4月のブログ更新たったの3回

5月に至っては1回

まさかこの僕がブログ3日BOSERになろうとは思いもしなかったよ…。
3年前の自分に伝える方法があっても、絶対に教えたくない

GWのハイライトは、複素解析の同じ例題が2通りできたら楽しかったです

この複素積分が楽しかった。

の線Cに沿って


を計算するんですけどね、まずはコーシーの積分公式を使った方法から。

 が の範囲内でごっそり正則なので、これをf(z)と置きます。

コーシーの積分公式では以下のように

積分が微分で表されてしまうので、今回の例題の場合はn=0、α=-iとすると、簡単に

解を導出できてしまいます。




＝＝＝＝＝＝＝＝
それでは、もう一つの方法、コーシーの積分定理と部分分数分解を用いた方法もやってみることにしましょう。

2つではなく3つの積になっているのですが、まずは(z+3)と(z-3)を部分分数分解して、(z+i)に分配して掛け算されるとみなします。


この式を恒等的に満たすAとBを見つけます。

A(z+3)+B(z-3)=z
(A+B)z=z
なので、A+B=1
もう1つの式が
3(B-A)=0
なのでA=B
これを1つ目の式に代入すると、A=B=1/2が出てきます。


となったので、分配して、再度部分分数分解します。



つまり元の積分は以下のようになりますが


線Cで囲まれた領域の中にz=±3はないので、1/(z±3)の積分は正則によりゼロになります。

よって元の式は以下のようになり、

結局、さきほどの積分公式(積分定理ではなく)を使った計算結果と見事一致します。



コンピュータの技術の積層のボトムアップ感と違って
複素解析のまほう！はどんどん略されていくトップダウン感がありますね

複素解析つれづれ

今日は仕事が疲れたので、ファミマで複素解析の勉強しませんでした。

得た知識が曖昧なので、今日は割りと定性的なネタで日記をつぶします。

昨日の寝る前に、対数で何が得られるのか？対数という演算で何をやっているのか？

ということを考えていたら、

指数(とかオイラーの公式とか)：極座標→直交座標変換

対数：直交座標→極座標変換

という意味合いを見つけました。(ちょう今更なので、デジャブってるかもしれませｎ)

そして、対数では、極座標に変換したデータを、実部に絶対値、虚部に偏角として出力し

足し算をしている！

ここちょっと驚きました。絶対値と偏角は、足し算できる間柄だったんですよ！！

じゃあこれを物理の現象に翻訳したらどうなる！？

僕は電気工学出身なので、一番身近なものだと、インピーダンスとかアンプのゲイン・位相とかそっちになります。量子力学はいまいちよくわかりません。

対数を取ると、電気工学的な意味合いでは、ゲインと位相を足し算していることになります。
まあ、無次元量同士なら足し算しても問題ないですし、実際無次元量として足し算しています。

ゲインとかもデシベルにしてから位相と足し算しますしね。
デシベルにする時点で、基本となる増幅率で割り算してから対数を取っているので、もちろん無次元量になってます。

興味深いのは、ゲインも位相も、周波数特性としてボード線図にすると
ゲインは両対数、位相は片対数を取って、必然的に対数(無次元)にしている点です。

おそらく、縦軸にゲイン・横軸に位相を取ったような作図があるはず…
ニコルス線図かナイキスト線図か、それともスミスチャートか。なんだったかな





ところで、複素積分するとよく出てくる2πiとかいうやつ。
なんで積分した結果に出てくる語尾みたいのが、純虚数なんすかね？？

僕の中のイメージではまだ、複素平面をぐるりんと回して右ネジの法則～みたいなふわっとしたイメージしかないので
もしそれなら複素平面の紙面に垂直な成分～？って稚拙なイメージしか出てきません。

しかし、あくまで元が2つの複素数を扱っているわけだから、複素平面の外側を考えることに意味がないのもなんとなくわかって、モヤっとしますね。


この辺、ベクトル解析とかだったらどうなるんだろう？
アンペールの法則とかに相当するよね？たぶん。あるいはストークスの定理かなあ？
本にはグリーンの定理の複素版って書いてた気がするけど、グリーンの定理がいまいちわからない


線積分や面積分についてもまだまだ知らないことばかりだし、回転楕円体の積分(二重積分？)とかとの関連もまださっぱり。


で、おとといの日記だったか、1/zの積分は有限なのに、1/z^2とかのそれ以外のやつはゼロになるってやつが妙に気になりだしてて

じゃあ、周回積分で有限になるのって、逆1乗則と密接な関係でもあるの！？とか考え始めたりして。

1/zを真四角経路で積分したったｗｗｗｗ

複素解析


この複素積分をｗｗｗｗｗ


この経路でｗｗｗｗ

経路CをC1,C2,C3,C4に分けます。

C1：z=1+it
C2：z=-t+i
C3：z=-1-it
C4：z=t-i

媒介変数tは実数で、範囲は4つとも-1≦t≦1です。


2項目、3項目、4項目の分母分子にそれぞれ、-i、-1、iを掛け算すると、
4項とも同じ数式になるので、1項目の4倍になります。



定積分を行うと、このような対数になります。
しかし中身が複素数に拡張された対数なので、気を付けて計算しなければなりません。


指数やオイラーの公式に立ち戻って考えますと、以上のようになります。
複素数の場合、わりと常に多価関数を意識する必要がありますが、今回は特に意識しなくて大丈夫でした。

与式はA-Bを計算したいので、最終的に√2の対数の項が打ち消しあって、
iπ/4が2倍され、さらに4倍されるので、



積分の答えは2πiと、昨日の定理と同じ値になることが確認できました。

複素積分

ここんとこ、割りと毎日「複素解析」の演習問題に手を出せているので嬉しい。


20年前くらいにやった複素積分や留数定理をリベンジしようと本を買ったんだけど
まさか、複素積分の手前に複素微分があるのをまったく認識していなかったとは思わず
自分で呆れかえってしまった。


しかし、積分が出てくるまで、この複素微分、どう応用したらいいのか全然思い浮かばない。
だから当時は習っても簡単に忘れ去ったのかもしれない。


「領域」や「正則」、「線(経路)の媒介表現」など、よくわからずに習った部品が次々と合体していく。コイツはアツい！フルパワーグリッドマンだ！！

nを整数、aが複素定数、zを任意の複素変数とすると
aの周りにおいて(z-a)^nをzで積分した場合

n=-1でだけ積分値が2πiになり、それ以外のnでは0になるという、大変お得な定理の証明を習った。
なお、(z-a)^nは正則な関数である。(らしい)


たぶん、そのうちこれを部分分数展開とかやって、留数定理に持っていく算段だろう。
少なくともフーリエ・ラプラス逆変換には応用が利くし、
ベクトル解析とのアナロジーも結構あると思う


そいで、この証明がまた萌えるもので
まるで直交関数系みを感じてすこなのだ。


いつもファミマで数式いじってるので、書類が車の中にあってうろ覚えなんだけど


と置いて、複素数zではなく実数tについて積分するんだったっけな
置換のための準備としてzをtで微分しておくとこうで


n≠-1の場合は

n=-1だったら

な？なかなか直交関数系みあふれるじゃろ？＾＾



ためしに、1/zをz=0周りの正方形の経路で積分した結果も載せたかったけど明日にします

20年ぶりにようやく実体がつかめるようになりました。

複素解析～XORでXORをつくる～

(円1)(円2)(円3)(円4)<0

ってやったんですけど、領域4つだとはっきり、排他的論理和じゃないことがわかってきますよね。
というか、円を(|z-a|-r)って表現して、それを掛け算してる時点で実数確定なんだから、プラスかマイナスしかないわけですよ。

そんなんに都合よく4つの円の排他的論理和だけを振り分けるほうが無茶ブリでしたよね


でも、この領域のイメージの仕方自体は排他的論理和
というか加法標準形なんですよね。

(円1>0&&
円2<0&&
円3<0&&
円4<0)

||

(円1<0&&
円2>0&&
円3<0&&
円4<0)

||

(円1<0&&
円2<0&&
円3>0&&
円4<0)

||

(円1<0&&
円2<0&&
円3<0&&
円4>0)

||

(円1<0&&
円2>0&&
円3>0&&
円4>0)

||

(円1>0&&
円2<0&&
円3>0&&
円4>0)

||

(円1>0&&
円2>0&&
円3<0&&
円4>0)


||

(円1>0&&
円2>0&&
円3>0&&
円4<0)


ほらね、組み合わせ＝領域の数が8通りあるでそ？


2つ以下の掛け算じゃないと排他的論理和にならず、
「領域レイヤーの枚数が奇数毎重なってるところが条件を満たす」にしかならんのですよ
要素3つのベン図みたいの作りたかったらまるで想像と逆の領域が血塗られてしまいますわね

Π{|z-bn|-cn}<0

Π{|z-bn|-cn}<0

n番目のn：自然数
z、bn：複素数
cn：実数

この総乗Πの掛け算の個数nを、そのまんま3より増やして大丈夫なんだろか？？

n個の集合のベン図(排他的論理和XOR)みたいにできるんだろか？？

>0だったらどうなるだろう？

ΠじゃなくてΣだったら？さすがにそれはないか

でもなんでORにXつくのがデフォみたいになってんだろ

そうだ、=0のときも考えてみると何かわかったりしないかな

Are 光？」「そしてすべてがあった

「ざんねーん！ｗｗｗｗ電荷1個ではバーチャルボソンは出ませんでしたー出ませんでしたーｗｗｗｗｗ」

ボゾン一石とかすぴん１／２とか、タイトルしか知らないからタイトルしかもじれないんだよ
ストーリーまったく見たことないの。


境界のLINE(有限要素法)ならちょっとは見たことある

たぶんそういう過去が実際にあったとは思うんですけど

エスカフローネが放送されていたのは僕が高専のころだったと思うんですね
(真面目に視聴したのはその数年後の話ですけど)

「幻の月」って用語があったじゃないですか。

スクーターのことを、原付とも言うじゃないですか。
文字で見る前は、「幻月」だと思っていた
そんな過去があったような気がするんですよね

忘れないで2つの月が、重なり合うときを～♪

(|z+i|-2)(|z-i|-2)<0
↓
{(|z+i|>2)&&|z-i|<2)}
||
{|z+i|<2)&&|z-i|>2)}

z=x+iy
(IMABS(IMSUM(COMPLEX(x,y),COMPLEX(0,1)))-2)*(IMABS(IMSUB(COMPLEX(x,y),COMPLEX(0,1)))-2)<0

たとえ明日亡くしてもあなたを失っても出来る限りの笑顔で輝きたい

複素解析

最近、ブログを書こうとするたびにログイン画面になるのでツライ。
いつも久しぶりだ。またこうして、毎日更新に戻れることを夢見ている


このガリガリ計算自体、久々だったし、この過程をたのしいと思ったのもすげえ久々だった気がする
そもそも、紙に殴り書きして字が汚すぎて計算がまとまらず
PCでやろう！ってなるいつもの流れがもう何ヶ月前の話だったか


こいつもたのしかったな。
(|z-i|-2)(|z+i|-2)<0


複素解析の本を買ったんだ。
本、というか電子書籍も含めてなんだが紙媒体の本を買うのはもっと久しぶりで
はやいとこローラン展開とか留数定理とかやりたいんだけども
途中で線の定義とか領域の定義とか出てきて
高専で一度通ったはずだから、挫折したところからやり直したいのに
どこまで読んだんだよ！？状態で困る

まあ、わかる例題・得意な例題を解いて数式にマウント取ったり優越感や成功体験に浸ったりするのは決して無駄ではないとは思うけども。

弧状連結とか初めて聞いたし
なんだよ領域って！なんで境界線を含まないんだよ！って感じ。
のちのち伏線になるところを見逃していたら嫌だから、この段階で例題を解いているが
はやく目的の部分に到着したい。

線には向きがあるとか、なんだよそれぇぇ！


a(u^2+v^2)+bu+cv+d=0
が円(半径が∞なら直線)の方程式とかさらっと出すなや！しらんがな！！！！！

電光豹゜人とは

ウルトラマンなのかスーパーマンなのか、
グリッドマンなのかジャガーマンなのか、
ヒョウマンなのかピューマンなのか、
ただの人間なのか

ひげじいを蒸留する

だがちょっと待ってほしい。

ひげじいのひげを全部蒸発させたらくもじいになるのはいいが
ひげは固体
しかしくもじいのくもは気体ではなく液体なのではないか？

では、気化ではなく液化するエネルギーだけで済むということになるが
これでは蒸留はできないのではないか…？

ひげじいが何に毛の生えたフレンズなのか確かめたいから蒸留を試したかったんだが

絶対、ダジャレに毛が生えたフレンズだと思うんだよ

「ひげみちゃんのおじいちゃんは3年前に蒸発したのよ」

「うそ！おじいちゃんに気相なんてないもん！
ひげみのおじいちゃんは世界一重い老人ｚだもん！気体になんかされない！」

「ひげみ、新しいおじいちゃんよ」

「ドーモ、くもじいジャ。」

「不純物であるダジャレが入ってないおじいちゃんなんておじいちゃんじゃない！」

ニコ動にケムリクサ上がってんのにはスルーなの？

(てか本当にニコ動？ｄアニメストア経由とかじゃないんだよね？)

完全有料でも相変わらず客の入りがいいようだ。

PC版でコメだけチラ見してみたけど、金払ってこの場に入っていいのかどうか不安になる。
(なんかろくでもないやつしかいないんじゃないかって気がして)

純粋に楽しめればいいんだけど、けもフレ2期と比べる輩がいると
目の前とかこの世からイレースしたくなるよね

生まれて初めてブロック機能でも使ってみようか。
っていうか何人までブロック可能なのかな
何人ヤったら平和なコメになるかな？



僕の目はいつの日も節穴でいたいから、
コメがあるとこういう考察のしがいがある作品は助かるはずなんだけどなぁ






追記：
と思ったけど、さすが金払ってる勢なだけあって、義務教育が敗北してないっぽいから
応援させていただこうかな！
案外コメがマシだ。深追いするには課金して探るしかないかな。

かばん「サーバルちゃん、じゃんけんしよう？」

サーバル「さいしょはグー。」

かばん「ん？サーバルちゃん、それはパーだよ？」

サーバル「え？猫の手をするときがグーなんでしょ？私、この姿になる前はいつもこの手つきで狩りしてたんだけどなぁー？」

かばん「ん？ん！？ちょっと待って？うーん…じゃあ、疾風のサバンナクローを出すときの手つきは？」

サーバル「こうだね？」

かばん「あちゃー＞＜サーバルちゃん、グーはそれだよ～ごめんねぇ、間違えて教えちゃった」

サーバル「こっちがグーだったの！？じゃあ私が狩りごっこで使う猫パンチって…？」

かばん「平手打ちだったね＾＾；」