めまいカットで理解してみる、遠近法の近似としての等角投影法

このブログではいつもやってることなのですが

たとえばこのように、x,y,z表示で、3軸ともに0から1のキューブのデータを作ったとします

これのx,yの平面グラフを作ると、そのまま等角投影法の立体としての表現もされるのですが

これを遠近法にするために、zにz0という下駄(カメラの引き具合ともいう)を履かせてから
倍率Aをxとyにそれぞれ掛け算して、各zにz0を足したもので割り算

つまり

このように計算することで、以下のように簡易的な遠近法表現を得ることができます。

ここで、先日の結果を用いて、めまいカットを適用してみましょう。

「カメラを近づけたり遠ざけたりしながら、ズームインしたりズームアウトしつつ
一定の距離の対象物の大きさだけを固定する」
というのがめまいカットの定義だと思うのですが

z00を固定したい対象物への奥行き距離
Cを任意の定数としますと

手前(奥行きz00=0)を固定した際はこのように

奥(奥行きz00=1)を固定した際はこのようになりますよね。



ここで、
キューブのある点(x,y,z)、ここでは(1,1,1)と(1,1,0)座標を指すのですが
zが同じな2セットのxとyがあったとして


遠近法めまいカットのグラフに表示する横と縦a、bは

こうなります。縦軸は横軸と同じなので略すとして
zだけが異なる2セットのxとyについて
横軸2-横軸1(z2とz1)がゼロになるz0を考えてみましょう。


計算して整理するとこうなりますが、
ここで分母分子をz0の2乗で割り算してみますと以下のようになって

この状態でz0→∞の極限を取ると
横軸2-横軸1=0となることがわかるかと思います。
縦軸についても同様です。

これは一体なにかといいますと、等角投影法そのものです。

つまり、無限遠点からめまいカットをやると、遠近法は等角投影法に近似されるのです