複素積分

ここんとこ、割りと毎日「複素解析」の演習問題に手を出せているので嬉しい。


20年前くらいにやった複素積分や留数定理をリベンジしようと本を買ったんだけど
まさか、複素積分の手前に複素微分があるのをまったく認識していなかったとは思わず
自分で呆れかえってしまった。


しかし、積分が出てくるまで、この複素微分、どう応用したらいいのか全然思い浮かばない。
だから当時は習っても簡単に忘れ去ったのかもしれない。


「領域」や「正則」、「線(経路)の媒介表現」など、よくわからずに習った部品が次々と合体していく。コイツはアツい！フルパワーグリッドマンだ！！

nを整数、aが複素定数、zを任意の複素変数とすると
aの周りにおいて(z-a)^nをzで積分した場合

n=-1でだけ積分値が2πiになり、それ以外のnでは0になるという、大変お得な定理の証明を習った。
なお、(z-a)^nは正則な関数である。(らしい)


たぶん、そのうちこれを部分分数展開とかやって、留数定理に持っていく算段だろう。
少なくともフーリエ・ラプラス逆変換には応用が利くし、
ベクトル解析とのアナロジーも結構あると思う


そいで、この証明がまた萌えるもので
まるで直交関数系みを感じてすこなのだ。


いつもファミマで数式いじってるので、書類が車の中にあってうろ覚えなんだけど


と置いて、複素数zではなく実数tについて積分するんだったっけな
置換のための準備としてzをtで微分しておくとこうで


n≠-1の場合は

n=-1だったら

な？なかなか直交関数系みあふれるじゃろ？＾＾



ためしに、1/zをz=0周りの正方形の経路で積分した結果も載せたかったけど明日にします

20年ぶりにようやく実体がつかめるようになりました。