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20080511～
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
複素行列関数にしてしまえ
アークタンジェントに入れたいですねえ、エルミート行列とか。 いや、パウリ・ゲルマン行列のほうが結果がはっきりしてていいかな それか、中身はユニタリ行列でしょうか なんか対応するいい物理現象ないっすかねえ ところで、昨日書いたブログに一部訂正があり、今日一日ダルいモードでした。 ローレンツ変換の行列の行列式を計算するのに、余因子全部足したら4になったんです。アホか。 行か列どっちかを1列あるいは1行選んで、足せばいいだけなんですよ！ だから、いつぞやのブログのサブタイにもつけただろうに(そうだっけ？) OR(and(行,列),xor(行,列))だと。 おい、今すぐカルノー図に書いてまとめて提出したまえ、それただのORやぞ！ ああ、そういえばですね 行列ってのはハイブリッドパラメータを見るとわかる通り、1つの行列に許容できる物理量の次元が自由すぎて 母性がハンパないんですが たとえばキルヒホッフの法則を例に取りますと Rを行列、VとIを縦ベクトルとして V=R・Iの(行列)連立方程式版オームの法則が成り立ち Rの物理量は抵抗の物理量で統一するなんてことも可能なのです。 それを踏まえたうえで、Rの逆行列を求めますと Rがたとえば4次だったとして det(R)の次元が抵抗の4乗 adj(R)の次元が抵抗の3乗 inv(R)=adj(R)/det(R)の次元がちょうど3-4でマイナス1乗 どうも不思議な次元のやり取りをしているなと思ったんです。今更。 n次のキルヒホッフな抵抗(インピーダンス)行列だったら detがn乗で、adjがn-1乗で、invが計マイナス1乗のオームとなるわけですよ。ω。 なんつーか結果オーライな必然性を感じるのです その辺ちょっと、1/r^2→r/|r|^3なクーロンの法則とは違いますよねぇ
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固有値・固有ベクトルの観点からパウリ行列・ゲルマン行列の行列指数関数・SU(3)やSU(2)、SO(3)、クォータニオン、ロドリゲスの回転公式と回転行列などとの関連についてこれまでブログを書いてきた僕ですが
行列に関してまだいくつもの弱点を抱えています。 なんと、 3次以上の逆行列と、4次以上の行列式の求め方を忘れてしまいましたｗｗｗｗ そこで、余因子について覚えなおしてみました。 4次以上の行列式に、サラスの方法は適用できません。 したがって、多かれ少なかれ余因子展開を必要とします。 どこかにいいカモとなる物理現象は転がってないかなぁと探してみると、 相対性理論に漂着しました＾＾ ここに、ローレンツブーストという行列があります。 この行列をAとし、逆行列を求めてみましょう。 そのためには、Aの行列式を求める必要があります。 4行4列なので、サラスの方法は使えませんので、余因子展開を用います。 2行目2列目の「1」に着目してください。 その1以外の行と列にゼロ以外ありませんね？ だからボンバーできます。 このときの符号はプラスです。1行目1列目から、1マスずれるごとに符号が反転するので、奇数マスだけマンハッタン移動したらマイナス、偶数マスだけマンハッタン移動したらプラスになります。 あとえばこの「1」が2行目2列目ではなく2行目3列目だったらマイナス、 3行目3列目にあったらプラス、といった具合です。 もし、着目した列か行の中がゼロでなければ、その分の余因子展開を足しますが 今回はすでに掃き出し法を終えた状態とみなすことができるでしょう。 ここで、訂正とお詫びがあります。 以前、何を血迷ったかローレンツブーストはユニタリ行列ではないといいましたがあれは嘘でした。ごめんなさい ユニタリです。それも特殊回転群でした。orz行列の中身は実数(ユニタリ→回転)で、しかも行列式の絶対値ではなく行列式そのものが1になります(特殊がつく)。 行列式|A|(あるいはdet(A))が求まったところで、 いよいよ逆行列を求めましょう。 ここにも余因子が出てきます。 行列Aの余因子展開をadj(A)と書くと 逆行列はこのようにあらわされ クーロンの法則をベクトル解析で表現するのに似ていますね。一旦スカラー|r|^3で割っておきながらベクトルrを分子に掛け算 行列Aの中身がたとえば このような4行4列の場合、adj(A)は で与えられます。tは転置行列の意味なので、行と列を入れ替えます。 この各要素につけられた符号が、まさに余因子的な名残を醸してると思いませんか。 マイナス1の、マンハッタン移動コマ乗した符号をつけるのです。 4行4列の行列式を求めたい場合は、この16個の要素を分けずに全部足すのです。 一切掃き出し法を行わずに展開したい場合はそうなります。 で、計算してみますと、こうなります。 まさに逆回転行列の双曲線関数バージョンですよねｗｗｗｗ  にほんブログ村
現実がつまらなかったんで、ムシャクシャしてやった。
テイラー展開できるならだれでもよかった 指数関数の中に行列が入れられるなら、ほかの関数だっていいじゃない。 ただ、三角関数には興味ありません。だって指数の影でしかないもん。 ということでアークタンジェント。 ▼まあ三角(逆)関数なんですけどね。▼
数日前からハマっている、星型多角形の面積
たとえば五芒星は5/3かっけーや5/2かっけー。 整数かっけーの面積は、sinc関数に素直にぶち込めばよかったが 有理数かっけーの面積はそうもいかないようだ。 正五角形の面積は、以下の図のような考え方で、sinc関数に行きつく。 この赤い三角形が5枚あるわけだ。θもπラジアンを2倍して5等分しているので、ちょうどsinc関数になる。 次に、五芒星と呼ばれる形の面積 今度は、頂点を1つか2つ飛ばして線を結ぶので、角度が360°を5等分してから2倍や3倍することから、5/2かっけーや5/3かっけーと呼ばれる。 この面積は、素直に5/2や5/3をsincにぶち込んでも出ない。 以下のように考える。例は5/2かっけーだけだが、5/3かっけーでも同様なので、考えてみてほしい。 角度は確かに、2倍や3倍されている。 が、三角形が5/2や5/3枚分ということはなく、5枚、あくまでも整数だ。 そして、5枚重ねるとダブってしまうのだ。 ちょうど、正五角形1枚分に相当する。 この正五角形の面積は、元来の正五角形よろしく、半径だけが異なる円に内接しているので、同じ考え方で求めることができる。 そこで、この小さいほうの円の半径を計算する必要性が出てくるわけだ いかなるn/mかっけーの内側にある半径も出せる汎用的なものを考えなければキリがない。 さて、5/3かっけーの場合、どのように考えただろうか。 同じ形のはずなのだから、面積も同じはずだ。 しかし、人によっては絶対値は同じでも、マイナスの値になったりしていないだろうか 実は、sinc関数に素直にぶち込んだ際も、5/3かっけーのようにnかっけーのnが1を下回ると、マイナスになってしまうのだ。 おそらくこれに関しては、単純に絶対値をつけて面積としてやればよいだろう こちらの場合ももちろん、絶対値も素直なsinc関数通りにはならない。 5/3枚重ね合わせてるわけでもないし、さらに正五角形の面積を引き算してやらないといけないからだ そもそも変数が5/2(あるいはその逆数)と5/3(あるいはその逆数)とでは、sinc関数の絶対値が異なる。同じ形なのに面積が違うというのはおかしいではないか。 ７芒星ともなると、星型は2種類作れる。 素直に求められる面積も異なり、内側にダブる正七角形の半径も異なってくる。 どこかのブログで見かけた言葉だが、太った７芒星や痩せた７芒星というのはなかなか巧妙な表現だと思う。 n芒星(というかn/mかっけー)の種類の数は、n/2までの間に既約な整数がいくつあるかに依存している。たぶん ９芒星の場合、n/mかっけーにn=9、m=3、つまり9/3かっけーは含まれない。 星型としてはあるにはあるのだが、これを入れてしまうとなかなか煩雑になってしまうのだ 前から言ってるけどこんなん。↓↓ にわかには一筆書きできなさそうなアレ(一筆書きできないとは言ってない) そういや 偶数かっけーの星型もあるんだよなー ちょっと眼中になかったから、これから考えるー  にほんブログ村 65537芒星の種類の数ｗｗｗｗｗ 65536次方程式の判別式とかどうすんだよおい・・・65536行65536列のエルミート行列の固有値にしたって、パソコンが死んでしまうんじゃないのか
あ、そういえば。
案の定疲れて今日はかけずじまいなので、忘れないうちにせめて定性的な概略だけでも書いておきます。 昨日また眠れなくて、布団の中でケータイのスケジューラに数式ぶち込んで考えてたんです やっぱり枕元にタブレット端末があると便利ですね。 google電卓にはいつもお世話になります たとえば五芒星、これは5/2角形(2分の5かっけー)や5/3角形(3分の5かっけー)などとも呼ばれますが これをそのままsinc関数にぶち込んで面積としてもダメです 何がダメかというと、sin(πx)/x=n*sin(π/n) としたときに、nをそのまんまn=5/3やn=5/2としてぶち込むのがダメなんです。 五芒星の中に入っている正五角形の面積がカブる問題もそうなんですが、それ以前に sin関数の中身としては5/3や5/2は用いられても、 sin関数の外側に掛け算する際は、あくまで「5倍」しなきゃならないんであって 5/3倍や5/2倍ではないということです。 (5/3)*sin(3π/5)ではなく5*sin(3π/5)とか (5/2)*sin(2π/5)ではなく5*sin(2π/5)とかそんなかんじ たぶんそうなんだと思います。 ただし、これでもまだ正五角形の面積がダブってます あと、sin(π/n)ではなく|sin(π/n)|のような気がしてきました sinの外側は、なんかこう、床関数めいたアレなんじゃないかな・・・ すごくもやもやするけど！ n芒星の面積をn/mかっけーで表現すると S=n*|sin(mπ/n)|-(r^2)*n*sin(π/n) こんな感じじゃないすかね 追って報告したいっす ７芒星に関しては種類がいくつかあるので 7/2かっけーや7/5かっけーはこのままでもいいと思うんですが 7/3かっけーとか7/4かっけーのことはまだ考えてません 素数/mかっけーの場合、分子が増えると分母mのバリエーションも分子の半分くらいまで増えますからねえ sinc関数の整数から有理数への拡張、破れたり！(修正を強いられているだけなんだ！)
正5/2角形の星形の面積をまず考えてみました。
妙に大きいのはおそらく、五芒星の内側にある正五角形の面積がダブっているからのようです 次に、5/3角形の面積を考えてみました。 5/2角形と形は同じなんですが、sinc関数にぶっこむとこれが5/3かっけーのときと値が違ううえにマイナスの値をはじき出しやがるのです 詳しい計算は病院の待合の時間内にはできませんでしたが どうやらマイナスになるらしいという定性的な理由は得ました。 もし、面積が正の数であるという制約を設けるのであれば、sinc関数の絶対値を取るべきかもわからんですね。 S=|sincx|=|sinx|/x 底辺×高さ÷2の底辺がそのままに、高さの向きが上だったら面積がプラス、下だったらマイナスという感じのようです 最終的には、5/2かっけーと5/3かっけーの面積が同じであると結論付けられる日を夢見て。  にほんブログ村
正・既約な有理数かっけー
なんか、delボタン連打じゃなくて長押しで再計算できちゃったので 楽させてもらったついでに、コマの取り方も雑にしてみました。 したがって、n芒星の形と右上に書いてある文字が、1つくらいずれていることがあります。 n,mを整数として、正n/mかっけーが、n芒星となりますが nに約数が多いと、約分されてほかの星型になってしまったり、星型にすらならなくなったりするので、必然的に種類数は少なくなります。nとmが互いに素、つまりGCD(n,m)=1となるときだけを抽出してます。 素数芒星の種類の多さは異常 ただ、この方法だけだと こういうのとか こういう、「にわかには一筆書きできるように見えない(実際には一筆書きできる)」やつが表現できないんだよねぇ やり方を説明している余裕は今日はありませんでした。 たぶん明日はもっと余裕ないと思います  にほんブログ村
546を例に、2と3と7と13の倍数の見分け方を見ていきましょう
2の倍数の見分け方：下1桁が偶数 6が偶数なので、546は2の倍数です 3の倍数の見分け方：すべての桁を足して3の倍数 5+4+6=15が3の倍数なので、546も3の倍数 追加：1+5=6が3の倍数としてもいいです ちなみに、割り切れるかどうかだけではなく3で割ったあまりや 9で割ったあまりにも同じ方法で通用します 1+5=6なので、546を9で割ったあまりも6で 7の倍数の見分け方：下1桁を2倍して残りの桁から引いて7の倍数 6を2倍して12、この12を54から引いた42が7の倍数なので、546も7の倍数 13の倍数の見分け方：下1桁を4倍して残りの桁に足して13の倍数 6を4倍して24、これを54に足して78 これだと13の倍数なのかまだわかりづらいので再度 8を4倍して32、これを7に足して39 これが13の倍数なので546も13の倍数 この見分け方の場合、39に収束することが多いです 7や13で割ったあまりに関しては、この方法は通用しませんのでご注意ください。 あくまでも割り切れるかどうかの判定だけです。 下1桁を2倍とか4倍とかしちゃってますからね。 11や3や9の倍数の見分け方と、 7や13の倍数の見分け方は、根本的に異なります。 まず、見分けるための手順の収束方法が大きく異なり 7や13の場合、桁が大きくなると膨大に時間がかかるのに対し、3や9や11ではさほど時間がかかりません 10進法タイプ：2や5のべき乗の倍数の見分け方もまた異なります。 これも大きな数を見分ける場合、膨大な手間がかかります。 10進法ではあまり使われる用途がないでしょう 特に2の倍数かどうかについては、ほとんどの実用的n進数のnが偶数でできているため、まず用いる意味がないです 公約数が同じ、6006や18018でもぜひやってみてください  にほんブログ村
やったのかやってなかったのかわからない。
単に寝てただけなのかもしれないけど 生物の選択肢すらなかったから、授業が存在しなかったって説も捨てきれなくて困る どうも確率は苦手だ。 仕事関連とかで、「確率が与えられている場合」の対処方法はある程度なんとかなってきた。 が、「こうこうこういう状況で、確率を与えよ」系のことがどうにも弱い 量子力学に憧れてる割りには変な弱点だと自分でも思う。 ただ最近、その確率の「与える系」の問題を、なかば嫌々ながらも、仕事して飯食わせてもらいながら勉強できそうな環境になってきた。 非常にありがたいこってす 参考書の代金がマイナスなんです。嬉しいですねえ あわよくば、自分が仕事で計算しているその「答え」、過程は仕方ないにしても「答え」だけでも、拝借できれば、嬉しいなぁ（ﾁﾗｯﾁﾗｯ
いやだめだろう
ホール素子で発生する電界を、向きはあってるんだけど逆に答えたことがある 行列式の掃き出し法、ちゃんと習おう。 今まではとにかく固有値問題がほとんどだったから、符号とか係数とかどうでもよかったけど やっぱ不十分だ。実際困ってるじゃないか だからローレンツブーストだかローレンツ変換だかで(特殊？)ユニタリじゃないとかわけわかんないこと言い出すんだ なんでExcelに入れたときのdetと手計算のdetが一致しないのか意味が分からない 習おう
上下の？が上＝９、 下＝１４、左右の？が左＝１２、右＝２だったら確かに解はないんだけども 青い四角の左上＝ａ、右上＝ｂ、左下＝ｃ、右下＝ｄとおいて行列にしたところで 逆行列が存在しない、つまり(分母となる)行列式＝ゼロとなるだけでは解なしには不十分だ。 たとえば、 上下左右の？を 上＝下＝０、左＝右とするなら、解の数はゼロどころか無数に存在することになる。(どうでも永年方程式) つまり、逆行列が？／０(発散)ではなく、０／０(不定)になるように分母だけではなく分子の行列式もゼロに設定すればいいというわけだ。 ａ＋ｃ＝ｅ  にほんブログ村
字が汚いうえに、どうも手計算のときと数式エディタのときとで、方針が違うみたい。
ジョルダン標準形の例題をやろうとしてたんだけど、 5問中5問、固有ベクトルを求める前の、固有値を求める方程式の時点でケアレスミスしてんじゃお話にならないっつうことで Excelの数式エディタで解析計算してみた。 今更になって気づいたんだけど、 行列式は固有値の積なんだから、それをパズルのピースとしてヒントにしない手はない ある意味、数独や因数分解のように、かけてdet足してtrになるものなーんだ！？状態じゃないか。 なーんだ。 こういうとき、数式エディタの下地がワードとかじゃなくExcelだと便利だよね。 すぐ下を計算用紙にできる。 mdeterm(てさぐれ！ラムダもの) この行列式はね、固有値を試行錯誤すること自体が活動目的なの。 なんなん！？０ｗ０ ナン大臣です」「あ、偉くなった  にほんブログ村
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ＨＮ：
量子きのこ
年齢：
43
ＨＰ：
性別：
男性
誕生日：
1981/04/04
職業：
WinDOS.N臣T
趣味：
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介：
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます 例：H→7番目、XP→15(P)×26＋23(X)=413番目。 A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいｽﾞｺｰ
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