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20080511～
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
前回までは、粘性抵抗と慣性抵抗両方が加わった落下運動の運動方程式の解について
粘性抵抗と慣性抵抗片方ずつに係数を制限して、元々どちらかしか考慮していない運動方程式の解と同じになるかを検証していた。また、それぞれの終端速度についても議論していた。 今回はいよいよ、粘性抵抗と慣性抵抗両方を含んだ状態の終端速度について考えてみる。 微分方程式の解は以下のようになるのだったが このとき、時間t→∞の極限で終端速度vはどうなるだろうか。 cothの中身が大きくなると1に収束するので 分母分子に これは、元の微分方程式である mv'=mg-c1v-c2v^2の加速度(力)v'をv'=0としてvについて解いた2次方程式の解そのものである。 そのうえ、数回前に また、すべての変数、関数、パラメータが正の実数と仮定すると 2次方程式の判別式Dのルートは必ず正の実数であり Dのルート√(c1^2+4mgc2)は必ずc1より大きいため、v=-c1-√(c1^2+4mgc2)/(2c2)の解はありえないこともわかる。
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前回はc1≠0、c2=0の条件で解いたが、今度は逆にc1=0、c2≠0の条件で解いてみよう。
となるが、元の運動方程式 も解いてみると 部分分数分解を用いて (A1+A2)v=0 からA1=-A2 初期条件t=0でv=0を与えるとG2=-1となって ここで、式を整理してvの式にする 両辺にv+√(mg/c2)をかけると ここで、右辺の分母分子に これは双曲線関数ハイパボリックタンジェントなので を得、見事に両者は一致する。 また、終端速度については t→∞でv=√(mg/c2)になるが、 これについても元の運動方程式 mv'=mg-c2v^2のv'=0の条件で解くことで、単なる代数方程式として 終端速度v=√(mg/c2)を簡単に得ることができる。
前回、粘性抵抗と慣性抵抗両方を受ける落下運動について運動方程式を解いた。
質量をm、重力加速度をg、速度v、時間t
速度の1乗に比例する空気抵抗の係数をc1、速度の2乗に比例する空気抵抗の係数をc2とすると 運動方程式は以下のように書ける。 速度は高さy方向の下向きをプラスに定義する。 ここで、v^2の係数を1にしたいので、両辺を-c2で割ると ここで、式の簡単化のためG=m/c2、B=c1/c2、A=mg/c2とすると dvの分母に右辺を持ってくると以下のようになる。 両辺を積分してvの式にすると、速度vについての運動が解けるのだが、vの2乗が邪魔でうまく積分できないので、部分分数分解を用いる。 という恒等式を作り、A1、A2、Dがいくつになるのか定めることにする。 まず、 なので、 次にA1とA2を定める。 v(A1+A2)=0 からA1=-A2が導かれるので B/2(A1+A2)もゼロである。 D(A1-A2)=1にA1=-A2を大入して、 そうすると元の微分方程式は なので積分ができ となる。G2は任意の積分定数。 対数同士の引き算は対数の中の割り算として引っ込めることができるため 両辺に2Dを掛け算して (ここでG2はまだ任意の定数なので、2DG2を新たなG2として上書きする) 両辺の指数をとって (ここでもexp(G2)を新たなG2として上書きしている) 左辺の分母分子に2を掛け算してやると 初期条件 t=0でv=0を与えて任意の定数G2を定める。 微分方程式の解は となる。 これをvの式に直す。 両辺に(B+2D)と(2v+B+2D)を掛け算する。 展開すると 全部左辺に移行し、vを含むか含まないかで整理すると ここで1/(2v)の式に着目してみることにする。 第1項は約分できるので 問題は第2項だが ここでようやく2vの式に戻すと
シークバーで見れるバージョンはpixivにあります。 べき乗関数の宝庫である熱力学の状態図、 両対数方眼紙でべき乗関数は直線になりますが、 変数が3つ以上あるので、とりあえずエントロピーを除いて、3D対数ブロックにしたらどうなるか試してみました。 下にDL用Excelファイル(マクロなし)へのリンクを貼りましたので、自粛期間中に暇だったら遊んでみてください。(いつもながら対象年齢高めですみません) シート保護の関係でサンプルgif動画と異なる表示がされています。 DLしたら、「編集を可能にする」にしてからご使用ください。 3DカルノーサイクルExcelファイル（ダウンロード）
シュレディンガー方程式の自由粒子の位置に関する微分方程式を解いたら、波動関数Ψが
Ψ=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx) になるじゃないですか。 これが、井戸型ポテンシャルだったら境界条件や規格化によって積分定数AとBは定まって 位置の期待値も運動量の期待値も求まるし 自動的に不確定性原理にも違反しないってわかるじゃないですか。 でも自由粒子だったらAもBも定まらないですよね？ 仮に規格化条件からA=1/√(g)、B=1/√(1-g)と置くにしても 割合次第で運動量保存則もエネルギー保存則も不確定性原理も「満たされるように」決定しなきゃいけないってことですか？ あるいは、めちゃめちゃでかい井戸型ポテンシャルの中と近似すればいいんでしょうか いやでも、井戸型に決めてしまったら観測しちゃうようなもんだから、 波動関数が実数に限定されてしまいますよね。 それに、これの角運動バージョンもあるはずで、 角運動量保存則に対してはどうするのかもありますよね っていうかそもそも、不確定性原理を使うとして、エネルギーと時間のブレってどうすればいいの ちょっと本を漁って復習しなきゃいけませんね いやーブランク長かった。長すぎた。 5年越しのスキーどころじゃねえです 身体にまだ染みついてないうちに、あんま回数練習しなかったから、身体が覚えてないし もう社会人になって10年以上経つし、計算の面倒さは増していくし そんなにドリる余裕ないんすよね。 核反応だか化学反応だかの E=ηmc^2のηを不確定性原理から概算するっていう例題も見たことありましたが どこをどう計算するのかすっかり忘れてしまいました。 目的の本が見つかればいいのですが。 というか、例題の知識が少なすぎますね。 不測の事態の時に対処できるだけの経験値がないです。 これはブランク云々以前の問題です 昨日、「とにかく手を動かそう。手を動かして計算していれば俺は落ち着くし幸せになれるし、ポジティブな要素しかないからやるかー」って感じで手を動かしていました。 少なくとも俺自身はこれだけでも楽しいと思える感性があってありがたいですね それにしても懐かしい しかしなんだ井戸型ポテンシャルは深さが無限の簡易バージョンでも結構めんどくさいですね 最近体力も落ちてたので自転車にまた乗り始めたんですが ダラダラしてたらこの計算すらやる体力がなかったかもしれません
Excel 金さん
中村U1さん「俺はかーなーり強い！」仮面ライダー蔵王(CLANNAMA) ザ・オウってね 電王 ジオウ クラナド てめえらCPTついてんのかぁー！？(挨拶) 「CP対称性の破れ」っていうじゃないですか。 CPの破れはT(たま：時間)対称の破れだよーって。 じゃあそのうちのC(ちん：荷電共役)反転単独とP(ぽこ：空間)反転それぞれはどれくらい破れてるんでしたっけ？ ってふと思ったわけでして。 wikiるとまあ出てくるんですが、結構よく読まないとわからない感じだったので パッと見てわかるようにこれ作ったんです。 まず、 P反転もC反転も、大きく破れているんです。 ですが、CP反転の破れは小さいんですね。 この様子をパッと見てわかるようにするためには と思って用いたのが、3次元P反転の、それぞれの軸反転です。 ちょうどいいことに、C、P、T反転それぞれで3軸あるので、たとえにはもってこいかなと思いましてね 俗に言う「鏡は何反転？」ってやつです。左右でも上下でもなく、手前と奥の反転なんですね まあ、とはいっても、「CPが破れていればTも破れている」ってのは CPT定理(ローレンツ対称性)が成り立っていればの前提なんですけどね。 僕たちの僕たちの刻んだ時だよ 片方だけ続くなんて僕は嫌だよ
前々からやりたいと思っていたことで、ある程度できてはいたものの 何度となく挫折して忘れていた企画です。 熱力学のp,V,T 3状態(エントロピーは除く) について、3Dの対数方眼紙と線形方眼紙で、回したり変形したりしてみたかったんです 今回のアプローチでは、3軸それぞれの展開図をまず描きました。 それで少し見えてきたのですが、この端っこを目印にして 線形目盛・対数目盛両方について、センタリングと縮尺の変更をすればいいのではないか と思えてきました。 そうすると回したときに見やすいかなと思いましてね あと、pV=nRTのnRはもう思い切ってnR=1としました。 それで、Vだけを変化させて、 そのVの変化は1オクターブ（2倍）、2オクターブ（4倍）の範囲内にして 曲線がわかるように、画素を1半音(約1.05倍)にしてみました。 その上でカルノーサイクルを選んでみました。 あとは4つの道筋の色分けと、目盛表示と軸の色分けくらいでしょうか。 ところで カルノーサイクルのほかにも熱機関には代表的なものがあと5つあり 合わせて6つあります。 ・オットーサイクル：断熱・定積 ・ブレイトンサイクル：定圧・断熱 ・ディーゼルサイクル：定圧・定積・断熱 ・カルノーサイクル：断熱・等温 ・スターリングサイクル：：等温・定積 ・エリクソンサイクル：等温・定圧 4つのうち2つの状態を固定するパターンは4C2で6つありますが そのうち定圧・定積の組み合わせだと熱から仕事を取りだせないようで ディーゼルサイクルだけが2つではなく3つの量を固定したサイクルになっています。 4C3だとパターンは4つなので、ディーゼルのほかの残りは ・定積・断熱・等温 ・定圧・断熱・等温 ・定圧・定積・等温 ですね。この3つのうちどれかは、定積・定圧の組み合わせのように機能しないパターンもあるかもしれませんね。 また、動くための最低限の数が2つなので、 わざわざ2つではなく3つの状態を固定するなどという方法は ディーゼル以外ではあまり実用的ではないのかもしれません。 定積・定圧・断熱・等温全部載せなんてもってのほかでしょう あ、でもそういえば、サイクルであればいいのだから 頂点が5つ以上でもいいのかもしれませんね！ 定積・定圧・断熱・等温・定積・定圧・断熱・等温の8角形とか アホみたいに実用性は低くなりますが(笑) ああ、あと 道筋が3つ(歪んだ四角形ではなく三角形)という分類もできるかと思います。 たとえば 定積・定圧・断熱 や 定積・定圧・等温 など
振り子の運動方程式
y''+(2π)^2*y=0 の微分方程式を解いた際、 時間tを変数とした関数y=A*exp(2πit)+B*exp(-2πit)の (A,Bは任意の定数、複素数も可) 初期位置y(0)=exp(i*d1) 初速度y'(0)=exp(i*d2) とした場合(d1,d2はともに実数、iは虚数単位) d1-d2=nπ/2のnが奇数だったら円偏光っぽい振り子 偶数だったら直線偏光っぽい振り子 そのほか(nは実数？)だったらだ円偏光っぽい振り子となる ようです ファミマでガリガリ、久々に解析計算をしました。楽しかった。 今日100均で買ったペンとノートは車に乗せておこう
ロドリゲスの回転公式は以下のようなものだった。
行列指数関数の中身Rが歪エルミート、とりわけRの中身が実数つまり交代行列なので、 できあがる行列指数関数Mそのものは、ユニタリ行列となる。 それも、 「Mの行列式の絶対値」abs(detM)=1 ではなく 「Mの行列式がそのまま」detM=1 1になるので、「特殊」ユニタリと呼ばれる。 この行列が物理的にどのように意味しているかは、「任意軸の3D回転」と思えばいい ある3次元のベクトル(x0,y0,z0)があって、その長さをθとおくと θ^2=x0^2+y0^2+z0^2となるので (a,b,c)=(x0,y0,z0)/θ と定義すると、この(a,b,c)は(x0,y0,z0)と向きは同じで、長さだけが1に揃えられた、 単位ベクトルとなる。 この単位ベクトルを回転軸とし、 θの角度に比例した回転をさせる それが、ロドリゲスの回転公式の意味するところだ。 じゃあ、この行列Rが交代行列ではなく、実対称行列だったらどうなるだろうか？ 複素行列でいえば、 「行列指数関数の中身が歪エルミート行列ではなくエルミート行列だったら？」 という意味である。 歪エルミート行列はエルミート行列に虚数単位iを掛け算することで作りだせるので 言ってみれば、行列板の実数がエルミート行列で、純虚数が歪エルミート行列といえよう。 純虚数が中身の指数関数はオイラーの公式から、複素平面での単位円状にある複素数であるといえるし 実数が中身の指数関数は、単に実数であるといえる。 これが実は 行列指数関数にも同じ理屈が通用し 中身Rが歪エルミート行列だったら行列指数関数Mそのものはユニタリ行列となり Rがエルミート行列だったらMもまたエルミート行列となる。 ただし、「特殊」がつくユニタリ行列は、abs(detM)=1だけでなく、detM=1がそのまま通用する。 特殊ユニタリ行列では、Rのことを生成子と呼ぶ。 このようなことが、歪エルミート行列ではなく、エルミート行列を中身(生成子)にした 行列指数関数でいうことはできないのだろうか？ 実はこれが可能であり、 この物理的な意味は、特殊相対論のローレンツ収縮と同じものとなる。 このような、4次の対称行列を考え、生成子として行列指数関数に入れる。 a^2+b^2+c^2=1のように規格化されている場合、 以下のような式が成り立つ。 expR=E+Rsinhθ+R^2(coshθ-1) 上に書いた式とこの式2つは、いわば実数行列版のオイラーの公式である。 Rが規格化された歪エルミート行列の場合、R^3=-Rとなり Rが規格化されたエルミート行列の場合は、R^3=Rとなる。 前者はマイナスRで、後者がプラスのRであることに注意してほしい。 また、1本目のオイラーの公式は三角関数であったのに対し 2本目のオイラーの公式は双曲線関数になっていて カッコ内が(1-cosθ)から(coshθ-1)と、符号が変わっていることにも注意してもらいたい。 R^2が虚数単位の2乗のように効いてきているのである。 よって、 このように書けて、detM=1でありかつ、実対称行列でもあるMが生成される。 いわば「特殊」エルミート行列といった感じである。(群ではない) この行列は特殊相対論のローレンツ収縮を意味しているといったが、具体的にいうと このように、4次元のベクトルに掛け算すると、任意軸方向に伸び縮みする空間、と時間 を表現することができるわけである。 伸縮のためのベクトルがそれぞれ(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)のときを想像してもらうとわかる通り、 それぞれx、y、z軸方向のローレンツ伸縮の公式になっていることがわかると思う。 もし、これを相対論関係なしに、空間での伸縮だけに用いたいときは簡単で 4次行列をトリミングして、右下だけの3次行列を用いればよい。 しかしこれでは、coshθ≧1なので、正の伸縮にしか使えなくて不便であるし θの物理的意味がピンとこないのも不便だ。 そこでcoshθ=Hとおいて、Hを伸縮倍率とし、 H<0も許容してやれば、実は万事解決する。 ところで、H=0のときに何が起きるか 実は伸縮「ゼロ倍」が起きている。つまり、伸び縮みする方向にだけ、厚みが消えるのである。 余裕があったら、この式のaやbやcだけを1にして、Hも負数やゼロにして この式の意味を確かめてみてほしい。 このように 純粋にx,y,z軸それぞれの方向への伸縮になっているはずだ。
ハンドスピナー スピノル かばんちゃん隠し芸シリーズ けものフレンズ MMD
かばんちゃんモデル：schwarz様 現代物理、特に相対論と量子論の両方が絡んだ素粒子物理・理論物理界隈に テンソルという名前の数学がありまして どうも、ベクトル・スカラー・テンソルと並ぶもののようなんですが 厄介なことに数学を使わないでイメージするのがとても困難なようでして 竹内薫さんのツイスター理論のブルーバックスなんかだと 苦肉の策みたいな感じで、この「ウェイターのトリック」を例に出して説明してました。 ベクトルの平方根とも呼ばれるこのスピノルというものは その名の通り、2階のテンソルである行列よりも1階のテンソルであるベクトルよりも階数が低く なおかつ0階のテンソルであるスカラーよりは階数が高い １／２階のテンソルと呼ばれることもあるそうです。 だからなのか、元に戻るのに１周ではなく２周必要らしく それを体現したのが「ウェイターのトリック」らしいんですが、このトリックの名前の知名度があまりにも低いので、けもフレブームに乗っかって知名度を上げてみようかなとか思ってかばんちゃんに隠し芸をしてもらいました。 スピノルを習った人には、もしかしたらこの例を知りながら名前をしらない方もいるのではないでしょうか。「ウェイターのトリック」です。 盆やコップを落とさずに手を回転させて元に戻す方法だそうで。 よかったらこちらもあわせてどうぞ 金太郎飴がきびだんごみたいに柔らかかったら、メビウスの輪を９０度だけ回してひっつけられるよねって図です 側面４面が１つになってます １３：５９追記
キタキツネ「こんにちは、私は天才ゲーマーLです。」
けものフレンズ 仮面ライダーエグゼイド デスノート ラブライブ 紅白歌手 キタキツネ モデル：へな羊様 例の顔モーション：だんぶち様 それはさておき 先日のこれね、 こういうことらしいです。昨日寝る前に思いついて、でもメモる気力なく寝ちゃったんですが 今日まで覚えておけた俺GJです まあ、ここでの交換関係の役割ってベクトル積ですよね。 もし一時停止して計算してみたい奇特な方がいらっしゃったら、 pixivのほうへどうぞ＾＾クリックで止めることができますよ 3次元2つの組に分解できるってこういうことですかねえ？
pixivにあげたのとほぼ同じことを書きます。悔しいけど。
4次行列のエルミートで単位的なやつって、この15個じゃないすか。 これが特殊ユニタリ群SU(4)の生成子なんですけど そのうち、純虚数だけでできたやつだけ抜き出すと、この6本だけになりますよね。 これが特殊直交群SO(4)の生成子になります。 4次元空間の回転を表す種です。種というか軸というか。 独立な回転軸が4C2=6本あるわけですね。 4種類のx軸がある4次元空間で i番目のx座標と、j番目のx座標でできた平面内を回転するものをσijと定義すると -iのついているのがi行目とj列目といった感じで理解可能です。 そうやって名付けていくと σ1→σ12 σ4→σ13 σ6→σ23 σ9→σ14 σ11→σ24(じゅういち→に・よん) σ13→σ34(じゅうさん→さん・よん) ただし、σ13だけは、σ4=-σ13=σ31として定義します。 これは何のためかというと 12→23→31→12・・・といった風にレビチビタ的に回ってほしいからです。 マッチ・ライター、厳禁(ロジックWC)が ラッチ・タイマー、厳禁(ロジックIC)になる感じのアレ それから、 σを3つずつ2組に分けます。 添え字に4が入ってるやつと入ってないやつです。 グループL σ12 σ23 σ31 グループM σ14 σ24 σ34 またしても添え字を定義しなおします。 グループLの添え字の変更ルールは 「入ってないものを添え字にする」 1～3までしかないので、たとえば12だったら3が入ってないし 23だったら1が入っていないので σ12=L3 σ23=L1 σ31=L2 となります。 グループMの添え字変更ルールは 「1文字目を添え字にする」これだけですので σ14=M1 σ24=M2 σ34=M3 となります。 あとは、6つの行列に-iを掛け算すれば準備は完了です。 つまり -iσ12=L3 -iσ23=L1 -iσ31=L2 -iσ14=M1 -iσ24=M2 -iσ34=M3 というわけです。 さて、この交換関係は次のようになります。 [L1,L2]=iL3 [L2,L3]=iL1 [L3,L1]=iL2 [M1,L2]=iM3 [M2,L3]=iM1 [M3,L1]=iM2 [M1,M2]=iL3 [M2,M3]=iL1 [M3,M1]=iL2 もちろん、交換関係ですので、左右を入れ替えると符号が反転します。 これをまとめるとレヴィ・チビタの記号(エディントンのイプシロン)を用いて [Li,Lj]=iΣ(εijk・Lk) [Mi,Lj]=iΣ(εijk・Mk) [Mi,Mj]=iΣ(εijk・Lk) となります。 2次の2ペアに分解、までたどり着けませんでした・・・＞＜ 2つのSU(2)あるいはSO(3)に分解されるんだそうです。
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プロフィール
ＨＮ：
量子きのこ
年齢：
43
ＨＰ：
性別：
男性
誕生日：
1981/04/04
職業：
WinDOS.N臣T
趣味：
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介：
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます 例：H→7番目、XP→15(P)×26＋23(X)=413番目。 A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいｽﾞｺｰ
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