パウリ行列とクォータニオンの関係性、すんませんかなりありました。

似てるけど微妙に違う。そう思っていた時期が僕にもありました。

クォータニオンの3つの虚数単位大文字のI、J、Kを
パウリ行列の小文字の1つの虚数単位iと、パウリ行列σで表すと

I=-iσx
J=-iσy
K=-iσz

U1=(t1;x1,y1,z1)=(t1;V1)とU2=(t2;x2,y2,z2)=(t2;V2)の積は
U1U2=(t1t2-V1・V2;t1V2+t2V1+V1×V2)
  


完全に一致。
iのn乗だけズレてたなんてこともなかった！

な、なんだってー！？
マイナスのiをかけて定義する。その発想はないわ・・・そのわずかな情報がプライスレス＞＜そわぷ


こうするとおそらく、Q=(cos(θ/2);nsin(θ/2))とその複素共役Q*でサンドイッチで、Excelでもジンバルなしの回転系がすんなり行けるわ。なんてこった。


最初から数式イヂッタで追えばよかったorz手で書くと字ぃ汚ねーわ途中で間違えるわ。
むやみに紙媒体に頼ったおかげで風邪引いたわ。くそう



 
そのうち↑コレ↑も適切に処理してやっからな！覚えてろよー！！

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ベクトルとクォータニオンとパウリ行列とガンマ行列とガンマ関数と次元のミョーさとセカイの支配構造についてぶつぶつ言う

 
ある日のことです。パウリ行列同士の掛け算をしていたのです。
たとえばσx・σyをしたらiσzと、純粋にσzになるんじゃなくてiがかかるんですよ。純虚数なんすよ。
あれぇ～？って思ったんです。

x方向の単位ベクトルIとy方向の単位ベクトルJをかけたら単にKじゃないですか。
iKじゃないじゃないですか。


なんで虚数単位iがつくんだろう？
と思って試しに、σx＋σyとσxを掛け算してみてわかったんです。


あ、そうだ思い出した
σx同士の積つまりノルムは単位行列E。つまり実部のみ。


ってことはですよ
実部が内積(スカラー積)で、虚部が外積(ベクトル積)なんですよ。


あーこれはどこかで見たことがある。
4元数、クォータニオンですよ！


クォータニオンのI、J、Kは単位ベクトルではなく3つとも虚数単位で
I・J=-J・I=K
J・K=-K・J=I
K・I=-I・K=J
で、ある意味虚数単位がかかった単位ベクトルといえるかもしれません。
(虚数単位自体が単位ベクトルのようなものになっていますが)


しかし通常扱うベクトルと異なるのは
I・I=J・J=K・K=－1なのです。
1ではなくマイナス1なんです。
ここはパウリ行列とも符合が異なりますね。
パウリ行列だと σx・σx=  σy・σy=  σz・σz=+E
ですからね。


クォータニオン：
I・J=-J・I=K
J・K=-K・J=I
K・I=-I・K=J


パウリ行列：
σx・σy=-σy・σx=iσz
 σy・σz=-σz・σy=iσx 
 σz・σx=-σx・σz=iσy 
と、虚数単位がつくのにも注意なんですよ。


しかしパウリ行列とクォータニオンが類似していて従来のベクトルと異なる点は
内積と外積を両方含んで（元は複数ですが）1つの計算結果として表すことができる点です。
だからベクトルと違って割り算もすんなり計算できちゃうんですよ。(有理化が必要でしょうけど)


つまり、任意のパウリ行列(t1;V1)と(t2;V2)で表したもの(V1とV2は普通のベクトルと考えていいです)
の積が

なのに対して

任意のクォータニオン(t1;V1)と(t2;V2)同士の積が

こうなって、微妙に係数(虚数単位)や符合が違うんですよ。
それ以外はそっくりなんですけどねぇ。
結論：ベクトルとクォータニオンとパウリ行列系は全部微妙に違う。

というか、パウリ行列とクォータニオンの関係がやっとわかってきました。
単にざっくり似てるって意味だったんですね。

「直交関数とベクトルの直交」に似たような数学的ざっくり感ですね。



＝＝＝＝＝＝＝
 
にしてもミョーに思うのは、なんで1つハブられながらも4つワンセットでｱｯｶﾘｰﾝなのかってことですよ。
3次元空間(4次元時空)を強いられてるんですか我々は？
物理が数学に強いられてるんですか！？
2行2列の中に複素数を入れて4元数っぽいのもなんっか変ですし
この実数や単位ベクトルみたいなオマケは一体なんなんですか？
時間でいいんですか違うんですか。

 
ガンマ行列や計量テンソル見てても思うんです。
時間が空間とちょっと異質なのはどこからなのかと。
パウリ行列の時点で既にあなたとは違うんですって主張してるのか
それともガンマ行列の時点で主張してるのか


「仮に5次元に住んでいる人がいてこれを5次元人だとしましょう」
って仮定がそもそも成り立たねーし！そんなもしもはない！存在しない世界なんだぁ・・・ってことなんすかどうなんすか！
にしてはガンマ関数は非常に具体的に高次元を匂わせますよねぇ・・・セカイは人類をぬか喜びさせるのが好きなの？

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3階のテンソル？で理解する日常系百合アニメ

テンソルと聞くと、行列を思い浮かべる人が多いらしい。
しかしそれはあくまで2階のテンソルのことで
0階のことはスカラー
1階はベクトル
というように、多次元に数値を散りばめた配列のようなものに、より近いっぽい


しかしながら、ただ単に「テンソルは多次元配列です」というわけでもないようで
そこんところは技術系出身の身としては日本語でおｋな感じの、wikiを見ても抽象的すぎてよくわからない感じだったりする。


憶測でしかないのだけど
もしかして、「演算の定義も含めた多次元配列」といえばおｋなんだろうか？よくわからない
漠然としすぎて困る


たとえば行列なら

これは計算できるが、順序を入れ替えたコレ↓
 
YHN行列はひだまり数1のひだまり粒子の混合振動を記述する。
2008年、ヒロさんとなずなはヤマブキ物理学荘を受荘した。


は中身が異なるどころか定義すらできない。



行列の演算は、演算の左側の列数と、演算の右側の行数が一致して初めて計算可能なのだ。


じゃあこれを3階のテンソルにしたらどうなる？
もし行列の延長のようなルールで掛け算をするとしたら

しまったタヌキのミドリがどっかいった！一番お気にのキャラなのに！！・・・と思ったがお気にはカメのアユミだった。
ミドリは最初から忘れてたっぽいorz

↑これはおｋで
↓これはんｇということになるだろうが


これ
と、
これ
の区別はどうやってつけるんだろう？



まあとにかく、要素が増えると足し算・引き算はともかく掛け算のときに膨大な組み合わせパターンにならないように、ちょっとずついびつなルールを付け足してやらないといけないっぽい
たとえばｱｯｶﾘｰﾝの出番が後回しにされるような・・・ｱｯｶﾘｰﾝは博愛平等だからなぁ・・・

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パウリ行列のミョーな感じをつらつらと書き連ねる日記

慣れてしまえば当たり前に思っちゃうかもしれないので馴染む前に書いておきます。
パウリ行列が３次元や４元数の単位ベクトルや虚数単位のように振る舞うことに
いまいち共感がモテません。



i、j、kはそれぞれx、y、z軸の単位ベクトル、つまり基底で
パウリ行列のσ1、σ2、σ3にそれぞれ相当するんですけど
どうして純虚数を含む行列が１つだけなのか
そもそもどうして単位行列による表現の他に行列による表現方法もあるのか納得できません。


2×2複素行列で、係数に0か1の自然数しか含まない行列っていうと
単位行列とパウリ行列以外には

 
まずこんなんに±1や±iをかけたものが挙げられますが、逆行列がないので論値です。

次に0じゃない成分を2つにしてみますと
 
このように、a=±1か±iが入って、行列全体に±1か±iをかけたりもできますが
所詮片側に0が入っている時点で逆行列が存在せず、これも論値。


じゃあこれならどうだ！？っつうと
既に単位行列かパウリ行列に予約されています。
予約されていないのを挙げますと
  
こいつらはエルミートじゃないのでダウトで

こうしてもただのパウリ3とパウリ0の純虚数倍ってだけです。ありがとうございました。

残ったこいつもただの歪エルミートですまたのお越しをお待ちしております。(出直してこい)


有限要素を3つに増やしてみましょうか。
あー・・・もう面倒くさいので一般化しましょう


まず、求めたい行列HUがエルミートであると仮定すると
a,bを実数、zを複素数(z*はzの複素共役)として
このように表せます。
 
なおかつユニタリであるためにはHUとその随伴行列HU†
つまりHUを転置して複素共役を取ったものとの積が単位行列でなければならないので
 
以下の連立方程式を満たすa、b、zの組でなければなりません。
 
aとbは実数で、かつ0か1の係数しか取れないため、±1というそれぞれ2つの自由度を持ちます。
zは複素数でかつ、これも0か1の係数しか取れないため、±1か±iしか取れません。

しらみ潰し的にやってもいいですが、ロジックでやろうとしますと

a=0の場合は|z|^2=1になるためbもゼロになります。
ここで、a+bがゼロなので
下2つの式同士を引き算すると
z*-z=0という式が出るため
zは純虚数ということになります。つまりa=b=0とz=±iの可能性です。
これはパウリ行列の2つ目に相当します。


また、a=b=0とすると下2つの連立方程式同士を足してもいいので
2(a+b)(z*+z)=0も成り立ちます。
この場合はzは実数となり、これはパウリ行列の1番目に相当します。


a=1の場合はz=0なので、b^2=1となり、b=±1です。
これはパウリ行列の3番目と0番目(単位行列)に相当します。
a=-1の場合も同様です。



つまり、エルミートでありなおかつユニタリである単位的な2×2行列を求めようとすると
4つセットのパウリ行列でキッチリ過不足ナシなのです。
もしこの事実を疑うのであればエルミートとユニタリのあり方界隈から疑うことになってしまいます。
でもなんか納得ｲｷﾏｾﾝﾖﾈｰ

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何階差分してもバインバイン(指数関数の微分)

2のべき乗は結局指数関数なので、片対数グラフに取ってみました。
1階差分を取るごとに1オクターブ下がっていることがわかります。

1オクターブ下がる(半分になる)←→約3デシベル下がる(斜めレインボー3本で横線1本)
に相当します。ディケイドもいたかな？
ただしこのデシベルの中身の比はいわゆる電圧とか電流とか音圧ではなく力パワーなので
20log比ではなく10log比で計算しています。
はかせ曰く、20log√10ではなく10log10ということです。




悲しいことは半分返し、嬉しい事は倍返し

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ベクトルxI+yJ+zKの単位ベクトルをパウリ行列に置き換えたAの固有値が

 

だったらA=の行列式
detA=-z^2-(x+iy)(x-iy)=-z^2-(x^2-(iy)^2)=-z^2-(x^2+y^2)=-z^2-x^2-y^2
は固有値同士の積=マイナスルート×ルートだからノルム(長さっつか絶対値つーか)の符合反転だし、固有和trAは対角成分の和だからz-z=ルート・マイナス・ルート・イコール・ゼロだろぉ～？



※ただし大文字のI、J、Kは単位ベクトルっつーか基底
小文字のiは虚数単位
決してクォータニオンの虚数単位I、J、Kではないんじゃよ～



風邪ぶり返したorzすまんがこれしか書けん
しかし何も書かないとスピンが半偶数化してn日ボーズになってしまうんじゃあ

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日常系百合アニメと3階のテンソル

もう少しで風邪治りそうなのでどこまで書くか微妙ですが

これだったら演算が可能なんですよ

ちなみに
YRYR×ひだまり×ゆゆ式の掛け算の順序にはこだわりますが
中の人の結が左なんじゃないのかとかヒロが下なんじゃないのかっていうのはあんまり考慮してません。


やっぱ力尽きとくもんだね。

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11/11追記：千鶴ちゃう、千歳や！

パウリ行列を使うと単位ベクトル同士の和が「計算できてしまう」

不思議だよなー。単位ベクトル(基底)だから中の人なんていないのかと思いきや、
なんか中身あるっぽい感じに計算されるわけだし。 線形従属くささがあるよね。ヒモかお前！
 

固有値を求めると±√3
行列式det=(-√3)×√3=1×(-1)-(1-i)(1+i)=-1-1-1=-3
トレースtr=√3-√3=1+(-1)=0
答え合わせするときに便利。
まあ(1,1,1)の絶対値が√3なんだけどね。
 
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単位行列とナブラの内積？わかってしまえばあっさりだった

昨日、σ0つまり単位行列Eと、ナブラとの内積のようなのが

どうしてこうなるのかわからないと言いましたが、
本の付録でネタバレを見て、
考えても閃かないにしても式をガリガリやってたら何かしら出ていたんじゃないかという悔しさが溢れましたorz


僕はベクトルを(x,y,z)と書くよりもxi+yj+zk(ただしi、j、kはそれぞれ3軸の単位ベクトル)と書きたがる方なのですが
その単位ベクトル、または基底i、j、kを、そっくりそのままパウリ行列σ1、σ2、σ3にしちゃえばよかったんですよ。


つまりこうです。
 
と置き換えて

に代入し、最後に単位行列である0番目のパウリ行列 をかければよかったんですよ。
  
どうして、「σ0という行列に掛け算するときはナブラのほうも行列に揃えるべき」って、ネタバレ見る前に推測できないかなぁ。
まあ完全に負け惜しみですけど。



はー悔しい！悔しいです！


あ、すんません途中から座標微分と運動量微分がごっちゃになってました。
座標もxでしか偏微分してないですね、おかしいですね。でも時間なんでもう寝ます
だって本でもいきなり運動量で偏微分し始めるんだもん。いいのかよって思いましたよ
実は古典物理の正準方程式もよくわかってないんすわ
あれがわかればなー摩擦で徐々に回転が止まる２重振り子もシミュレーションできるんですけどねえ

あーそういやフラクタル図形についてもさっぱりわからないんでした。
なぜ複素数が関係するのか、なぜ自己相似だったりするのか
ロマネスコブロッコリーはフラクタルかつフィボナッチ数列らしいですね。
これを期にフラクタル図形にも興味出そうかな・・・
とりあえず食べたい。近所に売ってるの見かけたので。

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固有値の直交座標系と極座標系

ユニタリ行列って単位円上に固有値がくるじゃないですか。
じゃあその複素平面上の偏角を好きにいじれたら素敵やん？
好きにいじれる行列を作れたら素敵やん？
って思ったんですよ。

しかしですねー
ユニタリ行列っちゅうのがまた、やや抽象的な感じで
僕はまだ、エルミート行列を対角化する際に出てくる固有ベクトルがユニタリってことしか知らんのですよ


そうすると、偏角を自由にっちゅうのがえらい遠のきましてね～
まあもちろん、数値計算的にやるのはさほど難しくないですよ。実際やってみたことはあります
でも解析的にできるかどうかは話が別です


っつーかそもそも・・・
エルミート行列で好きに固有値を出すっていう作業からして分不相応なんですよ＞＜
そんなもののための固有値じゃねえ！orzもっとこう、代数学めいたアレなんだよ

行列って言ったらn×n正方行列つったって大枠でnパターンあるわけですし
nがあがっていけば複雑度も増すわけですし
2×2で苦労してたらじゃあ1×1に落としてみようかってそれスカラーじゃん！


ああ＾～これは実りないわ～やーめた




オフィスの数式イヂッタ好きですよ。もちろん大好きなExcel上で挿入しますよ＠TeXのよさがまったくわからない人

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行列を見かけたらほぼ必ず固有値・固有ベクトルがあると思え！

ガンマ行列な、固有ベクトルはまだやってないけど(まだ見ぬ重解の処理が怖い)
固有値はだいたい計算した。

ただしγ3の固有値を計算し間違えたらしい・・・


やっぱり0番目とそれ以外では異質で
γ0行列は固有値が全部実数のエルミート行列だった。

γ1～3は、固有値が純虚数だった。
こういうのを歪エルミート行列とか、反エルミート行列とかいうらしい。
この場合の歪は「ひずみ」でも「ゆがみ」でもなく「わい」と読むらしい。
 「わいえる」でぐぐり始めるとワイエルシュトラス関数(なんだか知らん)が出てくるから困る。

純虚数とは言ったものの、0も含むときた。めんどくさい表現になるよな。

 
じゃあ、エルミート兄妹で固有値の複素直交座標系が作れるってこった

ユニタリ行列はさながら、複素平面の極座標ってこったろー！

しかしちょっとまってほしい。
複素平面の自由度は２なんだから、同心円(半径)が作れたら放射状の線(偏角)も作れないと困る。
僕が知らないだけできっとそんなIm=a×Re(aは任意の実数)みたいな固有値を持つ行列にも名前がついているんだろう
つい昨日まで僕は歪エルミートを知らなかったんだから、きっとあるはずなんだ＾＾割りとすぐ近くに


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当日朝追記：歪エルミート行列の見かけの特徴が気になってぐぐってみたら、なんのことはない、エルミート行列に虚数単位をかけたのが歪エルミート、だってさ！

じゃあ歪エルミートの対角化の際に出てくる固有ベクトルは・・・やっぱりユニタリ行列じゃねえか！

ということはええと・・・ありったけのユニタリ行列をかき集めて出来た単位円という集合の・・・１つ１つを取り出せば任意の偏角の放射状の直線ということに・・・それだけかよおおおおorz
まあ行列をスカラー倍すればいいわけですし・・・ドヨーン

iphone 5sと5c(と5tと5e)

iphone　jphone(郵政)　5s　5c　5t　5e　i-mote(妹がモテないのはどう考えても俺が悪い)
三角関数　指数関数　オイラーの式　複素平面　ピタゴラス数
 
ゴジータ・トエル・ウル・ラピュタ


はい、このゴジータを求めるにはマクローリン展開が必要ですねー
べ、別に二分法でもいいんだけどねっ！

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翌日追記：うかつだったわ。5tじゃねえ、4tだろ・・・orz

スイカインパルス

家の前にでかいカボチャが置いてある。
あんまりでかいんでスイカを茶色く塗ったか品種改良したものかと思ってうっかりノックしてインパルス応答を聞いてみようとしたが僕にそんな技術はない。
誰かサンプルボイスと解析ツールを作ってくれー

まあとにかくだ
デルタ関数っちゅうのを積分するとステップ関数になるらしいが
ステップ関数はそれ以上積分したら発散しそうだ

じゃあ逆に、デルタ関数はこれ以上微分できないのではないか
というかそれ以前にステップ関数がどのくらいの意味で微分可能なのかよくわからない



はかせ＜jtanBL！

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円さんお前・・・そんなに汚れちまってたのか

「セルン横断ウルトラクイズゲーム！パン・パン！１，２，４，８、１６・・・」

ﾋﾟﾝﾎﾟﾝ！「３２です！」

ﾌﾞｯﾌﾞｰ！「３１、と続く数列の・・・」

ﾋﾟﾝﾎﾟﾝ！「５７です！」

ﾌﾞｯﾌﾞｰ！「一般式は？」

・・・ﾋﾟﾝﾎﾟﾝ。。。「（ｎ^4－６ｎ^3＋２３ｎ^2－１８ｎ＋２４）／２４」

ｶﾞﾀｯ「こじつけだー！ﾜｰ！ﾜｰ！」

「これは円を分割する際の問題で、１点だと１分割、２点を結ぶと２分割、３点を結ぶと４分割、４点を結ぶと８分割、５点を結ぶと１６分割となり、６点を結ぶと３２分割・・・

だとおもうだろー！？違うんだなぁー！」

ΩΩΩ「な、なんだっとー！？」




ｶﾞﾁｬｺ
Ω「何やってるんですかみなさん・・・」

 Ω「Ωにゃん、セミ素数ゼミごっこだよ～。」

Ω「Another数学なら素数だったかもしれない、落ちこぼれ素数(仮)を扱うサークル、名づけて”セミ素数ゼミ”！君も今日からセミネキ００５だ！」

Ω「嫌ですよそんなフィクション数学の話なんて！」

Ω「セミネキの１日は１，１，２，３，５”セミ姉貴オッスオッス！”の指ジェスチャーで始まり、
突然１，１，２，３，５ ”セミ姉貴オッスオッス！” が挿入され、
１，１，２，３，５ ”セミ姉貴オッスオッス！” でご飯を食べ始め、
１，１，２，３，５ ”セミ姉貴オッスオッス！” でセルン横断ウルトラクイズゲームを食べ終わり、
１，１，２，３，５ ”セミ姉貴オッスオッス！” の指ゼスチャーで終わるのよ～」


Ω「あ・・・それ・・・やっぱりダメです！」

ΩΩ「今一瞬なびいたね！」「うん、なびいた！」

Ω「ていうか、それ実在の数学じゃないですかー」

Ω「なんだとー！？生意気いうやつには腹パンだァ！みんなー、取り押さえろー！」

 　　(　＾)　　  
　 （ 　）￣
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　　　　　　　　　　　　（　 ）ヽ
　　　　　　　　　　　　 | |　

 ..三　　＼　＼　　V　　／ 　 (o＾ )　三　 
　三　　＼　＼　　V　　／　（　 ）ヽ　三
三　　　＼　＼　　|　　／　　/ /　　　三

 三　 ( ＾o)　＼　　V　／／　/ /　　三 　 
　三／（　）　＼　 V　／ (o＾／　　　三
三　　　ヽヽ 　＼　|　　／（　 ／　　三

 ..三／（　）　 ＼　 V　　／ 　　 (o＾ )　三　 
　三　 ヽヽ＾o) ＼ V 　　／　　（　 ）ヽ　三
三 　　　＼　　)＼ |　(o＾／　 / /　　　三

Ω「ありがとうございます！」ﾎﾞｺｫ・・・┌（┌ ＾o＾）┐「ありがとうございます！」ﾎﾞｺｫ・・・┌（┌ ＾o＾）┐

Ω「あ、Ωにゃん死んじゃった。」

Ω「Ωちゃん召喚～♪」

Ω「はぁ～生き返る～死ぬかと思いましたよ」

Ω「ぶっ・・・あはははｗｗｗｗΩお前、また死んだのに気づかなかったのかｗｗｗｗあははは」

Ω「先輩たちの勢いが最近激しすぎてつい・・・＾＾；」

Ω「Ωにゃんは時々うっかり屋さんだね～」

ΩΩΩ「あははは」


つづく。

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