y''+k^2y=0の解を真円偏光なるオイラーの公式にする初期条件

y''+k^2y=0を解くと
exp(ikt)とexp(-ikt)の線形結合であるという予想ができるので

y=Aexp(ikt)+B(-ikt)
とするだろう。

このうちの、AかBどちらかだけに残っていてもらってもう片方にお亡くなりになってもらえばいいのだから
たとえばBにお亡くなりになってもらうとして

y=Aexp(ikt)
にすれば立派なオイラーの公式となる。

B=0にしたいので

t=0におけるAを満たすには

y=A
および
y'=ikA

つまりy'/y=ik

これが条件だ！

A=1なら、よりシンプルだ。


数値計算したければ
y'=ikyなので、差分法を用いて

(y1-y0)/dt=iky0
つまり
y1=y0(1+ikdt)　（y0=A）

こうだ。


また、Aにお亡くなりになってもらうとするなら
y'=-iky
数値計算においては
y1=y0(1-ikdt)　（y0=B）



まとめると
y'=±iky　
y1=y0(1±ikdt)　（y0はAxorB）

この初期条件を使えば、真円偏光なオイラーの公式が解として出せるはず！
これでkやdtについても一般化できたぜ！ﾌﾋﾋｗｗｗｗｗｗ

y''+y=0の初期値を試行錯誤してノルムを1に保つ

実はこの初期値、ただ複素数にするだけではオイラーの公式((真)円偏光)っぽいものは出ない。

初期値に実数を入れると、三角関数そのものになる(直線偏光)が、その絶対値の2乗を取ると
当然、全波整流に似たものになるだろう。
厳密には全波整流ではなく、角ばってはいない。
c^2+s^2=1
から
c^2-s^2=c2
を引くと
2s^2=1-c2が得られるので
s^2=(1-c2)/2
つまり、周期を半分にしてバイアスがかかった余弦波そのものである。


では、ノルムが直流なのと、全波整流っぽいやつの間には何があるのだろうか

それが、楕円である。

たとえば
(x/2)^2+y^2=1
という楕円の式があったとして
cos=x/2
sin=y
とすると

x^2+y^2=(2cos)^2+sin^2=4cos^2+sin^2=3cos^2+1となって、脈流する。(楕円偏光)
これは全波整流でも直流でもない。ちょうどその中間に相当する。



ということを、トンネル効果の数値計算をやっていて今更思い知らされたので、メモしておく

解決策備忘録：Excelの循環参照とnow-todayは相性が悪い

シミュレーション動画を作る上で、似たような機能であるだけに、相性が悪いのだ。


たとえば、2015/11/15の日記にあるgifアニメ
マクロ一切組まず、循環参照で行ったシミュレーションなんだが

波源の振動をインパルスではなく正弦波にするためにはどうしたらいいかと考えて
わざわざy''+y=0の微分方程式を作って解いていたが、その必要はどうもないようだ。

循環参照で
A1=A1+1

といったセルがあったとして、このA1セルをsinにぶち込めばいいだけの話じゃないか。

ことわりものフレンズぱびりおん

そうだ！モグリの数学・物理好きのために

・定理ぱびりおん
と
・法則ぱびりおん
とかいうアプリを出してみるのはどうだろうか！？


新しいフレンズ「ペロンフロベニウスの定理」「ヴァンデルモンド行列式」「テレル回転」を発見しました！あーかいぶレベルがアップしました
みたいなやつを、ウルフラムαに積むとか！

オイラーの公式が出てくる微分方程式

y''+ky=0

こいつの初期値の、初期位置y(0)と初速度y'(0)に適当な数を入れると、
実数から複素数への体の拡大みたいのが起こせます。


たとえば差分方程式にして

{y(n+1)-2y(n)-y(n-1)}/dt^2=-k*y(n)

ってして、
y0=i、y1=1ってしたら、複素平面にはみ出した振り子
つまりほぼ円になったオイラーの公式が出てきます。

初期値次第では真円の螺旋だけじゃなく楕円の螺旋にもできるみたいですね。

もちろん実数だけでやれば直線偏光みたいな振り子的解が出てきますが、
y0=±i、y1=±i(複合同順でない)とかだと、いわゆる振り子の円弧を1次元とみなすみたいな線形従属っぽい感じで
実数あるいは純虚数の振動解だけが有限になります。


今はあまり余裕がないので詳しくは書きませんが
y(n+1)=IMSUB(IMPRODUCT(IMSUB(2,k*dt^2),y(n)),y(n-1))

の式で、Excelでも出せますよ。

「博士の愛した数式」の完全数を見た感想

それは、どのような用途があるのですか？？！！


これは実は、大学に入って整数論をやったときにも感じたことでありまして
最近、この現象についてやばいなーと思っていることは


そういう、何につながるかわからないことを昔僕も好き好んでやっていたのにやらなくなった

ということです。


僕の誕生日には4が入っていたので
十進数の場合4で割ると必ず割り切れることが(僕に)知られていました

4以外に「何を割っても割り切れる数」ってあるんじゃろか？
と思って探したら、2か5のべき乗のみを素因数に持つ数で割り算すると、必ず割り切れることがわかりました。

それは何に起因するのか。そう、十進数に含まれる10=2×5の2と5です。

じゃあ約数に9を含む360進数だったら9で割り算しても必ず割り切れるよね？ってなりますやんか

しかしそれでは切りがないので、別のことを考えました。

十進の場合に3や9で割り算すると循環小数になってしまう。

じゃあ世の中にある3や9の倍数以外を逐一検出して、世界から消そう！


気づいたら、3や9の倍数が大好きになってしまっていました。

だって、そこに3や9の倍数の見分け方があるんだもん。
(当時はまだ、11の倍数の見分け方には見向きもしませんでした)


残念ながら、いくら消しても3や9で割り切れない数は湧いてくるどころか
世界に潜む巨悪は、無理数とかいう悪の組織も存在したため、僕の世界征服の野望は早々にしてついえました。めでたしめでたし。


しかし、単純作業としての、3や9の倍数探しはいつしか癖になり、僕の中でかっぱえびせんや枝豆は大豆やねんでーになっていきました。4(インドゾウ)は好きです。でも今は3(アミメキリン)のほうが4(インドゾウ)よりももっと好きです。


モジュロ演算を体系化した知識がなくとも、漠然とした定理も数々再発明していきました。

たとえば747、171、414などといった、3で割って1あまる系の数を3度の↑↓↑の配合率で3桁にすると必ず9の倍数になるとか
その828、252、585(3度の↓↑↓)バージョンなどです。

7や4が複数桁でもOKで、たとえば
16416や7137も9の倍数です。


当時はがむしゃらにそういうのをやっていたというか、ほかに楽しいものが皆無だったので
(あったんだろうけど楽しそうに見えなかった)


ほぼそれだけが友達でした。


思えば、これらも、「それはどのような用途があるのですか？？！！」と言われると答えられない類のものです。


たぶんですが、水素原子様の電子の波動関数を解析的に導出した際の
ラゲールとかルジャンドル陪関数とか、そういった類のものも
元々物理のために発掘された方法ではなく
数学のおかしな人が、趣味で行った微分方程式遊びの1つで
あとから物理学者が発掘したんだと思います。


人類の叡智ってそういうとこ狂ってると思うんです(褒め言葉？)


では、どうして、似たようなことをやっていたはずの僕が
そういうのを狂気に思ってしまうのか。
たぶん早々に若さを失ってしまったんだと思うんです。


あとは僕特有の舐めプですね。
大学でモジュロ演算に出会えた喜びで、すごいぞ！モジュロ演算はやっぱりあったんだ！って思わず整数論を舐めプしてしまって
一気に苦手になってしまったのでしょう。

この現象は、英語や、確率・場合の数などに対しても言えます。


若さを失った件に関しては
そういう舐めプもあるでしょうが
僕がどこの研究機関にも属していないモグリだからというのもあるでしょう。
大学生の頃に中二病が悪化して、前述の「人類の叡智(狂気)」に対して
必要以上の責任を感じてしまったのかもしれません。
僕にはとても研究職は無理だー！＞＜と思って人生のレールから意識的に脱線したわけですが

まあ、今考え直してみたら、研究職も悪くないのかもしれない

というのと

やっぱり僕は趣味で研究をやるタイプの人間なのかもしれない

というのが混在してます。メンタルも弱いですしね。豆腐の角にぶつけても、頭蓋がなかったら死ぬタイプです


新しい刺激があまり入ってきません。
ツイッターを始めても、なんかこういまいちピンとこないんです。


よくも悪くも経験がついたっていうのもあるのでしょうね。



最近の僕の、車輪の再発明的な成果として、SO(3)(ロドリゲスの回転公式)やSU(2)(クォータニオン)とか、ファンデルモンドの行列式がありますが

これの最初のブームから3年くらい経ってるので、そろそろwikiが充実してきたかもしれません。
余裕があったらネットサーフィンしてみましょう。
wikiにあれば一番都合がいいです


ああそうだ。「車輪の再発明」って言葉は2017年に知ったんですよ。
車輪の再発明を再発明してしまいましたナハハ・・・


はぁ・・・どこからネタバレを見ればいいのか・・・まあ気の向くままやっていこう

鬼畜な数学の教科書

こないだ大学の図書館で見かけた「線形代数」の教科書の最初の1問

次のことを証明しなさい

A∪B⊃A、A∪B⊃B、
A∩B⊂A、A∩B⊂B、
A⊂B、B⊂CならA⊂C
A⊂BならA∪C⊂B∪C、A∩C⊂B∩C
A∩A=A、A∪A=A


さすが鬼畜だと思いましたわ。


「、」が多くて、カッコがない。
どこからどこまでが問題で、どこからどこまでが前提なのかがわからないｗｗｗｗ

しかも
A∪B⊃A
こんな、どこで区切ったらいいのかわからないのを最初に複数個出して、まるで入園試験ですわｗｗｗ


よく考えると(A∪B)⊃Aの分配方法しかありえないことがわかってきて
A∪B⊃A
というものが1つの問題であることもわかってくるんですけど

これは一見さんお断りやろなぁ


整理すると

①(A∪B)⊃A、②(A∪B)⊃B、
③(A∩B)⊂A、④(A∩B)⊂B、
⑤{(A⊂B)なおかつ(B⊂C)}ならA⊂C
⑥(A⊂B)なら[{(A∪C)⊂(B∪C)}なおかつ、{(A∩C)⊂(B∩C)}]
⑦(A∩A)=A、⑧(A∪A)=A


という8問編成でございまーす。＾＾

行列のランクの意味がようやくわかった

定性的にも定量的にも。

定義が抽象的すぎて、何をしたいのかよくわからなかったが
言ってしまえばしらみつぶしの加法標準形だ。

ランク落ちしてた場合は、1つずつ次数を低くして、
ほぼほぼ全部の組み合わせを試して
ゼロにならなかったやつのフラグを立てて、
そいつらのORを取ってゼロじゃなかったらアルゴリズム終了！

それでもゼロだったらさらに次数を下げてやり直す！それだけ！


これを、正方行列以外の、長方形の行列にも拡張できた。

これらが定性的に何を意味するのか、それは


「連立方程式が実質何本あるのか」
に尽きる。

変数が4つあって、4本連立してるように見えても
実はうち2本は同じ式で、実質3本しかなかったら解けなかろう！
そういうときのために、ランクの調査をする。
4じゃなくて3だったらこれいつまでこねくり回しても解けねーぞと、忠告しておく。

この場合は正方行列なんだけども


たとえば
変数が4つあって、3本連立してるように見えても
実はそのうち2本は同じ式で、実質2本しかなかったら

っていうのが、長方行列(m行n列：m≠n)に拡張したランク計算。

逆に、横長でなく縦長だったら、定性的には

変数が3つあって、4本連立しているように見えても
実はそのうち2本は同じ式で、実質3本しかなかったら

ということができる。

ん？あれ？この場合、解けるように「なる」ってこと？
パッと見冗長して見えた連立方程式が、案外まともな連立方程式だったってことになるのか


いいのかなそれで？
変数の縦ベクトルを右から掛け算するとは限らないじゃんか
左から横ベクトルを掛け算するかもしれないじゃんか・・・？
その場合は転置を取ってからランクを求めるから大丈夫・・・とか？

俺はモグリなんでね、あの数式の名前をまだ知らない

昨日、大学の図書館で線形代数の本を読んで遊んでいたら、思わぬ収穫がありましてね
20170709のブログ「ダルいのでヘキサボナッチ備忘録の続きを。」などに書いてた数式、

「ファンデルモンド行列式」って名前なんだそうです！


まあたいていの、僕がいつもやってる数式や定理の「車輪の再発明」系のものには
すでに名前がついていて当然とは思っていましたが

困るのが、式だけ知ってて名前を知らないことですよね。

ツイッターなどで盛んに議論されてても、
独学でやってたモグリの数学好きには、結構輪に入れないときがあると思うんですよ。

それも、多数のFFさんがいると、いっぺんに情報が流れ込んできて、
モグリやってる人に限って、そういうどばーっとしたのに弱いと思うんですよね。

そこで思ったのが、こういう方式

たとえばウルフラムαで

det{{1,1,1},{a,b,c},{a^2,b^2,c^2}}

とかって入力したら、

これだったら「ファンデルモンドの行列式」とかって
データベースの一部に名前情報が表示されるシステム。

どばーって情報が入ってくるのが苦手な人にも
コツコツ情報が入ってくれるスンポー。


こういうのほしいなーって思うんですよね。



名前から式は結構簡単にwikiれちゃうじゃないですか。
でもその逆、式から名前を知る際って
昔でいうところの「電話番号から電話帳で住人の名前をストーキングする」くらいの難易度があったと思うんですよね。

ある種の公開鍵暗号方式といいますか、そんな感じの一方通行感があると思うんです。

その敷居がかぱって外れれば、結構いい方向に向かうんじゃないかと思うんですけども。





あと、パフィアン行列とかってのも
なんか見おぼえある式のような気がしました。
シンプレティックはー・・・まだちょっと早いかなーって
昨日は思ったんですが、今さっき自分のブログで20170709のブログを探す際に
案外遠くないのかもって思ったりしましたね。

任意軸伸縮行列の、Excelでの実装

昨日の「任意軸伸縮行列」をExcelに実装して遊んでみましょう。


とりあえず、伸び縮みさせたい立方体を、a,b,c列に作ってみます。

a,b,c列をそれぞれ、x,y,z軸の値とします。

右をプラスのx、上をプラスのy、奥をプラスのzと定義しますので
順番に、手前面、奥面、下面、上面、左面、右面となります。

 


これらのベクトルに伸縮のための変換行列

を作用させたいので

この図の赤枠内のように、行列を作ります。
a=1、b=c=0、H=2を例にします。つまり、x軸方向に2倍する伸縮です。

a,b,cのそれぞれのすぐ下の行には、実数何を入れてもいいのですが、
さらにその下の行では単位ベクトルのa,b,cになります。
そのために、a,b,cの右下で、√(a^2+b^2+c^2)をやっています。
厳密には、sqrt(sumsq(aからc))という計算をして、
a,b,cの2行下で
規格化前のa,b,c/[sqrt{sumsq(aからc)}]
を、複合参照を用いて計算しています。


本来ならこの式

のように、列ベクトルに左から変換行列を掛け算するべきなのですが、
Excelの仕様の都合で
行ベクトルに右から変換行列を掛け算しています。


そうやってできたベクトルたちはこの図の赤枠の中のようになります。
変換前の左のベクトルと比べると、変数xの「1」だけが「2」に変わっていることがわかるかと思います



ビューアとして、この次に遠近法のための計算を行います。
変数zに5という下駄をプラスしてzが負数になるのを回避し、
適当なズーム倍率A=1を用いて
横軸にAx/z、縦軸にAy/zを計算してグラフにプロットします。


このようになります。
右が伸縮変換前、左が変換後になります。
横つまりx軸方向に2倍に伸びていることがわかるかと思います。

同様に、x,y,z軸方向に、-2.5倍から+2.5倍までの伸縮を、gifにしたのが下の図です。


自分のやり方では
たとえば空いているセル
A3セルとかにnow()-today()を入れます。0から1までの、時刻のシリアル値をただの数値にした値が表現されます。

A4セルに動かす速さ70000とかを入れて
A5セルでA3×A4を行います。

それから、Hと書かれたD3セルの隣のE3セルに
=3*sin(A5)
といった式を入力して、動かして
テキトーなキャプチャソフトで、連写してます。


次に、
v=(a,b,c)=(1,1,0)/|v|(xy平面内での伸縮)
v=(a,b,c)=(0,1,1)/|v|(yz平面内での伸縮)
v=(a,b,c)=(1,0,1)/|v|(zx平面内での伸縮)
v=(a,b,c)=(1,1,1)/|v|(一般化伸縮)

の場合をプロットして動かしてみます。
sqrt{sumsq(aからc)}が1以外になって、2行目の単位ベクトルが1行目の値と違ってきているのがわかるかと思います。

誰得！任意軸伸縮の式ｗｗｗｗｗ

(a,b,c)という単位ベクトルがあったとして、そのベクトルを軸にしてH倍伸縮させるのがこの行列
(Hは負数にも対応)

ローレンツ伸縮の4次行列を生成して、3次元にトリミングすれば作れます。
元々はsinhとcoshを使っていたのですが3次元空間にはcoshしかないので負になれず
coshを、負数にもできるHに置き換えることで、反転も可能にしました。

もちろんH=0だと、軸方向に対してぺしゃんこになります。

かわいらしいです

新兵器、素数タリアン

僕にとっての植物というものは、得体のしれない、異質なもので
しかしだからといってすべての植物を一滴たりとも残さず駆逐してやろうという意気込みのベジタリアン(やさいぶんかい)ではないのだが

僕にとっての素数というものは、得体のしれない、気持ちの悪いもので
だからこそすべての素数を一数たりとも残さず駆逐してやろうという意気込みで素数タリアン(そいんすうぶんかい)を好んでやっているのかと言われると、まったく肯定である。


これが、愛・憎=-1の線形従属(ハンヘイコウ)というものであるというのか。

スーパー積分人～身勝手の極意編～

部分スーパー積分人を用いた、スーパー積分人を超えた、スーパー積分人



複素数を使ったスーパー積分人ブルー





スーパー積分人(身勝手の極意)
 

亀仙人「動きに無駄がないぞいっ！٩( 'ω' )و」



ブルマ役の鶴ひろみさん、心よりご冥福をお祈りいたします

ロドリゲスの回転公式、対角化からのアプローチ1

今日は、いかにサボってそれなりのブログを書くかを努力する日です。
もう余力がありません。


4次元に手を出す前に、まず、3次元におけるロドリゲスの回転公式を
対角化からのアプローチで出してみようということになりました。


この行列指数関数を導出する際に、exp(R)のR^3=-Rになる特性を使わずに
固有値・固有ベクトル・対角化から、求めてみるというわけです。


まず、(x,y,z)がまだ規格化されていないベクトルとして
W^2=x^2+y^2+z^2

(a,b,c)W=(x,y,z)

となるようにします。

そうすると
a^2+b^2+c^2=1なので


とできますよね。
この、Wを除いた行列の固有値を求めると、少し楽ができるという寸法です。

 
なので、固有値をλ=0,±iと、簡潔に記述でき、次の固有ベクトルの計算に向けて
かなり楽ができることになります。


今日はもうこれでいいや。
続きは、余力がありしだいアップします。

3の3乗とか2の4乗とか、4の2乗とか。

ふと思い出した。

整数なら、3の3乗が27でピーク。

じゃあ実数なら？

つうことで、

x^(6-x)のグラフを描いてみた。

だいたい、2.9の3.1乗が27.129でピーク・・・なんじゃこりゃｗ