9次の特殊ユニタリSU(9)

なにをやっとるんだおれは



9行9列の行列なので、自由度は9×9-1=80個

なので、要素が80個あるベクトルsを用意し
2乗和（ノルム）を1にします。

対角要素をx1～x9とし、これらは実数
m行目n列目の上三角非対角成分をamnとして、実数ベクトルsから作った任意の複素数とします。

1から9までのxの和はゼロになるようにします。
つまり、作ろうとする行列Aのトレースはゼロです。

また、Aはエルミート行列なので、
下三角の非対角成分は、上三角の複素共役になります。


9次エルミート行列Aに虚数単位iをかけて、行列指数関数にすると
9次の特殊ユニタリ行列Uができます。

このようにして作ったユニタリ行列は「特殊」ユニタリと呼ばれ
行列式をとった時点で正の実数値1を取ります。

なお、一般的なユニタリ行列は行列式をとってさらにその絶対値を取らないと1になるとは限りません
つまり、一般的なユニタリUの行列式detUは、複素平面内では原点を中心とした半径1の円周上のどこかにいます。
ユニタリ行列の固有値も同様に、単位円上のどこかにいます。
固有値に関しては特殊ユニタリも一般的なユニタリも、正の実数値1とは限りません。



とまあ、ここまで、力技でSU(9)の計算の仕方を説明してきましたが
対応する物理的現象がおそらくまだ見つかっていないため(いつか見つかるの？)
とても虚しいです。
たとえていうなら、高次元の球である超球よりも虚しい
高濃度の無限と同じくらい虚しい感じでしょうか(よくは知らないんですが)


もっぱらの興味の対象は、4次ぐらいまでのユニタリのようですし
ほかにも特徴的な行列がたくさん定義されているようです。
僕は彼らの顔と名前がまだ全然一致していません



なお、対角要素xを形成するためのsの番号はよく
nを整数としてn^2-1番目と定義されるようです。

また、重みを付けるための分母のルートの中身は1から始まり
1,3,6,10,15,21・・・という数列で
差が1つずつ増える数列となります。
確か階差数列という名前でしたっけね


生成子Aの固有値方程式がですね
x^9-x^7+a6x^6+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0
(9つの実数解)
(あ、係数anはもちろん、全部実数です)

という形になって
SU(n)だとn-1次の係数がゼロ、n-2次の係数がn次の係数の逆相になるということをですね
なかなか証明できないでいるんです。めっちゃややこしそうで、なんか手が出ない
とりあえずテキトーなn=9ぐらいで確認したかったんですね

自動でSU(n)の生成子の固有値方程式をしらみつぶししてくれるプログラム、書けるかなあ