【納涼！】有限深さの井戸型ポテンシャルの波動関数を解析的に解く

昔、こういうの↓


作ったことがあったんです。行列式って落ちゲーに似てるよねって思って。
そのネタ元が有限深井戸型ポテンシャルの波動関数だったんですが
結局それ以来僕は、固有条件(エネルギー固有値)は求めても、「波動関数自体」を「解析的に」解くことまではできなかったみたいで

「波動関数の求め方は数値計算で済ませていた」ことが、昨日ようやくはっきりしたんです。
記憶にはない、ブログにも残ってない、やり方もわからないまま。


小形正男さんの「量子力学」って本を借りて、パラパラ～ってめくったら
左右対称あるいは反対称だから、４行４列じゃなくて２行２列でできるんだよ～
って書かれてたのがきっかけで読んでみると
実は「解析的な波動関数そのものの導出をまだやったことがない」ことが判明したんですよ。

※ここ肝試しに出ますので要チェックです




まず、xが-aからaまでU=0で、その外側が有限値U=U0のポテンシャルUを用意します。

1次元の時間発展しないシュレディンガー方程式はこうでしたね。


井戸の中は


こうで、井戸の外は



こうですね。(U0>Eの場合)

kとk1を以下のように定義すると



井戸の中の波動関数Ψ2と、井戸の外のΨ3はそれぞれ

このように書けますが、

井戸の中の波動関数は、左右対称だったらcosですし、反対称だったらsinなので

これのどちらか(XOR)になりますし
井戸の外の波動関数は、無限遠で収束してもらわないと困るので、
B1かB2どちらか(XOR)がゼロなので

こう書けます。

おかわりいただけるでしょうか・・・？
xに絶対値がついていることを・・・

これで、x>aのはずのΨ3が、x<-aのはずのΨ1のおかわりをしているのです・・・！
いるはずのない永久欠番Ψ1＜クリ|スティ|ーナ＞が、ジャパリバスターズのトランクにこっそり紛れ込んでいたのです・・・！！！


そうすると、残りは簡単で

Ψ2(a)=Ψ3(a)
と
Ψ2'(a)=Ψ3'(a)

のたったの2元連立方程式を解けなくすればいいだけなので

対称の偶関数の場合はコレ↓


反対称の奇関数の場合はコレ↓

の行列式がゼロになるのが固有条件です。
4次の行列式なんか解かなくてよかったんですよくそぅ・・・！
対称と反対称では、cosとsinが入れ替わり、微分した際に符号が変わったり変わらなかったりするので、注意してください。


ここまでの条件は、4次の行列式でもまったく同じ結果にたどり着けます。

が、4次だとこのあとの展開があるのかどうか、僕にはよくわからなかったのです。
とにかく4次だと煩雑だったんですよ！
係数AとBの関係を求めるフェーズへの見通しが、2次だとなんとか見渡せたのです。

小形さんの本には結果のグラフだけ示して
導出過程はもちろん、導出した結果の数式すら出してくれなかったので自力で不安な中やり遂げましたよ・・・これ小形さんの「形にしないことであえて学生に自主的に解かせる策略」なんですかぁ！？

まずは対称な偶関数から、具体的な波動関数の形を導出していきましょう。

kとk1とU0貞子ポテンシャルとの間にあるこの関係

を使います。

Ψ2(a)=Ψ3(a)の両辺にkを掛け算して2乗し、
微分した
Ψ'2(a)=Ψ'3(a)の両辺2乗と足してみましょう。

先のkとk1との関係を踏まえると

このような関係が見えてきます。よって、係数AとBの関係が判明しました。


しかしながら、AをBで表せても、この2元連立方程式は永年方程式なので、このままではBは定まりません。

そこで用いるのが「規格化」です。

波動関数の絶対値の2乗は存在確率を表すため
「全区間のどこかにはいる」ことから、その積分値は1になるはずです。
これを利用してBを求めます。


ここまではわかったので、あとは積分しましょう。

あとで、反対称の奇関数のときにも言えることですが
偶関数も奇関数も、実数の場合2乗するとどちらも偶関数になるため(整数の2倍に相当)
マイナスの無限大からプラスの無限大までの積分は
0から無限大までの積分の2倍になります。
これで、AもBも定まりましたね。


それでは次は反対称の、奇関数をやりましょう。


読者諸君、お前らがな！

 
↑これカンペです。クリックすると拡大します。
cosの2乗がsinの2乗に変わるだけなんで、加法定理で1±cos2になって、
実質Bの式で異なってくるのはその符号たった1つだけなんですよ


あと、違うのは固有条件(固有エネルギー)ですね




ところで、
デスノートの画期的だったところってみなさん覚えてますか？
あるいは僕の視野が狭いだけなのかもしれませんが
いわば、呪いのビデオを死刑執行の兵器に転用させたところから
相当ぶっ飛んでたと思うんです。
そのために貞子力学を確立させたんですよ、主人公が、一人で。
追いかけろよ～(一人で)　捕まえてみろ～(一人で)
最初の自分の感想、騙されちゃってましたかねえ？
L・ψ・卍=3
　　　ｼｭﾀ！