2の偶数・奇数乗と3の倍数±1

2の偶数乗-1≡0(MOD3)
2の奇数乗+1≡0(MOD3)



追記：なんか拡張できた。
①n（≡2＠MOD3)の偶数乗≡1＠MOD3 
②n（≡2＠MOD3)の奇数乗≡-1＠MOD3
③m（≡1＠MOD3)の整数乗≡1＠MOD3


もちょっと追記：
例
①
2の8乗=256≡1＠MOD3　(256÷3=86あまり-2)
5の4乗=625≡1＠MOD3　(625÷3=208あまり1)
(-7)の2乗=49≡1＠MOD3　(49÷3=17あまり-2)

②
5の3乗=125≡2＠MOD3　(125÷3=41あまり2)
2の5乗=32≡2MOD3　(32÷3=11あまり-1)
(-4)の3乗=-64≡2＠MOD3　(-64÷3=-21あまり-1)

③
4の3乗=64≡1＠MOD3　(64÷3=21あまり1)
7の2乗=49≡1＠MOD3　(49÷3=16あまり1)
(-2)の2乗=4≡1＠MOD3　(4÷3=1あまり1)
(-2)の3乗=-8≡1＠MOD3　(-8÷3=-3あまり1)





10進数の数の2乗を繰り返すと下1桁(10で割ったあまり)は0か1か5か6に収束する。
そのうち、5で割り切れる下1桁は最初から最後まで収束している。
残りの、5で割って1余る下1桁は他の数から収束する。
●2の2乗=●4→●4の2乗=●6→●6の2乗=●6(シュタゲ)
●8の2乗=●4→●4の2乗=●6→●6の2乗=●6(シュタゲ) 
●3の2乗=●9→●9の2乗=●1→●1の2乗=●1(シュタゲ) 
●7の2乗=●9→●9の2乗=●1→●1の2乗=●1(シュタゲ) 
●0の2乗=●0(電王)
●5の2乗=●5(電王) 




帰納法と背理法が時々ごっちゃになるねん

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ターンイーでも対角化したい！

先日の日記のおまけでございます。

ちょっと条件が緩めでしたので・・・
 
P-1AP=対角行列
のAが単位行列だったらPがどんな行列でも対角化可能なのですが
Aが単位行列ではなく対角行列だったら、Pはなんでもというわけにいかず、対角行列でなければならなくなります。
対角行列を対角化したかったら対角行列とその逆行列を左右にそれぞれかけなさい
という、考えてみれば至極当たり前な話です、はいｗｗｗｗ

あと、今回から元ネータExcelファイルを付属してみました＾＾


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1.2次方程式とか

代数方程式に分類したくないですよねー
1.5次方程式なら実質3次方程式なのでまだしも
1.2次式なんか実質6次方程式ですからねー

近似的に1.666666・・・次方程式とかも嫌ですね
3分の5次式って書いてくれてもお断りですよね
360進法で書かれても困りますよね、うん

気分的には超越方程式ですよね ぇ ぇ ぇ ぇ ぇ


√2次方程式、φ次方程式、ω次方程式、12分の1オクターブ方程式・・・あーあー聞こえない


あ、そういえばこないだ何かの都合で、圏論っちゅうのがあるってことを知りました。
容量オーバーなのでとりあえず放置！

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ホワイトチョコとか好きですよ。黒よりも好きです。
好きなラーメンは断面が真円をしてないカップヌードルです。
ビーカーに入れて、安心アルコールランプであぶって、僕、ラボメン！

逆゛・転置無用～全て存在する行列～

最初は冗談のつもりだった・・・
まさか近いうちに具体例が現れることになろうとは、当の本人も予想だにしていなかったのです・・・



数学にある、Aを逆さまにしたような記号と、Eを裏返したみたいなヨのような記号
これらはそれぞれ、全て(all)と存在（exist）を意味した記号なのですが
上下左右裏返すと当たり前ですがAとEになるんですね。

Aは行列では任意の行列、スカラーだとxのようなポジション
Eは単位行列、何回かけてもそのままの行列をあらわすことが多いわけですが

行列の掛け算EAEが、うまい具合に対角化できたらいいな

みたいな軽い気持ちで作った絵だったのです。


そしたらこれ、存在するんですよ・・・
っていうか、EAEが対角化される条件は、「Aが元々対角行列のとき全般」と、
かなり広範囲な条件だったりしまして・・・


そこで、最も簡単な対角行列である単位行列EをAにしてみて、マトリックスアドインをぶち込んだExcelで固有ベクトルを計算させると、とりあえず単位行列が具体的に算出されるんですわ。


でもよくよく考えてみると
この両側のEに相当する行列はほぼ、なんでもいいことが固有ベクトルの要請からわかりまして

まあ当然、行列式が０のような中の人がいない行列はアウツですが

これはまさしく、全て存在するのダジャレにピッタリな現象だなぁと。


特にEが単位行列の場合は、転置しても逆行列を求めてもそのままなので
なんとなくPAP-1のときと似たような感じで上付いた気分で下付けてみましたが
アニメーションを作り終えて気づきました


上下左右反転させたときに「マイナス」と「１」の配置が逆だったということを・・・！
-1じゃねえだろ1-だろうよ、おこだよ。
しかもそれをしっかりとケータイにメモしてあったのに読まないで作って後戻りができない自分がここにいると・・・！
やっちまったなぁ


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iphoneて昔あいぽんって呼ばれたりしましたよね

野中藍さんが相変わらず現役なのが嬉しい上司きのこですこんばんは。


ところで行列というと大多数の人にとっては「行or列」なんですが
どうもしっくりこなくてですね「行and列」だと思いたいんですよ。


しかもこの「行or列」の「or」のことも、大多数の人は「xor」のことを「or」だと思って使ってることのほうが多く、大変嘆かわしくもないんです。僕だって曖昧ですから⊂＾！＾⊃


このxor、実装されてない場合は作るしかないんですが
加法標準形で
xor(ぎ、ツ)＝ぎ*シ+ざ*ツ
でもいいですし、乗法標準形で
xor(ぎ、ツ)＝（ぎ＋シ）＊（ざ＋ツ） 
でもいいですよね。

※ただし「ぎ＝行」、「ツ＝列」、「ざ＝NOT(行)」、「シ＝NOT(列)」と定義する。

と、ここでカッコつけるのがちょっと嫌だなーって気になったので
先日スタックを使って理解したばっかりの逆ポーランド記法を使って表現してみますと


xor(ぎ、ツ)＝ぎシ＋ざツ＋＊

になりますね。


ここで、NOT演算のことが気になったんです。
NOT演算って単項演算子じゃないですか。逆ポで単項演算子ってどうするんだろう？って思ったんですよね。


ちょっとぐぐってみたところ、「足す」、「引く」を二項演算子と見なす場合、
符号反転を意味する「マイナス」としての単項演算子は、二項演算子の「引く」とは別の記号を用いなければならないようです。

同様に、逆数を意味する「スラッシュ」としての単項演算子があった場合、それも「割る」とは別の記号を用いなければならない、というわけです。

もし、これが完全に機械語でしたら、あるいはすべて加算と乗算で行ってしまうことにして
減算と除算を２の補数表現とかビットシフトとかそういうので補うのだとしたら
減算と除算の記号は「符号反転」と「逆数」の単項演算子の１種類だけで済むますけども・・・。


これをxorに応用すれば
ざ＝NOT(行)＝NOT(ぎ)＝-行であるし
シ＝NOT(列)＝NOT(ツ)＝-列なので

逆ポの乗法標準形は
xor(行、列)＝ぎし＋ざつ＋＊はもっと簡潔かつ明瞭に
xor(行、列)＝行列-＋行-列＋＊

とできますよね。



やーそれにしても有限の桁(規格化)で有限の量子化(デジタル)ってのはある意味で素敵な不完全だと思いませんか？！そうですか・・・。
すべての演算、関数に対してシラミつぶしができるんですから！
なんかゼット変換を思い出すなぁ。覚えてないけど！
こっちの世界での離散化はデジタルワールドにおける周期化で
こっちの世界での周期化はデジタルワールドにおける離散化なんですよ！


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バネでできた芋虫みたいな動きするおもちゃ

トムボーイとかスリンキーとかいうらしいんですけど
あれな
スタックに似てると思いました。
LIFO(後入先出)のスタックです。プッシュとかポップとかするアレ。


クワガタ（中村悠一）じゃないですよ




なんかふと唐突に、エルミートハンターとかいう言葉が沸いてきました。
回収するのは粒子ではなく量子で
現実世界から、フーリエ変換されたデジタルワールドに向かうんですわ

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お子さんが他の何でもなくレゴでまず建築物を設計してしまうもどかしさ

 
すごく・・・よくわかります！
やっぱり慣れたツールが一番ですもんね！！！！１




ちょっと疲れてて目前のやりたいことを処理できませんトゥデイorz



なお、ちょんまげの起源は分からない模様

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ｂｙミンメイ書房



俺達の戦いは、始まったばかりなんだ！！！(わりとガチで)
暇人大国ニッポン・・・日本からニートが消えたら日本が滅ぶって本当ですか・・・

今日は数式をちょっとお休みしましょうか

 
ここ一週間ぶっ続けで数式三昧でしたからね。読む方もどうもお疲れ様でした。

フィボナッチ数列で書きたかったことがひと通り終わったので、
次何書こうかなぁって思ってたところだったんです。
ちょっと気が抜けました。
ということで気を抜きましょう。


やりたいこと、というか
やりかけでまだ終わってないテーマが2つほどあるので
それに手をつけちゃえばいいのですが
ちょっと英気を養いたいところですね。



僕の英気の養い方は今のところ
「疲れを癒やす」系と「意欲を高める」系の2種類がありまして
「意欲を高める」系にはさらに、「意欲を生み出す」系と「意欲を維持する」系
があるみたいなんですね。


といっても最近気づいたばかりなのでまだ全然形式化されてなくて
色々模索中というか、まだこれしかわかってないのが現状です。



「温泉やプールに入る」という行為も、「疲れを癒やす」系と「意欲を生み出す」系両方にカテゴライズされますし。
まあ本来この手のものはカテゴリがあってないようなものなのかもしれません。
高速ドライブや山登りドライブもいいですね。あと特に行き場とかない自転車とか。


このブログは完全に趣味でやっているものなので収入も支出もないんですが
仕事は別にあって、これがまた趣味も仕事も両方とも肩が凝るんですよ


なので温泉に入るのは最近だとかなりトップにランクインする癒やし効果があります
温泉に入ると、同時にアイデアが沸いてきたり考えが整理されたりもするんですよ。

たとえば波動方程式の境界条件について悩んでいる最中だと、
温泉の水面は水の波に光の波が透過したり反射したり屈折したり干渉したりと
世の中すべて波だらけの状態に見えてきまして
結構楽しくアイデアが湧いてくれるんですよね



意欲を生み出すまではいかなくとも、維持するのには気分転換で漫画読んだりアニメ見たりすると
途中にしてたブログを、じゃあ書き終えようかって気分になります。あんまりケチるもんでもないですねえ



他の方法はなにかないだろうかって思ってるところなんですが
「別の計算を始める」ってのも手ですね
最近Excelで何か始めるのが面倒くさくなってきて困るんですが
始めるとこれ以上落ち着く作業はないってくらいしっくり来るんですねえ


一方で、「食事」に関してはあまり期待できなくなってきました。
逆流性食道炎なんですよ自分・・・
食べたいのに食べたい量食べれないのを目の当たりにするとちょっとキツいですね・・・
まあおかげで脱メタボどころかそのうち質量消えるんじゃないかって思うくらいコツコツ減ってますけど
元々食事にあまり重きをおいてなくてよかった＾＾
といっても、噛むこととかを疎かにしたからこそ逆流性食道炎になったのかもしれませんが。



ここ1週間はホントに、どこの誰だか知らないけれど
一定の高評価を頂いたみたいで嬉しいです。
ありがとうございます。
久々にあっという間でしたよ～この1週間。




それと
フーコーさんおたんじょうびおめでとう！
赤道だと余裕でポールまったく倒れないぜ！

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おまけ：規格化した固有ベクトルとユニタリとエルミートと、回転行列だったら何度？

 の随伴行列 は規格化してみると面白いですねえ
(たぶん)解除できない二重根号がうっとおしいですけどね・・・

綺麗な形してるだろぉ～？コレ実は｜右上｜＝｜左下｜、｜左上｜＝｜右下｜なんだぜ？


ユニタリ： 
エルミート： 
当たり前っちゃ当たり前なんですが、実数範囲だとどうあがいてもユニタリかエルミートｗｗｗ
特にユニタリだと回転行列なんですよね。
これも当たり前、ユニタリの特性ですが、逆行列が転置行列なんですね。
（3行3列以上は知りませんけど＾＾；狭い！）

  
回転の角度0.5536[rad]=31.7[°]が何を意味するのかわかりませんがｗｗｗ
なんか黄金率とは別のアスペクト比が出てきましたよ


と、そういえば最後に告知：重大な勘違い表記をしていたかもしれません。
先日の、「固有ベクトルを並べた行列P」は随伴行列とは呼ばれないみたいです・・・
 
なんて呼ぶのでしょうか・・・ほら、規格化されてないPとか・・・
規格化されてればユニタリですけどねえ




なんか15年前のことを思い出します
ドヤ顔で提出した制御工学とかのテストがまるっきり0点とかで、なんでや！ヽ｀д´ノって思った思い出・・・

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対角化の威力でフィボナッチ数列の一般式に迫るｩ～

こんばんは、対角化シリーズ最終回、のつもりです。

初回は、行列表現したフィボナッチ数列を例に、行列の対角化がどんなものなのかをざっくり説明しました。行列同士の掛け算が簡易に行える裏技だと書きました。

つづいて前回は、対角化のための準備である固有値と固有ベクトルについて、フィボナッチ数列の行列表現を例に具体的に計算してみました。

今回は、その対角化を使って、フィボナッチ数列の一般式を導出して締めることにします。


フィボナッチ数列を行列表現した要となる行列A=
を対角化すると、固有値φ1=(1+√5)/2とφ2=(1√-5)/2、そして固有ベクトルからなる随伴行列Pを

を用いて行列Aを対角化すると


こうなることはわかいましたが、だから何なの？と思う方もいるかもしれません。
僕は思ったんですけどね。＾；

この式の両辺に右からP-1を、左からPをかけるとどうなるでしょうか。
Pとその逆行列が約分？されて


このようになることがわかるかと思います。

さて、フィボナッチ数列そのものは、

このように書くことができました。

あとの都合のために、n+1をnに、nをn-1に置き換えて

こうしておきましょう。
この、 が行列Aなので、対角化したものを代入すると


このようになるはずです。

どうも、随伴行列は自分自身の逆行列と打ち消されてべき乗しても形が変わらないようなので

このようにn-1乗は対角化した行列のみにかかってくるようです。

また、対角化していますので行列といえどもべき乗は簡単で、そのまま対角成分のべき乗と書くことができます。

 

これが対角化の威力です。

つまり、フィボナッチ数列の行列表現は

これに帰着でき、もはや手計算で行えてしまうのです。


最終的に行列の上のほうだけわかればいいので、赤で囲った部分にだけ注目し
以下の様な一般式に無事、終着するわけです。＾＾



お疲れ様でしたｍｍ



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固有値・固有ベクトル・対角化。

前回は、フィボナッチ数列の行列表記を例に、対角化の利用法を見てきました。
対角化は、行列を掛け算する際の裏技のようなもの、といいました。

固有値と固有ベクトルは、その対角化を行うための準備とも書きました。

それではフィボナッチ数列の行列を例に、具体的に固有値と固有ベクトルを計算してみましょう。

まず、固有値の定義はこうです。

Aという行列があったとき
|A-λE|=0となるλが固有値


Eは単位行列で、中身はコレ です。数字でいうところの「1」のようなものです。
何回かけてもEのまま、逆数に相当する逆行列もEそのものです。EじゃなくてIと書いたりもします。

ではA-λEの両脇の｜｜は何かと言いますと、これは囲まれた中身の行列式を計算するという記号で
行列式自体はスカラーです。デターミナントと読んで、det(A-λE)とも書きます。

行列式の説明は少し後回しにして、A-λEを実際に計算してみますと

こうなります。

この行列式を求めるのですが、2行×2列の行列式は割りと単純で

右下斜め掛け算－左下斜め掛け算

というスカラー量、つまりただの数になります。


これが=0になるλを求めるわけですから、あとは2次方程式です。

このφ1というのは黄金率です。φ2はオマケのようなもので、2次方程式の解と係数の関係から
φ1φ2=-1(方程式3項目の係数)とか、φ1+φ2=1(方程式2項目係数の符号反転)とかいう関係があります。


固有値に関しては以上です。



＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
次に固有ベクトルの話に入ります。
固有値λ1とλ2を実際にA-λEに入れてみて

となるようなxとyの比を求めます。

この際、連立方程式のようになりますが、この2つは同じ式で、いわゆる永年方程式になるので、具体的にxがいくらいくら、yがいくらいくらとは求まらず、比しか求まりません。
というか、固有値を求める作業自体が永年方程式を作ってるようなものなのです。

λ=φ1を代入してみますと、以下のような行列方程式になり

このような等価な2つの連立方程式(永年方程式)になるので(解と係数の関係を思い出して確認してみてください)

xとyからなる固有ベクトル(列(縦)ベクトル)は１：－φ2から上のようになります。


また、固有値にλ=φ2を代入した際の固有ベクトルは以下のようになります。式変形はほとんど同じなので略します。


この2つの固有ベクトルを横に並べたものを随伴行列と呼んでPという記号で表します。

 

固有ベクトルを求める際に、xとyの比しか求まらないと言いました。
ということは片方の固有ベクトルのxとyの符号を反転して
 ①
こうしたり


あるいは両方とも符号を反転して、こうしても問題はありません。

ですが筋は最後まで通してください。
これらの随伴行列は左側にφ2がきていますが、固有値はφ1が最初(大きい方)で次がφ2(小さい方)
という約束の元で行っています。
それと同様に、勝手にルールを決められるからこそ、同じ約束事で筋を通さないと間違った結果になってしまうのです。

また、これらのベクトルはノルム(ベクトルの向きを無視した大きさや絶対値のようなもの)を1にしていません。(ノルムを1にするとルートの中にルートが入ってしまって面倒なのです＞＜)
このノルムを1にする＝規格化という作業もするかしないかも自由ですが、筋は通してください。


このあと出てくるPの逆行列P-1のところで重要になってくるのです。



＝＝＝＝＝＝＝
今後、印をつけた①にしたがって進めていきます。(都合上、左上プラス、右上がマイナスのほうがいいのです)
①のPの逆行列P-1を求めるのです。

逆行列の求め方はこれを読んでいる方はもうご存知かと思いますが
2行2列の場合は
 
・対角成分(右下がり)は入れ替え、
・そうでないもの(左下がり)は符号反転して
・全体を行列式(デターミナント)で割ります。
 

このPの逆行列を求める際に、①で決めたルールなのかなどというのを守っているのと守っていないのとで結果が違ってくるのです。



＝＝＝＝＝＝＝＝
しまいに
随伴行列のPとP-1が出来上がったら、P-1・A・Pの掛け算をしてみてください。

  
計算結果が2つの固有値で対角化されているのが確認できればOKです。
左上から右下にかけて、φ1(大きい方)→φ2の順番になっていることも確認して下さい。逆はダメです。
※PAP-1ではなくP-1APです。これも順番に気をつけてください。行列の掛け算は順番を気にします。
スカラーは順序気にしません。(√5など)



 次回はいよいよ、フィボナッチ数列の一般式を導出して、対角化の有用性を話してみたいと思います。



まとめ。たのしい！

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嬉しいです！<´皿｀>

フィボナッチ数列を、フィボナッチ行列として、捕まえる。

フィボナッチ数列はよく、「漸化式は単純なのに一般式を探そうとすると複雑」な、いい例として使われます。

しかしながら行列を用いれば一般式っぽく書くことが可能です。
これはただのこじつけではなく
行列という数学の道具を用いることで、スカラー(ただの数)での一般式を導き出す手順にもつながります。


n番目とn-1番目のフィボナッチ数列をFn、Fn-1とし、列ベクトルで書くと 
になりますが、1つ次のフィボナッチ数列にするには、以下のようなルールを持たせた行列を掛け算することで変換が可能です。
 

また、これを拡張すると、最初のフィボナッチ数列つまり1番目(上)と0番目(下)のセットからn+1番目(上)とn番目(下)のセットを作り出したいときは行列A＝ をn回掛け算(n乗)すればよいことがわかります。
つまりこうです。
 


しかし、行列の掛け算は手計算でやるにはやや複雑です。
そのため、掛け算を簡易化するために固有値や固有ベクトル、対角化という行列の道具を使うと便利です。


固有値や固有ベクトルというのはなんとも説明しがたい概念なのですが
とりあえず今回は対角化(掛け算の簡略化)のための準備と認識してもらえばOKかと思います。

対角化すると何が便利かといいますと
Aという行列があって、その正体が実はB＝ という対角成分だけの行列だったらn乗するとき
 
になってさぞかし楽だろうなーという希望的観測に基づいた理論といっても過言ではないかもしれません。


これが実はできてしまうのです。

このようになる行列Pとスカラーa、bが割りとしょっちゅう存在するのです。
ここでいうaやbというスカラー(数)が固有値、行列Pを構成するベクトルが固有ベクトルと呼ばれているものです。
フィボナッチ数列の場合は2行2列の行列を扱いますが
一般にn行×n列の行列にはn個の固有値と、n列の固有ベクトルがnセットあることが多いです。


 次回は具体的に行列の固有値と固有ベクトルを計算してみます。


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ｼｬｴｴｰ

バインバインふぃぼなっち(一般式の威力)

 
一番上、左辺が2つの黄金率(x^2-x-1=0の解2つ)なんですけど
ルート(「平方」根)だけが入った多項式なので、2乗しても2項で済むんですね
そうやって2乗をさらに2乗・・・としていくと128乗、つまり128番目のフィボナッチ数列の種までがたった6回の手計算で行えちゃいまして

しかも2乗する際のルールが、
 
・1項目：元の2項目の2乗に5をかけて1項目の2乗に足して2で割る
・2項目：1項目×2項目

 
と、至極単純であり、
この「種」からフィボナッチ数列を取り出す際も、2項目の分数やら√5やらをバッサバッサちぎっては取っ払った整数がそのまんまフィボナッチ数列というなんとも単純明快なものなので

0番目：0

1番目：1
2番目：1
4番目：3
8番目：21
16番目：987
32番目：2,178,309
64番目：10,610,209,857,723
128番目：251,728,825,683,549,488,150,424,261

と、あっさり計算できてしまうわけです。

最後のあたりでExcelの計算限界に達したので電卓の力を借りました＾＾
電卓の限界がいまいちよくわかりませんｗ

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PC電卓がExcelを超える日

Excel：ふぃぼなちってない　　電卓：ちゃんとふぃぼなちってる 

超える日っちゅうか一時的に超える場合があるよってだけですが
ところどころExcelは電卓の上位互換だったり下位互換だったりって当たり前なんですけどね。
120番目くらいまでいけるみたいです。
5,358,359,254,990,966,640,871,840

ちなみに、このくらい数が大きくなると
黄金率：φ＝(1+√5)/2として
Fn=[φ^n-(-1/φ)^n]/√5の2項目がほとんど意味をなさなくなって
Fn≒φ^n/√5になるんですよね。電卓で打つのが楽になりますｗ


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Excelの限界～ver.フィボナッチ数列～

 
囲った部分、途中からフィボナッチになってないの図

Excelの限界を示したつもりが、逆に浮動小数点の化け物じみた正確性を示すことになってしまったでござる
フィボナッチ数列の漸化式と一般式、間違えるところも、間違え方もまったく一緒ｗこりゃすげえ

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