ポテンシャルに依存する分散関係

大学時代、「いつもw-k特性は2乗にプロットされるんじゃないんすか！？」
って質問を先生にしたときの先生の答えが意味わからんかった覚えがうっすらとあってな

こないだだよ、ついこないだ。
よく考えてみたら、E=p^2/(2m)+Vなんだから、自由粒子でもない限り、ポテンシャルに依存するじゃねーか！って。


じゃあその依存度合いをどうやってプロットすんの？
って考えて、一瞬、お、おう・・・！？ってなった。

ポテンシャルVが位置xの関数なのに、エネルギーEを運動量pの関数で表そうとしてる。なんだこれ。

でもよく考えたら、束縛状態になるってことは、エネルギーは離散値を取るんだよな
だからってわけでもないけど、数値計算してその結果をプロットしてから関係を見ても
結局解析的な結果とあんま変わんないんじゃね？とか思えてきて。離散値だからある程度しらみつぶしができるし。


っていうか、井戸型ポテンシャルだったらEは波の数kの2乗
調和振動子ポテンシャルだったらEは波数kの1乗に比例だよね

なんだたいしたことないじゃん
って思えてきたりした。


じゃあ逆に、トンネル障壁とかだったらエネルギーは離散値にならないわけだよなー
ガウスな波束ぶっこんでみてえ。



ああ、そういやトンネル障壁といえば
1次元だったらトンネルの自由度は0
2次元だったら自由度は1以下

じゃあn次元空間だったらトンネル障壁の自由度ってn-1個以下になるのかな？

たとえば平面に平面波ぶっこんで、まな板なトンネル障壁だったら実質1次元と同じだよね

2次元空間にまな板なトンネル障壁おいても、波源が線じゃなくて点だったら、そりゃぁ2次元的なトンネル効果になりますわなあ

逆に、波源が点の2次元トンネル障壁も、波源から距離が一定の円だったらこれも1次元と同じで

円状のトンネル障壁でも、波源が点じゃなくて有限の直線状だったり、あるいは円の中心じゃないところから波が出てたりしたら、いわゆる線形独立になるわけだよな


じゃあ3次元空間のトンネル障壁ってなんだ
球殻で囲った内部の、中心じゃないところが波源のトンネル障壁か？
α崩壊の中心が、障壁(原子核殻)のど真ん中じゃなかったら？みたいな感じ？

位相までは無理でも、可視化できたら面白いだろうなあ

立方体状のトンネル障壁から始めてもいいよね
波動関数の絶対値が可視化される感じかなあ
立方体の中で共振みたいのが起きてる最中に、少しずつ漏れ出すイメージ？