正三角錐⊇正四面体の体積をヘロンと重積分で計算

三角錐ってカッチョイイですよねえ´皿`
 




これってよく見れば、三角錐じゃないですかー
正四面体ではないですけど、正三角錐ですよねー



この体積は、少なくとも
・底面積×高さ／３
と
・重積分
の2通りの方法で求めることができますよね。


まずは重積分をやってみましょう。

x+y+z=aの平面がxy平面、yz平面、zx平面で区切られた部分の面積を求めればいいわけですから


体積V=∫∫zdxdy　になりますよね。
ここで注意しなきゃいけないのは内側のxによる定積分の範囲です。
0～aではなく、0～a-yなんですね。

 


次に、この正三角錐の底面である正三角形の面積を求めましょう。
頂点の座標をA(a,0,0)、B(0,a,0)、C(0,0,a)、O(0,0,0)として
|AB|=|BC|=|CA|=a√2
なので、ヘロンの公式に入れて

s=3|AB|/2
s-|AB|=|AB|/2

底面積Sは
 

一方三角錐の高さは、O(0,0,0)からR(a/3,a/3,a/3)までの長さ|OR|なので



体積VはV=|OR|×S/3なので、



整合性が取れましたね＾＾

というのも、どうして”錐”だと底面積×高さを”３で割る”のかいまいちイメージしづらくて
理由の理解はともかく、”３で割る”という事実をはっきり覚えたかったのです。

三角形の「底辺×高さ／２」ほどはっきりイメージしやすくないじゃないですか。
三角形の場合は「長方形の半分の面積」っていうイメージがあるのに
三角錐の場合は「直方体(六面体？)の１／３の体積」っていうのがどうもいまいちピンとこないのです。


それにしても不思議なのは
重積分を使うと終始有理数で計算が完結するのに
底面積と高さで計算すると一旦無理数が絡んでくることですよ。
これを逆手に取って、モンテカルロ的な方法で√3を近似することができやしないかとか思ってみたりして。




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