぜ！しかも全部1桁！！」

「ん？0は？」

　「え、ゼロ･･･？3の-∞乗！？それは考えてなかった。いやちょっと待て。じゃあ-1乗から-2乗に始まってゼロに至るすべてのマイナス乗を含むのか！？」

「うーん･･･あ！ゼロは1桁じゃねえ。ゼロはゼロ桁だょ。ｂ」

　「あ、そっか～。よかった～＾＾」

「そこは気づいておけよ～まったく＾＾じゃあお前罰金な。」

　「え、俺が罰金！？俺から罰金！？」

「うん。バッキンガム・トゥ・ザ・デイト。じゃあそうだなぁ、10の100乗円の罰金」

　「したら、1円玉2枚と、10円玉1枚と、0円玉を3枚･･･でよかったか？」

「あ、間違えた、i(虚数単位)倍すんの忘れてた＾＾；」

　「ええー。じゃあ手数料i10%かけていいか？」

「え、手数料マイナス10の99乗円！？俺が返すの！？お前に返すの！？」

　「99乗円均一ですから＾＾」

「何の99乗円なのよ？」

　「自然対数の底･･･かな」

「常用対数じゃないの！？ってか自然対数の底ってなんだっけ？」

　「なんだそんなことも忘れたのか？自然対数の底は自然対数、の底だよ。」

「ん？そういえば自然対数もド忘れした。なんだっけ？」

　「そりゃお前、自然対数は自然対数の底を底にした自然対数だよ」

「は？」



うん。まあ最初から「は？」かもしれないけどそこはアレ
とりあえずクリックするがヨロシ↓

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ZNC：とりあえず今日の定理でノルマ確保しておく

昨夜絶不調だったからとりあえずな。


いくつ飛ばしの並んだ数でも、3の倍数を真ん中にして3つそろえば9の倍数


例
0つ飛ばし：234、567、8910翻って801ちゃん
1つ飛ばし：135、468(は234の2倍)、7911翻って702→072
2つ飛ばし：036、369、6912(当たり前や)
3つ飛ばし：2610、5913、81216
などなど




鍋頭3:30

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WNC：100進数だったら81の倍数が3や9の倍数みたいにならないか？

3や9で割ったあまりってさ、数字の順番変えても変わんないじゃんか

たとえば123を321とか132とかにしても9で割って6余るとか、3の倍数だとかいうのは変わんないわけ。

でもそういう性質を持つ3のべき乗って3と3の2乗の9だけなんだよ。

これって、3とか9が1桁だからじゃね？って思ってたんだけど

前にそれ相談したら「いやそれは別問題でしょ」っていわれてな、10年間ずっと気になってたんよ

なんとか証明できないかとか思いながらも、手のつけようもなさそうだよなぁとか思ってたんだけどね

じゃあ10進数じゃなくて100進数にすれば解けるんじゃね？ってこないだ思いついたわけ。
100進数中だったら27と81も1桁になるじゃんか！


ぶっちゃけ、2009/01/02の日記でな、の10を100に変えればいいだけなんだよたぶん。


それで思ったんだけど、なんら変わらんわ。
3^3=27とか3^4=81の倍数かどうかなんて進数によらねえだろｊｋ
倍数かどうかじゃなくて割り切れるかどうかなら進数による場合もあるけどさ。

しかも、この1月2日の証明が進数によって揺らぐとかそういうこともないはずだし


あーこりゃ、27や81の倍数が「どう並び替えても」とはならんな、残念。
ただ、その証明ができたことは大きな前進だったわ。
これでまたひとつ、止まった時計が動き出したぞ！



20log√10　そういやヴァンガードのマークってルートのrじゃん！vじゃねえ！＞＜


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MNC：15時30分と5時31分がMOD3で合同だと思うか？

冗談、そんなわけないでしょ、60進的に考えて。
うん。それはないわ。＾＾


20log√10

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GNC：なんかおかしいよね

複数の複数は複素数の複数だけどそうじゃない

素数の素数は複素数の素数だけどそうじゃない

じゃあ素数の複素数バージョンは？ガウス素数であってガロア素数ではない


そういえばついさっきまでガウスとガロアがごっちゃになってた。



20log√10=10＞はかせ

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TMC：今日の、定理。SP

日本のAMラジオの周波数をどう並び替えても9の倍数

例：639、369、963、1440、4140、4410、1467、1674、7641kHzなど


ところで、
3の倍数の見分け方はある数が3の倍数であるとき、各桁の和も3の倍数(3を9に置き換えても同様)
例：7641→7+6+4+1=18が3(あるいは9)の倍数なので、7641も3(あるいは9)の倍数

とか
11の倍数の見分け方はある数が11の倍数であるとき、偶数桁の合計と奇数桁の合計の差も11の倍数
例1：143→1+3-4=0が11の倍数なので、143も11の倍数
例2：704→7+4=11が11の倍数なので143も11の倍数

とか
他にも101や1001の倍数の見分け方なんてのも色々あるんだが

例：446000555→3桁ごとに区切って交互に足したり引いたりし、446-000+555=1001が1001の倍数なので446000555も1001の倍数




別系統で7の倍数と13の倍数の見分け方っていうのも存在する。

7の倍数：下1桁を2倍して下1桁以外から引いて7の倍数になれば、元の数も7の倍数
例：
21→1を2倍して2を引けば0なので7の倍数
119→9を2倍して11を引けば7なので119も7の倍数

13の倍数：下1桁を4倍して下1桁以外に足して13の倍数になれば、元の数も13の倍数
例：
39→9を4倍して3を足せば39なので13の倍数(再帰構造ｗ)
221→1を4倍して22に足せば26なので221も13の倍数



実はコレ、別に素数の倍数限定ってことでもなく
その上2や5のべき乗や3、9、11、101、などあらゆる数で使用可能だったりする。

そのためには何の倍数を見分けたいかによって
何倍して引くとか足すとかそういうルールを変えればよい。
係数を決定するわけだ。

一般化してみると
ある数の下1桁をx、それ以外をyとする
そうするとある数自体は10y+x
と表現される。
これがnの倍数であるとき、任意の整数kを用いて
10y+x=k1n　①
が成り立つ。

一方、見分け方の法則は以下のように一般化される。
a・y+b・x=k2・n　②

a、b、x、y、k、nすべて整数だ。

こうして、①と②の連立方程式を解くと
①を変形したx=k1・n-10yを②にぶち込んだ

a・y+b(k2・n-10y)=k2・n

をnを含むかどうかで分類すると

a・y+b・k2・n-10b・y=k2・n

(a-10b)y=n(k2-bk2)

が成り立つので、ためしに25の倍数で試してみよう。
n=25とすると、(a-10b)が25の倍数になればいいので
一番手っ取り早いのはa-10yが25になればいい
b=-2、a=5が手っ取り早いだろう。

そうすると

25の倍数：下1桁を2倍して下1桁以外を5倍したのから引いて25の倍数になれば、元の数も25の倍数
例：75→5の2倍の10を7の5倍の35から引いた25が25の倍数なので75は25の倍数。

こんな風に何でも作れちゃうんだ。
けど、25の倍数の場合、
75の下1桁が0か5だったら5の倍数は確定なのでいったん5で割った結果を計算し
15が出てくるからこの下1桁も5なので25の倍数確定
とやったほうが断然早い。

つまり、できるけどあんまり流行らないんだね(笑)



たぶん、これの下2桁や下3桁分離バージョンも可能だと思う。




ちなみに、1001というのは偶数桁と奇数桁どちらも1なので11の倍数でもある。
ためしに1001を11で割ると、91になる。
91は実は素数ではなく13×7だったりする。
1を2倍して9から引くと7になるし、1を4倍して9に足すと13になるからやってみよう。

ということは、さっき出した1001の倍数の例、446000555は11と7と13全部の倍数であるので、まあそれぞれの法則が成立しちゃうんだよ。



446000555なんて大きい数が7の倍数かどうかを確かめるためには、
下1桁の5を2倍してそれ以外の44600055から引いた44600045にして、これが7の倍数かどうかを確かめるわけだから、44600045の下1桁の5を2倍してそれ以外の4460004から引いた4459994が7の倍数か確かめればいいわけだから以下同様で芋づる式にｒｙ


まあ暇な人は確かめてみてｗね、効率悪いでしょｗｗｗｗ

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RMC：今日の、定理。プラス～あまり行われない身近な演算～

四則演算には足し算、引き算、掛け算、割り算のほかに実は
5番目の演算「あまり算」というものがある。


余り計算は割り算のついでのように思われがちだが、れっきとした演算でもある。
たとえば、5を3で割ると0あまり2になるが、この2を直接計算するのが余り算だ。
たとえばこんな風に記述する。

・5≡2(mod3)
・mod(5,3)=2
など。

しかし、あまり算は4則演算の5番目の演算と呼ぶにはあまりにも異質すぎる。

＝＝＝＝＝＝＝
まず足し算や掛け算のように交換法則が効かない。

足し算だったら5+3も3+5も8だし
掛け算だったら5×3も3×5も15だが

mod(5,3)は2なのに対し、mod(3,5)は3である。(3を5で割ったら0あまり3)


＝＝＝＝＝＝＝
また、引き算や割り算のように、マイナスの数を使って足し算にしたり、逆数を使って掛け算にしたりすることもできない。

引き算だったら5-3は5+(-3)とすることで2が得られるし
割り算だったら5÷3は5×(1/3)とすることで5/3≒1.6666･･･が得られるが

mod(5,3)にはソレに相当するものがない。(逆元を求められない)

どういうことかというと、

引き算だったら○-3=2の○を計算したかったら2に3を足して5を求められるし
割り算だったら○÷3=5/3の○を計算したかったら5/3に3をかけて5を求められる

が、mod(○,3)=2になるの○は1つとは限らない。
5だけでなく、2も8も11も･･･と無数に存在するからだ。
余談：これは、周期関数の逆関数、アークサインやアークタンジェントや複素数の累乗根などにも言える事である


つまり、余り算というのは演算の際に情報を欠落させてしまうのである。



＝＝＝＝＝＝＝
また、余り計算の世界の中でも、四則演算が成立してしまうという変わった性質もある。

たとえば足し算5+8をやったとしよう。12だ。
これの5と7と12をそれぞれ3で割ってあまりを求めると、2と1と0だ。
2+1=3だが、3を3で割ったあまりは0
つまり、余り計算をする前とした後の四則演算の結果が一致しているのである。


他の演算についても同様のことが言える。

＝＝＝＝＝＝＝
掛け算をやってみよう。

5×7=35
5÷3=1あまり2　①
7÷3=2あまり1　②
35÷3=11あまり2　③
この①×②が、2×1=2でちゃんと③になっている。


＝＝＝＝＝＝＝
引き算もやってみよう

11-7=4
11÷3=3あまり2　①
7÷3=2あまり1　②
4÷3=1あまり1　③
①-②=③：2-1=1

余談：実は、余りを求める前や後の計算結果がマイナスになってしまうこともあるが、それでも一致するようにできていたりする。


7-11=-4
7÷3=2あまり1　①
11÷3=3あまり2　②
①-②：1-2=-1=2
-1÷3=-1あまり2
-4÷3=-2あまり2

マイナスの数を割ったときのあまりは特殊で
四則演算のようにプラスとマイナスがかがみ合わせにならない。
マイナスの数もプラスの数の延長のようにみなすため、
マイナス1を3で割ると0「足りない1」というよりも「-1あまり2」と表現するわけだ。
(-1)×3+2がしっかりと-1になるし
(-2)×3+2もしっかりと-4になる

「足りない」を「あまり」に統一している。



＝＝＝＝＝＝＝
割り算もやってみよう

20÷5=4
20÷3=6あまり2　①
5÷3=1あまり2　②
4÷3=1あまり1　③
①÷②=③：2/2=1


余談：実は、余りを求める前の計算結果が分数になってしまうときにもしっかりと答えが出せたりする。

7÷20=7/20
7÷3=2あまり1　①
20÷3=6あまり2　②
①÷②=1÷2=2
なぜ1÷2が2になるのかというと
3で割ったあまりの世界では0と1と2しか存在しないため
2を2倍した4を3で割ると1余り1になってしまう。
そのため、
○×2=1の計算は○×2=4と同じ意味となり
○を求めると2になるわけだ。





さらに、余りを求めた後の計算結果が0で割ることになると解が存在しない。

5÷3=5/3
5÷3=1あまり2　①
3÷3=1あまり0　②
①÷②：2÷0→計算不能





グッルグまっわーる、グッルグルまっわーる

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AMC：今日の、定理。

△進数の△が約数を多く持つと、○を□で割ったときに割り切れる可能性が広まる
○の約数が□であるということは、○が□の倍数であるということである
○が□の倍数かどうかは△進数の△に依存しないが
○が□の倍数でない場合、○が□で割り切れるかどうかは△進数の△に依存する。
冒頭に戻る。




例えばレイエヴァ：

60進数は2、3、4、5、6、10、12、15、20、30の10個の約数を持つので
10進数では3で割り切れなかった1時間などが20分といった風に割り切れる。

60の約数ということは、60が2と3と4と5と6と10と12と15と20と30の倍数であるということである

6が3の倍数で、7が3の倍数でないのは10進数であろうと60進数だろうと同じことだが

1時間を3で割ろうとして1が3の倍数でない場合、1時間が3で割り切れて20分などとなるかどうかは10進数か60進数かで違ってくる。

「例」に戻る。


割られる数○：60、6、7、1時間
割る数□：2、3、4、5、6、10、15、20、30
△進数：10、60




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OLC：今日の、定理。

3で割って1余る数を2つ並べて、それより3つだけ小さい数を1つ添えると、どう並び替えても9で割り切れる。

例：441、774、10107、11700、117


京都のMADサイエンティスト

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NLC：今日の、定理。

3で割って2余る数を2つ並べて、それより3つだけ大きい数を添えると、どう並び替えても9で割り切れる。

例：225、558、8811、171720、17172


京都のMADサイエンティスト

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GLC：今日の、定理。

123などのように連続した3桁の数が9の倍数であるためには

真ん中が3の倍数であればよい

なお、数桁をセットで1桁とみなしてもよい。

例：111213、203204205など




どうも、渡辺鐘です。

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UCK：今日の、定理。おいずぃ～

1～9の数を、3で割ったあまりで分類すると

0余る：3、6、9→丸っこい「O」系
1余る：1、4、7→ストレート棒「I」系
2余る：2、5、8→ジグザグ「Z」系

のように数字の印象が見事に分類されるのはそれだけこじつけやすいということか！？
エントロピー(自由度)を多量に含んでいるということか！？
まさか算用数字を開発した人らがモジュロ演算(あまりの演算)を意識して作ったとも思えないわけだが･･･


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AKC：キョーノ、テーリ～今日の定理～(アカシャ56)

0超、∞未満の正の実数のルートを取ると、必ず1に漸近する。


みたいな、小定理ブログを立ち上げてもいいかもしれないなと。


やっぱり今日日記1つ書いてるじゃん。すっかり忘れてるし。

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