トンネル効果の境界条件3

昨日、トンネル効果の壁の幅や高さについていろんな極限を取ったのはですね
久々の計算だったので、検算のかたわら、というのがあったんですよ。

壁がない状態にして自由粒子状態にしたり
右側しかない井戸型ポテンシャルみたいにしたりして
定性的に納得できるところまで落とし込んでみたんです。

もちろん、その中には、透過波＋反射波＝１というのも常に含まれます。


複素行列の計算なので
Excelでできなくはないのですが大変ですし
scilabは使ってました。
（Excelにある複素数と行列は、複素行列として合体できる仕様にはなっていないのです）


MATLABに似たコマンドたちがうごめく、あの数値計算に特化したプログラミング言語？です
ただし現在のMATLABとは違ってscilabはフリーです。
また、MATLABとは似てるんですが、互換性はないといわれているそうです。
あと、有志のみなさんが作ったものなので、バグや冗長性がまだ潜んでいることがあるようです。
まあフリーツールなので大目に見てね、みんな自由に生きているって感じですね。



さて、scilabの画面を見ると、閉じていないので、一見、プログラミング言語のように見えないかもしれません。

しかし、SCINOTESという、閉じたファイルにすることもでき
そういう見方をすればだんだんプログラミング言語っぽく見えてくるかもしれません。

ただし、実行ファイルが作られるわけではありません。
(作ったファイルからデータを出したり入れたりすることはできそうな気はします)



この式はscilabで、kやk1、aやbに適当な数値を入れて検算しました。



＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

k=2,k1=4,a=2,b=5

a11=exp(-%i*k*a)

a21=-%i*k*exp(-%i*k*a)

a31=0

a41=0

a12=-exp(k1*a)

a22=-k1*exp(k1*a)

a32=exp(k1*b)

a42=k1*exp(k1*b)

a13=-exp(-k1*a)

a23=k1*exp(-k1*a)

a33=exp(-k1*b)

a43=-k1*exp(-k1*b)

a14=0

a24=0

a34=-exp(%i*k*b)

a44=-%i*k*exp(%i*k*b)

a15=-exp(%i*k*a)

a25=-%i*k*exp(%i*k*a)

a35=0

a45=0

a1=[a11;a21;a31;a41]

a2=[a12;a22;a32;a42]

a3=[a13;a23;a33;a43]

a4=[a14;a24;a34;a44]

a5=[a15;a25;a35;a45]

B=det([a5,a2,a3,a4])

C=det([a1,a5,a3,a4])

D=det([a1,a2,a5,a4])

F=det([a1,a2,a3,a5])

G=det([a1,a2,a3,a4])
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
このように、scinotesに書いてます。

横ではなく、縦に並べているのも、可視化のためで

上2行のexpにはa、下2行のexpにはb
奇数行目の次元は無次元、偶数行目の次元は波束kの次元

1列目と4列目と5列目にはexpにkが、
2列目と3列目にはexpにk1が入り

2行目、4行目、5行目のexpの中身はプラス
1行目、3行目のexpの中身はマイナス

2,3列目の係数は4つのうち2つがプラスでもう半分がマイナス

という対称性みたいのを割りとあてにしてました。

B,C,D,Fは列ベクトルとして
[a1,a2,a3,a4]の逆行列をa5の列ベクトルに左から掛け算すればそれはそれで計算結果は出るのですが
解析計算での4次行列の逆行列は面倒で

クラメルの公式を使っていたため分子と分母それぞれで確かめておきたく
scilabでもそのようにしてました。
｛()^(-1)(B;C;D;F)にdet([a1,a2,a3,a4])を掛け算するという方法もありっちゃありでしたけどね｝
そのために、一旦列ベクトルとして縦に並べてから、その列ベクトルを
[a1,a2,a3,a4]などとあとから横に並べて行列にするネスト形式を取っていました。
(横から縦、ではなく縦から横にボトムアップした)

C=det([a1,a5,a3,a4])
G=det([a1,a2,a3,a4])
C=C/G
のようなことが簡単に行えますからね。


この段階で、解析計算とscilabの結果が無矛盾となっても、
前提がそもそも間違っている可能性が否定できなかったので、
ちゃんと波動関数としてつながるのを確認するまで、掲載は控えていました。

それでトンネル障壁の極限を取りつつ、楽なほうから検算を行っていたのです。

また、k=2、k1=4、a=2、b=5などというパラメータも、決して褒められたものではなく
大きな数値が出てしまうため丸め誤差などが気になっていました。
exp(+)とexp(-)を加減算するわけですからね、一見合っているように見えても
微妙に間違っているかもしれません



つづく