トンネル効果の境界条件

とりあえず無矛盾なだけでなく、波動関数もちゃんとつながって大丈夫そうなので、掲載します。


x=aからx=bまで、ポテンシャルU=U0で、そのほかはU=0のトンネル障壁があったとして
そこにE<U0のエネルギーでやってくる自由粒子のトンネル効果の反射と侵入と透過について書きます。


波動関数Ψは、x<aをⅠ、a<x<bをⅡ、b<xをⅢとして
Ψ1とΨ2とΨ3に分けることができます。

このΨ1とΨ2が、x=aでΨの0階と1階微分両方が連続
また
Ψ2とΨ3もx=bでΨの0階と1階微分両方が連続

というコーシー境界条件を満たしている必要があるそうなので

この条件を解きます。

領域ⅠではE>Uなので、Ψ''+Ψ=0の形の微分方程式を解くことになります。

Ψ1=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx)

です。

領域ⅡではE<Uなので、Ψ''-Ψ=0の形となるので、指数の肩は純虚数ではなく実数となり
Ψ2=Cexp(k1x)+Dexp(-k1x)

です。
ここでAとCは進行波、BとDは反射波を意味しています。

領域Ⅲでは反射を考慮する必要がないため、進行波

Ψ3=Fexp(ikx)

のみの自由粒子となります。

x=aにおいて

0階微分
Ψ1(a)=Aexp(ika)+Bexp(-ika)=Cexp(k1a)+Dexp(-k1a)=Ψ2(a)

と、1階微分
Ψ'1(a)=ikAexp(ika)-ikBexp(-ika)=k1Cexp(k1a)-k1Dexp(-k1a)=Ψ'2(a)

が成り立っていなければなりませんし

x=bにおいても

0階微分
Ψ2(b)=Cexp(k1b)+Dexp(-k1b)=Fexp(ikb)=Ψ3(b)

と、1階微分
Ψ'2(b)=k1Cexp(k1b)-k1Dexp(-k1b)=ikFexp(ikb)=Ψ'3(b)

が成り立っていなければいけません。


4本の式に対して、A、B、C、D、Fの5つの変数になってしまいました。
そこで、4本の式全部をAで割り算し
B/Aを新しいB
C/Aを新しいC
D/Aを新しいD
F/Aを新しいFと定義しましょう

そうすると、以下のような連立方程式もとい行列方程式が成り立ちます。


この左辺の4行4列の行列の逆行列を、両辺に左から掛け算すれば、ただちにB、C、D、Fは求まるのですが
解析的な計算だと大変なので、クラメルの公式を使いましょう。

まず、4変数に共通する分母を求めます。

先ほど左から逆行列を掛け算しようとした行列の行列式そのものなので

こうなります。
2行1列目を消せば、掃き出し法がつかえそうなので、
2行目に、ikを掛け算した1行目を足して、2行目に代入しましょう。

②←②+ik①



そうするとこうなるので、
今度は3行3列目を消したら掃き出し法がつかえそうです。
なので、3行目から、ikを掛け算した2行目を引いて、3行目に代入しましょう。

③←③-ik②



そうすると結局、分母はこのようになります。
分母=exp{ik(b-a)}[2(k^2-k1^2)sinh{k1(b-a)}+4ikk1cosh{k1(b-a)}]



それでは次はBの分子を求めます。
Bは「1行目」なので、4行4列の「1列目」を、右辺の縦ベクトルと置き換えると、求めることができます。


先ほどの分母同様、
②←②－ik①
をしたあと、
③←③+ik②
をしていき


B→2exp{ik(a+b)}(k1^2+k^2)sinh{k1(b-a)}

を得ます。


次に、諸事情でFから計算していきましょう。

Fは「4行目」なので4行4列の「4列目」を置き換えます。



F→4ikk1
となりました。

実はこのBとF、ただ順番に文字を当てはめて、エネルギーであるEを抜かしただけなのですが
偶然にもBack(反射波)とForward(透過波)というダジャレになっておりまして

反射波の絶対値の2乗と透過波の絶対値の2乗を足すと、必ず1になるので、検算に向いているのです。
入射した波は反射するか透過するかどちらかしかないからです。

|B|^2+|F|^2=1


なので、分子は

exp(iなんちゃら)は無視して


分母もexp(iなんちゃら)は無視して、
せっかく分けた実部と虚部の2乗同士を足しましょう



この、上から下を引いてゼロになっていればいいわけですから
k1^2とk^2をそれぞれX、Y
双曲線関数の中身は全部同じなので、chとshに略記しますと

これの上から下を引きますと、第1項がまず消えます。


残りがこうなるので、4で割ってしまいますと

ch^2-1-sh^2

となります。これは、双曲線関数バージョンのオイラーの公式がありまして
ch^2-sh^2=1

となっているので、恒等的にゼロだとわかりました。

つまり、|B|^2+|F|^2=1が証明されました。


つづく

絶対トンネル許さないマンvs先っちょしみ込ませるだけだから！マン

トンネル効果の条件として、トンネル障壁の高さをゼロにするのはめんどくさいので
幅をゼロの極限に取ったら、自由粒子と同じ結果になることがわかりました。


じゃあ逆に、幅を無限大の極限に取ってみたらどうだろう？

と思ったんですが、これはどうも、普通にトンネル効果を解いてから極限を取った方が楽かもしれません。
久々に解いているので、手計算ミスが多く、今の状態では検算のための極限としてはどうも使えないみたいです


しかし十分に興味深いとは思います。
深さが有限なのか無限なのかはおいといて
井戸型ポテンシャルの左半分の絶壁＜まな板＞がごっそり消えているので
左側は少なくとも束縛されておらず
実数にされる必要もないかもしれない。複素数の螺旋を描かせてもらえるかもしれない
そんな状態で、右側の絶壁＜かなりまな板だよこれ！＞ではディリクレとノイマンの両方である
コーシー境界条件を課せられるわけで(無限深さだったらコーシーじゃないかも)
これって古典で言うところの反射じゃないですか完全に。

しかもそれが粒子としてではなく波動として描かれるわけだから
自由端になるのか固定端になるのか、とても興味があるんです

ポテンシャルの深さ次第でロビン境界条件に・・・いや違うか・・・




ところで、そんなことを考えながら運転していたら
「観測とはなにか」というテーマを思い出しまして
「観測された瞬間、井戸型ポテンシャルに入るのではないか」
という解釈が生まれましたが、まあこんな発想どこにでも落ちてますよね

ダル「オカリンって、苗字なんだっけ

まゆしぃ「オカリンは、上半分が苗字や



オカリン「人工テント…落ちたんだよな？」
ダル「だから落ちてないって

ぬいー

動物の写真

ツイッターで知り合った人たちの多くが関東圏の人なので、けもフレのファンのみなさんはがーでんに行ったみたいでした。

みなさん楽しそうでなによりでした。

僻地の僕は、こっちはこっちで、地元の友達とオフをしていて、
動物カフェにもいっときはいたのに、なんの写真も動画も撮ることなく去ってしまいましたね。
少しは撮ればよかった


ところで、ぱびりおんでは初登場の時に珍しい行動をとってくれる、珍しい行動とはのバーゲンセールのようなケツァールさんが現れてくれました。


シンカリオン土曜にやらなかったから、月曜のニコ生に期待とか、どういう論理構造してるんでしょうねえ
放送するわけないじゃんか

複素数を2次元ベクトルと見なした振り子

振り子の運動方程式
y''+(2π)^2*y=0
の微分方程式を解いた際、

時間tを変数とした関数y=A*exp(2πit)+B*exp(-2πit)の　(A,Bは任意の定数、複素数も可)

初期位置y(0)=exp(i*d1)
初速度y'(0)=exp(i*d2)
とした場合(d1,d2はともに実数、iは虚数単位)

d1-d2=nπ/2のnが奇数だったら円偏光っぽい振り子
偶数だったら直線偏光っぽい振り子
そのほか(nは実数？)だったらだ円偏光っぽい振り子となる


ようです


ファミマでガリガリ、久々に解析計算をしました。楽しかった。
今日100均で買ったペンとノートは車に乗せておこう

解決策備忘録：Excelの循環参照とnow-todayは相性が悪い

シミュレーション動画を作る上で、似たような機能であるだけに、相性が悪いのだ。


たとえば、2015/11/15の日記にあるgifアニメ
マクロ一切組まず、循環参照で行ったシミュレーションなんだが

波源の振動をインパルスではなく正弦波にするためにはどうしたらいいかと考えて
わざわざy''+y=0の微分方程式を作って解いていたが、その必要はどうもないようだ。

循環参照で
A1=A1+1

といったセルがあったとして、このA1セルをsinにぶち込めばいいだけの話じゃないか。

ことわりものフレンズぱびりおん

そうだ！モグリの数学・物理好きのために

・定理ぱびりおん
と
・法則ぱびりおん
とかいうアプリを出してみるのはどうだろうか！？


新しいフレンズ「ペロンフロベニウスの定理」「ヴァンデルモンド行列式」「テレル回転」を発見しました！あーかいぶレベルがアップしました
みたいなやつを、ウルフラムαに積むとか！

オイラーの公式が出てくる微分方程式

y''+ky=0

こいつの初期値の、初期位置y(0)と初速度y'(0)に適当な数を入れると、
実数から複素数への体の拡大みたいのが起こせます。


たとえば差分方程式にして

{y(n+1)-2y(n)-y(n-1)}/dt^2=-k*y(n)

ってして、
y0=i、y1=1ってしたら、複素平面にはみ出した振り子
つまりほぼ円になったオイラーの公式が出てきます。

初期値次第では真円の螺旋だけじゃなく楕円の螺旋にもできるみたいですね。

もちろん実数だけでやれば直線偏光みたいな振り子的解が出てきますが、
y0=±i、y1=±i(複合同順でない)とかだと、いわゆる振り子の円弧を1次元とみなすみたいな線形従属っぽい感じで
実数あるいは純虚数の振動解だけが有限になります。


今はあまり余裕がないので詳しくは書きませんが
y(n+1)=IMSUB(IMPRODUCT(IMSUB(2,k*dt^2),y(n)),y(n-1))

の式で、Excelでも出せますよ。

熱力学は非線形？

そういえば昨日の日記ですね
前にも似たようなこと考えていたことを思い出しまして。

熱力学もやっぱり非線形成分含んでるなって。
だってあいつヒステリシス起こすじゃないすか。

じゃあ非線形成分あるよね。

ただ、この非線形成分が、熱力学に根本的に備わっているのかと言われるとよくわかんね。
カルノーサイクルを使ったぽっぽ船にしても、同じシステムでカルノーサイクルは起こせる
ただ、それが純粋に熱力学のおかげなのか、あるいはシステムを構築する中に摩擦を含んでいるから、だとかそんなんなのかが、よくわかんないんだよね



ヒステリシスといえば、前にシュミットトリガのバッファなんかを普通のインバータをコンパレータ(オペアンプ)と抵抗で再現するってのを、どっかのサイトで回路図を見て
僕もやろうと思ったんだけど頓挫して
結局あれはなんだ、なんでヒステリシス起きるようになったのかよくわからん
いつもうろ覚えになるんだけど、回路図見るとダイオード入ってないんだよな。
かといってコンパレータに非線形性を求めるのもどうかと思うわけで

理想のオペアンプはコンパレータと同じで、線形増幅器って見なされてるんだよな
中身がトランジスタだとしてもよ

(増幅率がどのくらい有限なのかとかの現実的な問題で、コンパレータとして用いるかオペアンプとして用いるかが変わってくるらしい)



いやこれ考えるといつも別のこと考え始めちゃうんだよな
構築した外部パーツとしての抵抗で消費するエネルギーと、構成したシュミットトリガのヒステリシスが消費するエネルギーって、どう関係するのかっていうやつです



ああそうそうヒステリシスといえば、メモリスタも変な立ち位置ですよね。
インダクタンス、キャパシタンス、抵抗に次ぐ第4の受動部品ってポジションの癖にヒステリシス特性持ってて、ヒステリシス持ってるから記憶もする、まさにメモリスタ。記憶するレジスタ。
いやいやレジスタは元々記憶するじゃん。あれじゃねえよ。デジタル部品じゃなくて
レジスタンスのほうのレジスタ。

経済と一方通行と非線形

経済にはどうも、「プラスだけ見てマイナスは見ない」などといった、一方通行性が根本から潜んでいるように思える。


そして、経済はどうしても必要とされてしまうようだ。

たとえばパクツイ問題
たとえ無償のやり取りであっても、「無断転載を禁止したくない」という流れにはどうしてもならない。
極黒のブリュンヒルデのようにソーサリアンに俺はなる！

ってなった結果、人類から「神」ではなく「パクられることに対する嫌悪感」を取り除いたとして
しかしソーサリアンにはなれない。

聖杯が優勝者に思考実験をさせて、ソーサリアンにできなくしているのだ。


パクる理由が善意だけとは限らんだろう？と囁くのだ


ここで、やはり一方通行性が出てくる。

これはなんだろう、エントロピーの増大に似ているのか
それともラチェットやダイオードのようなものなのか。


ダイオードの一方通行性は非線形に由来する。

ラチェットの一方通行性も、どうやら摩擦という非線形性からきているようだ。

エントロピーに関してはまだ僕はよくわからない


なぜかいろんなところに根源的に現れ(ているように見え？)る一方通行性や非線形性
一体どうしてそんな根本レベルから生えているのか、不思議に思える。


宇宙はそんなにシンプルじゃないのかもしれない。
もしそれを僕が受け入れられたとして
僕はそんなことは気にしていたくない。
宇宙がどうあろうが、僕自身はシンプルなのが好きなんだ

工業用エイプリルフール

4月1日に作られた製品は雑なので、全部廃棄する前提でみんなテキトーに仕事する


生物も例外ではなく、1年分未熟な子供として成長させたいため
日付変更線が4月1日と3月31日の間ではなく、4月1日と4月2日の間に存在するのだ


知能を持った生物は存在しない
それは無生物と呼ばれるからだ

炭素「お前は希ガスだから電子の穴をほじくってスッキリしたことがないんだ」

アルゴン「え、でもぼく、リチウムだったときの記憶ありますよ？」

炭素「まじで！？」

ゲンム社長のグレードゼロを見た日

結局クレードゼロってなんなのよ？
って思った。



意味というより、語源ですね。あのネーミングなに由来だったの？


仮面ライダーエグゼイド　けものフレンズ　ジーンダイバー

止まっていた時間が動き出す？のんのんびよりあんこーる！

てさ部

れんちょん「今回はどうすんの？」

ほたるん「どっち？って、女の子だらけのゆるふわ路線か、男子も混ぜるパターンかどうかってことですか？」

れんちょん「そうじゃなくて、毎回同じように時間が流れるパターンか、違う時間が流れるパターンかってことなのん」

ほたるん「そうでしたね、2期はとりあえず繰り返すパターンで行ったんでしたっけ。今回はその続きを描くパターンで行きましょうか」



男がいる世界と男がいない世界を重ね合わせたどころか
時間がループする世界とループしない世界も重ね合わせやがったのんのんびより
一体なんシュタゲーポプテピピックなんだ！？


カメラが下からグリッドマングレイトマンしてストレートタイトルロボットアニメがドーン！

小さなキャンプ

みくろキャン.ExEストリーミング