行列力学？の上昇演算子っていうんでしたっけ？

なんか2年ぶりくらいになるような気がするこの計算。
前回もろくに途中経過書けてなかった気がするので、一旦初心に戻ったつもりで
この知識が当たり前になる前に書き上げたい。

色々デジャヴると思いますが堪忍な。

まず、そうですね、放送大学で初めて、具体的な行列力学っぽい計算例を見た気がするんですけどね


最初は状態が3つある角運動量の話だったかと思います。

こんな感じの列ベクトルで、この3つの数字の枠どれか1つに1があるんですが、

ある状態の角運動量を1つ分だけ持ちあげる角運動量演算子をL+と書き

一番下の底辺だったら真ん中に、

真ん中にいたら一番上に、

一番上にいたら空の状態にする(この空の状態は存在しない)

このような演算子をL+と定義します。


カッコの中、1列に数字が並んだものを列ベクトル
行と列に渡って2次元に配列されているものを行列と呼び、
(1行のものを行ベクトルまたは単にベクトルと呼びます)
ベクトルや行列は掛け算ができます。詳しくは行列の積を参照してもらうとわかりますが、
行列同士の積は一般に交換法則が効かず、列・行ベクトルと行列との積は、場合によっては定義できないこともあります

演算子は、状態の左から掛け算することが多いです。


ここで、3つの状態を横に並べてみると、単位行列Eになることが分かります。


単位行列Eにある行列Aを掛け算すると、左から右から掛け算どちらでも、結果がAそのものになるので


一番上以外、1つずつ上に状態を上げる演算子をL+と考えれば、

L+は、変化させたい行列そのものであると考えることができ、導出が簡単です。



それでは、状態を1つずつ下げる演算子L-を考えてみてください。

コレの、1を1つずつ下げて、一番下の行(一番右の列)はすべてゼロにする演算子です。



そうですね、この感じで「ゆっくり説明するブログ」の方針で行ってみましょうか。
最近はあまり体力がなく、ご飯を食べるとすぐ眠くなってしまうので、あまり記事に力を入れられそうにないので、一度に膨大な量書くのは避けようと思います。


係数の話はおいおい。