トンネルしないトンネル効果への、トンネルするトンネル効果の流用

具体的に式に書かなかった僕も悪かったんですが
ここんとこしばらく行き詰まっていたことがありまして。
先日のトンネル効果の続きです。


トンネル効果って普通、トンネル障壁のエネルギーより粒子のエネルギーが小さいときを指すじゃないですか。

これを「トンネル障壁よりエネルギーが高い粒子」に適用しようとすると
また「似てるけど違う式」を立てて、連立方程式を解きなおさなきゃいけない気がしてて
どんよりしてたんですね。(字が汚いので数式エディタで解いてもまだ凡ミスが残るんですよ！おそろしいことやで)


そんな中、昨日友達と、ほんの暇つぶしの目的で図書館に入って、
量子力学の本を借りもせずただ眺めてたら、いい情報を仕入れたんですよ！




この図の入口と出口の間の赤い部分の波動関数が

粒子のエネルギーE＜トンネル障壁V0

だったら、波動関数は暫定的に

ψ2=Aexp(αx)+Bexp(-αx)
(ħα)^2/(2m)=V0-E

って書けるじゃないですか。


ところがこれが、E>V0

だったら

ψ2=Aexp(iβx)+Bexp(-iβx)
(ħβ)^2/(2m)=E-V0

になるじゃないですか。(入口以前ψ1と出口以降ψ3は同じ式です)


EがV0を超えるか超えないかを境に、下手なアルゴリズムだと数値解析が破綻してしまうんですよ(数値計算なら結果は簡単に出せるんですが、合成波が入射波と反射波に分解できないのです)



でも、がむしゃらに連立方程式を立ててみますと

おわかりいただけましたでしょうか・・・


本当にソックリそのままαがiβに替わるだけなんですよ！

だから、結果の式も、αのところをiβに置き換えるだけでよかったんです！
ブルーレッドおくだけ！
つまり

これのαをiβに置き換えるわけですから

まずはこうなって、あとは「中身が純虚数の双曲線関数」を、オイラーの公式にしたがって「ただの三角関数(中身も実数)」にしてやればいいので

こういうことになるわけですね！

軽く検算してみたところ、ちゃんと透過率|R|^2＋反射率|T|^2＝１になってました＼＾o＾／ﾜｼｮｰｲ！


もうちょっとノーヒントでがむしゃらにやっときゃよかったなーって気もしなくもないですが
それにしてもただ図書館に立ち寄るだけでこういう効能があったりもするんですねえ。
本を借りたわけでもなく、メモしたわけでもないのに。
これでだいぶ気が楽になりました＾＾



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