量子力学「ろろろロドリゲスが出たぁぁぁぁ！！！」

中間報告です。

3状態系の角運動量の件

x方向成分の固有状態が


これになったんですが、

ロドリゲスの回転公式


ただしx^2+y^2+z^2=1として
M=E+Rsinθ+R^2(1-cosθ)
ただしEは単位行列

に当てはめると

θ=π
-x=z=±1/2
y=±1/√2(複合同順)

に相当することがわかりました。

y方向成分の固有状態

に関しては、実数のロドリゲスの回転公式ではおそらく歯が立たないことが分かったため
3次の特殊ユニタリ群su(3)の生成子の一部を借りて、改造の目途が立ちそうです。

おそらくは、改造版ロドリゲスの回転公式

これが相当しそうだと思います。あとで右ネジになるように調整する予定です


うーんこのy軸ののけもの感、すげえパウリ行列みあるわー



追記：
この改造した「R：expの中身」でも
実数ロドリゲスと同じ式

exp(R)=M=E+R*sinθ+R^2*(1-cosθ)

が成り立つことが確認できました。

R^3=-Rになるからです。

線形代数×けものフレンズ２

特殊直交かつ実対称な行列の固有値


アライ「フェネック！今日はこれの固有値を計算してみるのだ！」
 

フェネック「これはー？」

アライ「”りょうりしきがく”？に出てくる、5状態系の角運動量の固有状態なのだ！さっそくscilabにつっこんでっと・・・」

フェネック「アライさーん、急いじゃだめだってばー。この行列はなんだったかな？」

アライ「だから、固有状態なのだ！」

フェネック「固有状態ってことは、規格化されてるはずじゃないかー」

アライ「ってことは、これは直交行列なのか！？Aの転置A'からAを引いたA'-Aは・・・ふぇええええ！？ゼロ行列になったのだ！」

フェネック「アライさーん、またやってしまったねえ。それは対称行列の定義だよー」

アライ「そうなのだ！直交行列の性質は、逆行列を引いたこっちだったのだ！A'-int(A)」

フェネック「どうだったー？」

アライ「すごいのだ！こっちもゼロ行列になったのだ！！ってことは、直交行列かつ対称行列ということなのだ！」

フェネック「対称行列と直交行列は、数でいうところのどういう雰囲気だったかな？」

アライ「えっと・・・対称行列は実数で、直交行列は・・・オイラーの公式なのだ！」

フェネック「そうそう、実際、対称行列の固有値が全部実数で、直交行列の固有値は全員、複素平面の単位円周上にいるよねー。ってことはー？」

アライ「実対称行列か直交行列な行列の固有値は・・・実数かつ”絶対値が1”だから・・・、プラス1とマイナス1しかありえないのだ！やっぱりフェネックはすごいのだ！」



フェネック「アライさーん、この行列の行列式(固有値の積)を計算してみてよー」

アライ「任せるのだ！この文字をscilabにつけてっとdet(A)　1になったのだ！abs(det(A))じゃなくても1になったのだ！すごいのだ！実は特殊直交行列だったのか！？」

フェネック「そういうことになるねー。じゃあついでに、トレース(固有値の和)も計算してみてくれるー？」

アライ「簡単なのだ！対角要素の和だから、これも1なのだ！すごいのだ！いちざんまいなのだ！」

フェネック「ここから言えることは何かあるかな？」


？？？「待って！ここから導き出される結論は、全部お見通しよ！」

アライ「キリンさんなのだ！こんにちはなのだ。」

フェネック「こんにちはー」

キリン「こんにちはー。行列Aの固有値探しをしているのね。以上のことをまとめると

・Aは5次行列だから、固有値は5つある
・Aは対称行列だから、固有値は実数
・Aは直交行列でもあるから、固有値はプラス1かマイナス1で、5つ全部掛け算すると1になる
・Aのトレースは1だから、固有値を全部足すと1になる
・Aの行列式は1(特殊直交行列)

掛け算してプラス1になるということは、-1の固有値は偶数個
可能性としては1,-1,-1,-1,-1か1,1,1,1,1か、1,1,1,-1,-1がありえるけど
前者2つはトレース1にならないから却下。
つまり、固有値は、1,1,1,-1,-1ね！！！」

アライ「おいしいところをキリンに全部持っていかれたのだ～」

フェネック「アライさんなら手計算でいいとこ魅せられるよ～」

アライ「おおー！その手があったのだ！任せるのだ！

まず、Aの中身に4で割ってるのがあるから、Aを4倍して、λを固有値として、4λ倍した単位行列で引いて、行列式を求めるのだ。

 

2列目に2列目－4列目を代入して

 

それから、2行目に2行目－4行目を代入したら、掃き出し法が楽になるのだ

 

4次の行列に次数が1つ減るから、

1列目に1列目+4列目を代入して

 
今度は、3列目に3列目から、(-4λ)/(-4)倍した4列目を引くのだ



また掃き出し法がしやすくなったから、次数を1つ減らして3次の行列になったのだ。

ここで、同類項でくくって行列式の外に放り出して、計算をしやすくするのだ。

それから、3行目に、3行目-1行目を代入して、掃き出し法を行うのだ。

 
2次の行列式まできたら、もう迷わないのだ！無敵の布陣なのだ！ちゃんと3重解と重解を出してやったのだ！」


フェネック「おおー！λの係数、マイナス4の5乗-1024がちゃんと出てるよ～すごいよアライさん！」

アライ「アライさんは、不滅なのだーーーー！そしてキリンさんも、すごい推理力なのだ！」

キリン「えっへん！アライさんも、器用だねー」

アライ「ｳﾞｪｰﾊﾊﾊﾊ！！！これからはシン・アライ神と呼ぶがいいのだ！」

フェネック「アライさんがパークの危機になっちゃうのかー」

線形代数×けものフレンズ

特殊ユニタリかつエルミートな行列の固有値


アライ「フェネック！今日はこれの固有値を計算してみるのだ！」


フェネック「これはー？」

アライ「”りょうしりきがく”？に出てくる、5状態系の角運動量の固有状態なのだ！さっそくscilabにつっこんでっと・・・」

フェネック「アライさーん、急いじゃだめだってばー。この行列はなんだったかな？」

アライ「だから、固有状態なのだ！」

フェネック「固有状態ってことは、規格化されてるはずじゃないかー」

アライ「ってことは、これはユニタリなのか！？Aエルミート共役A'からAを引いたA'-Aは・・・ふぇええええ！？ゼロ行列になったのだ！」

フェネック「アライさーん、またやってしまったねえ。それはエルミート行列の定義だよー」

アライ「そうなのだ！ユニタリ行列の性質は、逆行列を引いたこっちだったのだ！A'-int(A)」

フェネック「どうだったー？」

アライ「すごいのだ！こっちもゼロ行列になったのだ！！ってことは、ユニタリかつエルミートということなのだ！」

フェネック「エルミートとユニタリは、数でいうところのどういう雰囲気だったかな？」

アライ「えっと・・・エルミートは実数で、ユニタリは・・・オイラーの公式なのだ！」

フェネック「そうそう、実際、エルミート行列の固有値が全部実数で、ユニタリ行列の固有値は全員、複素平面の単位円周上にいるよねー。ってことはー？」

アライ「エルミートかつユニタリな行列の固有値は・・・実数かつ”絶対値が1”だから・・・、プラス1とマイナス1しかありえないのだ！やっぱりフェネックはすごいのだ！」



フェネック「アライさーん、この行列の行列式(固有値の積)を計算してみてよー」

アライ「任せるのだ！この文字をscilabにつけてっとdet(A)　1になったのだ！abs(det(A))じゃなくても1になったのだ！すごいのだ！実は特殊ユニタリだったのか！？」

フェネック「そういうことになるねー。じゃあついでに、トレース(固有値の和)も計算してみてくれるー？」

アライ「簡単なのだ！対角要素の和だから、これも1なのだ！すごいのだ！いちざんまいなのだ！」

フェネック「ここから言えることは何かあるかな？」


？？？「待って！ここから導き出される結論は、全部お見通しよ！」

アライ「キリンさんなのだ！こんにちはなのだ。」

フェネック「こんにちはー」

キリン「こんにちはー。行列Aの固有値探しをしているのね。以上のことをまとめると

・Aは5次行列だから、固有値は5つある
・Aはエルミートだから、固有値は実数
・Aはユニタリでもあるから、固有値はプラス1かマイナス1で、5つ全部掛け算すると1になる
・Aのトレースは1だから、固有値を全部足すと1になる
・Aの行列式は1(特殊ユニタリ行列)
 
掛け算してプラス1になるということは、-1の固有値は偶数個
可能性としては1,-1,-1,-1,-1か1,1,1,1,1か、1,1,1,-1,-1がありえるけど
前者2つはトレース1にならないから却下。
つまり、固有値は、1,1,1,-1,-1ね！！！」

アライ「おいしいところをキリンに全部持っていかれたのだ～」

フェネック「アライさんなら手計算でいいとこ魅せられるよ～」

アライ「おおー！その手があったのだ！任せるのだ！

まず、Aの中身に4で割ってるのがあるから、Aを4倍して、λを固有値として、4λ倍した単位行列で引いて、行列式を求めるのだ。



2列目に2列目＋4列目を代入して



それから、2行目に2行目-4行目を代入したら、掃き出し法が楽になるのだ



4次の行列に次数が1つ減るから、

1列目に1列目+4列目を代入して

 
今度は、3列目に3列目に、(4λ)/(-i4)倍した4列目を足すのだ



また掃き出し法がしやすくなったから、次数を1つ減らして3次の行列になったのだ。

ここで、同類項でくくって行列式の外に放り出して、計算をしやすくするのだ。

それから、3行目に、3行目-1行目を代入して、掃き出し法を行うのだ。


2次の行列式まできたら、もう迷わないのだ！無敵の布陣なのだ！ちゃんと3重解と重解を出してやったのだ！」


フェネック「おおー！λの係数、マイナス4の5乗-1024がちゃんと出てるよ～すごいよアライさん！」

アライ「アライさんは、不滅なのだーーーー！そしてキリンさんも、すごい推理力なのだ！」

キリン「えっへん！アライさんも、器用だねー」

量子力学の固有状態とロドリゲスの公式

こいつはいったいなんなのか、ロドリゲス的に考えて。(3列とも裏返してdet=1にしてね！)
1/2と1/√2ってことは、やっぱ三角定規だよなぁ


そして、

こいつは上のとどう対をなすのか

リー群網羅の初等関数感？

もしかしたら、初等関数の網羅に似ているのかもしれない。

どうしてあれもこれも積分したら見たことのある形になるんだ！？ほかのパターンはないのか！？
とか
どうしてあれもこれもフーリエ級数で再現したらｒｙ
とか
どうしてあれもこれもテイラー展開したらｒｙ

実はみんな初等関数だからだったのです。

みたいな感じで

要は

だんだん慣れていけ

ってだけなのかもしれない

ケロック直和

水素原子の電子殻をLRLベクトルで表すと、4次元みが出てくるアレ

直和のところでつまずいている。

wikiを見ると物理・数学でいろんなニュアンスの直和があるっぽい。
全部同じものを指してる？直積との関係もさっぱりわからない


よくわからないので例題がほしい。
そんなわけで、大学図書館で放送大学「線形代数」の印刷教材を見つけた。

まず書店で見つけて、図書館にないかなーﾁﾗってやったんだ。
自宅から検索したんだけど、自分でも鬼畜な所業をしているかと思ったら、
借りれるということでそこまで鬼畜ではないことが証明された気がする。


とりあえず例題をいくつかやって、直和の概念を理解したい。

なんかカリキュラムが抜けて感じするんだよな。
実は九条カレンのいう正規直交基底っていうのもいまいちよく分かってない


それと、僕が見たLRLベクトルの話には
直和と書かれつつも直和の記号を用いずに単なる和の記号になってるのが意味わからないし
その下の行に足し算に対称になるように引き算の式も書かれてて

式の意味がますますわからない



放送大学の印刷教材で索引を見てみると
直和は本の中盤に出てくるのに対し
直積は最初の方に出てくる。まじで意味が分からない

二項定理と無限進数？

また時間がなくなったからサボる。


11のn乗がでかくなったらipアドレスみたいに
その上60進法的な感じで、なおかつ桁があふれないように

1.2.1
1.3.3.1
1.4.6.4.1
1.5.10.10.5.1
1.6.15.20.15.6.1
1.7.21.35.35.21.7.1
1.8.28.56.70.56.28.8.1
1.9.36.84.126.126.84.36.9.1
・
・
・
1.15.105.455.1365.3003.5005.6435.6435.5005.3003.1365.455.105.15.1


11の15乗だと、少なくとも6500進数(ざっぱ計算)くらいは必要になるのかな



2017/8/25+5:39追記
いや、この理屈はおかしい。
6500のn乗の重みが考慮されていない

水素原子殻の四次元回転

先日ツイッターを見てて驚いたんですが
まさか水素原子殻の量子力学で、とん挫していた「4次元『空間』の回転」のヒントを得られるとは思いませんでした。


やはり「回転」というのは「平面内の座標変換」の一種と定義されるもので
4次元の独立な回転軸は4C2=6本(四角形の2点を結ぶ線の数)あったようです。

どうやら、回転より上位互換の変換は存在しないっぽい？
たとえば4C2の2が3になって4C3=4個のパターンになる変換のことです。(四角形の中の線じゃなくて面。面の形は3角形？)


あったらすでに3次元空間で具現化されてますよね。3C3=1通りしかない変換のことですが
まさか任意軸回転のオイラー角？(クォータニオン・ロドリゲスの回転公式)がそれっていうわけじゃないでしょうね？どうなんだろう？




4C3=4ってのをかみ砕くと、四角形の中に三角形を作れるパターンは4通りってことになりますが
これは任意軸回転が最大2本必要ってのと食い違うから
やっぱり任意軸回転は「回転」を1次元あげた上位互換ではないってことかな？


なんかね、水素原子の電子殻のシュレディンガー方程式を解こうとすると
3つの角運動量Lのほかに、3つのMっていう角運動量に似た何かを付け加えると
4次元の特殊回転群SO(4)　(ただし行列の中身は実数に限る)
で表したほうが見通しがいいみたいなんですね。

Mっていうのは元々、クーロンポテンシャルの中を回転運動する電子をシュレディンガー方程式で解く場合の、演算子のようなものみたいです。ハミルトニアンHっぽいアレっす



なんかすごく久しぶりにやったんで
交換関係が従う法則ってどんなんあったっけ？とか悩んじゃいました。いや今も悩んでます

p×L－L×pって式が卑怯です＞＜
なんであと一歩のところで交換関係で記述できないんですか！＞＜
くそぅ！ベクトル積てめえのせいだー！

そのあとの式展開も謎なんですよねー
たった1行で変形しやがって！変形バンクを出せー！(CV：たかみねきよまろ)
もう1セクション戻ったらなんか書いてあるかなぁ

ケモガールとシャングリラ、楽しかったー

弾き語り用自作自演プログラマブルシーケンサExcelファイル

前に作ったのを改良すればあるいは・・・(まあブザー単音だけだけどもー！)


仕事で外歩いてるときに限って、こういう大きな（？）夢を抱いてしまうな
自分は今外にいて、具体的な作業ができないことをいいことに！


まあ、コードはね、かなり楽できるよね。
まずドロップダウンリストからドからシまでの12個の単音を選んで
基本となるコードを2,3ブロックかにわけてドロップダウンリストのセルを設けて
横一列揃ったらコード1つ完成。CがC#だったら1オクターブつまり2倍の、1/12乗≒1.05倍だけしてやればいいだけだし



qwertyキーボードは幸い、(ピアノの)キーボードの形した(PCの)キーボードだしね。
CかC#かとかは、ドロップダウンでもいけるし、qwertyキーでもショートカットできるといいよね

オール自動演奏はブザー音単音だからともかく、スペースキーでリズムを取るメトロノームでもいいかもしれない。

スペースでメロディ、コード双方下のセルに移動
下のセルに移ったら、そのセルに入っている音命令に従ってブザーを鳴らす
(ただしアルペジオで構わない)


組み合わせてCならCでコード当たり34種類くらいのコードに対応できるコードがベストだよね



何年か前に自分が作ったのが気に入らなかったら、
また自分で作ってもいいか～


ツイッターとかSNSとかMMDとかにちょっと疲れてしまったから
時々はプログラミングや数学でもやって落ち着きたいな。
C#の教科書は返してしまって、まだ買ってないし。

ちょっと既存の基礎知識で何かやりたい気分。




ニコ動の「団体一名様」タグ見て思ったけど
世の中には多方面に手を出しても全部モノにできる人間がわんさかいるんだなって
っていうかそれが現代人なのかもしれない

プログラミングができて、音楽も作れて、効果音も当てられて
モデルも作れるしポーズも取れるし動画も組み立てられるし
声真似までできる

そんな人がゴロゴロいるんだから、
俺一人くらい混ざってもなんも構わんでしょ？

ちゃんと発想力もあってさぁ

あー死ぬまでに色々やりてぇー


ってか、数学。数学と物理な
同じこと繰り返してないでそろそろ何かまた会得しないとな。



なして俺はこんな学ぶのが遅いかな
やっぱ隣に誰かいたらずいぶん速度変わるんだろか

save load waveだったり画像だったり3Dだったり

昨日、布団の中でふと、「scilabでwaveファイルの出し入れができるよな」って思いだして
ディラックコーンが頭をよぎったんです。

時間のフーリエ変換ができるなら、空間のフーリエ変換だって楽にできておかしくないはずだって

それで、そういえばbmpファイルのバイナリデータをがんばってVBAで取り出してたころのことを思い出して
めんどくさすぎるだろ！ってノリツッコミして

じゃあ、waveを出し入れするみたいに、画像処理用のツールとして
bmpかなんかのデータを出し入れするコマンドも熟成されてるはずだよね

って思って、むくっと起き上がって、スマホを取り出し
いくつかワードを変えてぐぐってみてたんですよ。

そしたら、昔のAPIみたいに、何か付属物をインクルードとかしないといけないにしても
scilabでできるっちゃできるって記事が出てきて

それで、その状態を保持したまま、スマホをほったらかして寝たんです

印象に残ったのは、waveファイルだったら時間1次元しかサンプリングしないからただの列データになるんですけど
2D画像だったら2次元サンプリングだから行列になるんだなーってところでした。


まああとでゆっくりぐぐろうと思うんですけど
2次元でよかったなと。我々3次元人ですからね。


でも、それじゃあ3Dモデリングの元データ？がもし仮にあったら
それを抽出したら3階のテンソルかなんかになるのかってことですよ。

残念ながら、scilabは3次元以上の配列を可視化できないみたいなんですよね。

でも、そもそもその元データとやらは、本当に元データなのか？って気になりますよね。

元データと既知データの中間？ってこともあるかもしれません。
なんていうかただ単にコピーしたpdfにあとからオートシェイプ的なものを追加した感じで
素材がはっきりしてるかしてないか微妙な状態の3Dデータがあるかもしれないんで

あ、そうですね、
たとえばグループ化が解除できない複合ボーンみたいな感じですかね？


そこを利用する側が適当に抽出する際に、3次元配列を使わなきゃならないんじゃないかって思ったんですよ今朝さっき。



あれ？
動きのある3Dデータだと4次元時空になっちゃいますね。
あくまで音データと視覚データは別物だからなあ




あーそういえば、ツイッターでフォローしてる方のつぶやき見てたら、その人と同じようなこと連想して
相対論はあくまで四元ベクトルであって、四元数じゃないんだなって。
なんかすごく惜しいんだよな。

外積の4つ目が内積なのと
磁気の第4成分が電気なのは、同列に扱っていい話なんだろうか？

時間だけがマイナス計量？なのは
クォータニオンの1成分だけが実数なのとは別問題ですもんねえ


なんかこう、その辺の理論の開発者たちの、紆余曲折を見てみたいような。
でもツイッターはやたら情報の流れが速いから、おすすめの本が多すぎて何が何だかわからない＞＜


そもそも、物理wikiは見れるのに、数学wikiは記号に慣れてないので言ってることがわかんないんですよ！
記号論理学もわからないです。足し算と掛け算と引き算だけで成り立たせてる電気・情報畑の連中からしたら、余計な記号増やすな！って感じです





scilabで今後やりたいことといえばですね
fftと逆fftを使った、長時間サイズの音声のノイズ除去だったりとか
時短再生、つまりピッチとテンポを独立にいじったりとか
audacityの上位互換まで行けたらいいなと
たとえば、FM変調(風？)とかaudacityだとできるのかな？スペクトラムも見たい
AM変調はエフェクトのフェードイン・フェードアウトのオプションでできますが、
あれそういえば任意の信号でAM変調って確かできなかったような




あと、画像処理だったら
逆格子？はまあいいとして
インパルス応答の空間バージョンみたいのがやってみたいですね
ただ、空間は時間と違って波動の振幅が、減衰するわけじゃなく、2,3次元に広がって振幅が小さくなるんですよね
空間にわたってとなると、やはりスイカを叩くイメージが出てきてしまうのですが

これはあくまで音のインパルス応答だからなんか違う

振動じゃなくて波動なんじゃないかな
定在波的な感じの・・・時間じゃなく空間の広がりに対する応答というか。

水面に液滴をたらしたときの波紋とかシミュレーションできればだいぶいいですよね


あ、以上のやつ画像処理じゃないっすね

画像処理だったら
信号の時間じゃなくて空間バージョン
たとえば静止画のノイズ除去だったり、いっぺんに色を変えたり
エッジ抽出とか作りたいですよね
手持ちにないし、なんとなく自作したい願望が。

なんつーか、audacityっぽいいろんなことできる画像処理フリーソフトを持ってないので
そこんとこを自作でできればだいぶいいですよね

静止画だけでなく、それを動画にも転用できる感じで
今まで手作業だった単純作業を自動化できたら素敵だなって

ミスは減るし腱鞘炎にもならなくなるし

rand normalとuniform

scilabの本を借りてて、

ホワイトノイズっぽいのを信号に混ぜてから、fftしてノイズを取り除き、
逆fftして(実部を取って)ノイズのない信号として抽出っていう例題が最後にあったんだ。


そこに、乱数コマンドとしてrandがあって、normalっていうオプションがあって
これはなんだろう？と気になった。

周波数空間だと、そりゃぁ一様に、ホワイトノイズっぽく見える。

じゃあこの乱数は一体何乱数なんだぁー！？

ぐぐってみたら、ガウス分布であって、一様乱数ではなかった。

まあそりゃそうだよな。

一様乱数が平平らさんになるのはヒストグラムだっつーの


っつーわけで、信号に足すノイズを、ホワイトノイズではなく一様乱数uniformにしてみたところ
ものっそい低周波成分がでかすぎて、除去しきれてないことがわかった。



いちおう、ぐぐった結果を報告しておくと、
ホワイトノイズ＝ガウシアン分布　ではないらしい。
似てるけど厳密には異なる。
けど、実用的にほぼ混ぜられて使われてる感じらしい。
どっちかがどっちかの部分集合みたいな感じだったかな？



それと、scilabは元々信号処理や制御工学のための言語だから
音声信号をwavファイルとして出し入れできるのは当たり前なんだけど

僕が読んだ教科書のサンプルコードでは、一瞬過ぎて聞き取れないくらいのデータだったので
どんな音が除去されてどう聞こえるのかは、波形は見れたけども聞いてわかることはできなかった。


そうだな、出力ファイルをaudacityにぶち込んで、聞こえる秒数にまで倍々にコピペし続ける
とかすればまあ聞くことはできるだろう。


それと、今回のサンプルコードでは抽出する周波数は2本しかなく
ノイズと信号のS/N比がはっきりしすぎているため
実用的な音声ファイルに適用できるかどうかは不明


敷居値以下の信号をゼロにするってアルゴリズムだから
信号に混ざってしまったノイズは取り除けないんじゃないかな



さっそくaudacity先生にご高説願おうではないか。

かばサーで学ぶヘキサボナッチ数列

けものフレンズ

サーバル「「へきさぼなっち」って、なになに？」

かばん「サーバルちゃん、数列って知ってる？」

サーバル「一定のルールに沿って数が電車みたいに並んでる現象のことだよね？」

かばん「いくつか例をあげてもらっていいかな？」

サーバル「２，４，６，８，１０・・・」

かばん「これは等差数列だね」

サーバル「やったぁ！」

かばん「差が常に一定、つまりこの場合はいつも２だから、等差数列って呼ばれるんだ。ほかには？」

サーバル「２，４，８，１６，３２・・・」

かばん「こっちは等比数列だね。次の数に行くときに、いつも2倍されるんだね」

サーバル「うんうん。」

かばん「０，１，１，２，３・・・この次わかるかな？」

サーバル「４じゃない？」

かばん「残念でした。５だよ。０，１，１，２，３、５の後、８，１３、２１、・・・って続いていくんだけど、どういうルールになっているか、わかるかな？」

サーバル「等差でもないし、等比でもないし・・・うーん・・・わかんないや！」

かばん「1つ目の０と2つ目の１を足して3つ目の１
2つ目の１と3つ目の１を足して4つ目の２。これならどう？」

サーバル「(中略)８＋１３＝２１・・・！すっごーい！なにこれなにこれ！？」

かばん「漸化式っていうんだ。1つ目の芋を掘りだしたら、次の芋が出てくる、みたいな感じの数列の表現方法なんだ。ちなみに、この数列の名前は「フィボナッチ数列」っていうんだよ」

サーバル「そうなんだ。フィボナッチって、なに？」

かばん「フィボナッチさんって人の名前だよ。例えばサーバルちゃんが新しい数列を発見したら、サーバル数列、みたいに名前がつくんだよ」

サーバル「あたしも数列に名前つけてみたーい！」

かばん「がんばればサーバルちゃんもできるかもしれないね。ただ、昔は数列を見つけるのが得意なフレンズがたくさんいて、星の数ほど名前がつけられているから、ちょっと難しいかもしれない」

サーバル「フィボナッチ数列が、前の2つの数列の合計なら、3つだったらサーバル数列にならない！？」

かばん「ごめんねサーバルちゃん。それにはもう「トリボナッチ数列」って名前が付けられちゃってるんだ」

サーバル「4つならかのー！？」

かばん「うーん、ごめんね。こっちには「テトラボナッチ」って名前があって・・・この手のルールにはもうほぼほぼ全部名前がついちゃってるんだ。」

サーバル「トリボナッチさんとテトラボナッチさん？血ではなく心で繋がった家族かなにかなの？」

かばん「これはダジャレっていって、人名ではないんだよ。ちょうどフィボナッチさんのフィが「2つの合計」の２、つまりツーの昔の呼び名「ジ」とか「ダイ」に似てたから、それにちなんで、３個，４個，５個なんかの合計も昔の数の呼び名「トリ」「テトラ」「ペンタ」とかそういった感じでつけていったみたい」

サーバル「残念～。じゃあ「ヘキサボナッチ」っていうのも、いくつか合計した数列なの？」

かばん「そう。「ペンタ」のすぐ次が「ヘキサ」なんだ。つまり数列前半6つの合計を7つ目とする、っていう漸化式で成り立った数列、ということになるね」

サーバル「数学ごっこって、すごいねー」

かばん「サーバルちゃん、さっきからこれはごっこじゃなくて、数学そのものだよ＾＾；」









＝＝＝＝＝＝＝＝
むしゃくしゃして眠かったので、暇つぶしにやりました。
完全にサーバルのキャラが崩壊しています。反省はしていない
眠気覚ましとは言ってない。また寝るかもしれない気満々です

正負実数番目まで拡張したフィボナッチ数列をペンローズ図風にした

たとえば
「フィボナッチ数列のマイナス5.4番目はいくつか」
と言われますと
だいたい「1.02+6.07i」です
と答えることができるんですね。

整数番目じゃなくても、マイナスでも、あるんですよフィボナッチ数列の値は。

ただ、実数の枠から外れて、複素数になっちゃうんです
しかも、マイナスの無限番目からゼロを通って、プラスの無限番目まであるんです。

ｎ番目のｎが大きいと、フィボナッチ数列は指数関数的に大きくなるので、
n→±∞だと、数列の値も発散します。

ですが、ｎをタンジェントの逆関数、つまりアークタンジェントにぶち込むと 無限を有限に押し込むことができます。

これはペンローズ図(ペンローズ・ダイヤグラム)などで、ブラックホールを含んだ時空を解析するときなどに用いられます。

だったら、n番目のフィボナッチ数列F(n)の実部Re(F(n))も、虚部Im(F(n))も nも全部atanにぶち込んでしまえば 立方体の中にぎゅっと詰め込めるじゃないですか
atan(n)-atan(Re(F(n)))-atan(Im(F(n)))
このような3Dのキューブです。

ペンローズ図の見かけの特徴は、真四角か、それを45度傾けたひし形っぽくなることなんですが 実際、Re-Imの図をatanにぶち込むと、螺旋が角張って見えますよね

ソースファイルはこちらです！

フィボナッチ・ペンローズ図

とりあえずフィボナッチ数列を、両atan方眼紙にぶち込んでみた。


なんかずっと前から勘違いしたまま発信してたみたいで悪いんだけど
実数番目フィボナッチの虚部はゼロじゃなかったわ。

負の実数番目まで拡張したペンタボナッチ数列をペンローズ図にぶち込む

確か、フィボナッチは偶数だけど、例外的に数列自体が実数に収まって
フィ以外の偶数ボナッチ数列の拡張版は一般に数列が複素数の無理数で
奇数ボナッチ数列の場合は実数の無理数だったから

対数方眼紙で片付けてしまうのはもったいないんだけども
2Dでとりあえず可視化したかったら、実数で収まる、奇数ボナッチ使っとけ
って感じじゃなかったかな


まあフィボナッチそのものでもいいけど
トリボナッチやペンタボナッチでもいけるんじゃね？

ペンローズダイヤグラム(の光基準バージョン)にぶち込んだら何が起きるだろうか


とりあえずフィボナッチでやってみるか。

今日はまだ休日じゃないし、ちょっとウォーミングアップでやってみよう