偶奇置換とレヴィ・チヴィタ記号

3個の要素を持つ列v1に置換操作σを施してv2にする演算を

v2=σ×v1

としたとき

ε(v2)=sgn(σ)ε(v1)

となるのは、要素数が少なかったからしらみつぶしが楽だったが

n個の要素一般に言えるのかどうかは確かめようがあるのか？

と思っていた。

しかし、4つ以上の足を持つレヴィ・チヴィタ記号(エディントンのイプシロン)の定義が
要素3つのときとは趣がちょっと違っていて
定義からモロに偶置換と奇置換(sgn(σ))だったので

任意の個数nについても同様に

ε(v2)=sgn(σ)ε(v1)

が言えそうだ。



というのも置換操作の例題を見て
列の左から作用させるのに、僕は勝手に右から作用させてしまって
例題の時点で答えと違っていて先が思いやられると一瞬嘆いたりして戸惑ったのだったが

3つの要素の置換を見て左右どちらかというのに気づいたきっかけが
置換したあとの列が、左から作用させても右から作用させてもイプシロンが不変というところからだった。


こうなったらただでは起きないぞと思い
行列の行列式やベクトルのノルムのように
置換に対しても何らかの固有の(数の集合体を代表する単一の)数があるのではないかと思って、

εとsgn(σ)の関係に相当するものがないかと考えてみた次第だった。






＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
添え字が3つのイプシロンは順方向とか逆方向とかで定義できたが
添え字が4つ以上となるとそうはいかず
別のアプローチが必要となる。

たとえば
ε1234=1のとき
ε1234の1ペアだけを入れ替えて、
ε2134とかε1243とかにした場合はε=-1となる。

これは要素が3つだけの
ε123=1のときも
ε213=-1
について、「逆方向」のアプローチのほかにも
「2と1だけを入れ替えた」と見なすことができる



また、置換σは、2つだけを入れ替える置換に分解することができ、
その分解した置換の個数の偶奇で色々なことが評価できるらしい