角運動量行列の交換関係とか対角化とか係数の話

前回までのあらすじ

状態が3つある行列力学？で、角運動量の上昇演算子？L+と下降演算子？L-を定義しました。





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さて、この2つの演算子から、角運動量のx成分Lxとy成分Lyが求められるらしいです。
どういう原理なのか今なお僕自身理解できてないのですが、なんか計算できるらしいです。


という式があるらしいので、exp(±)からsinとcosを導出するノリで式変形するとLxとLyは以下のようになります。

本当は初めから係数をつけるべきだったのですが、ここからいきなり係数Aを付けさせてもらいました。


それから、角運動量Lのz成分であるLzとは、このような関係があります。
[Lx,Ly]=iLz

これは、x,y,zをy,z,xやz,x,yに置き換えても言えるので
[Ly,Lz]=iLx
[Lz,Lx]=iLy

となります。

ただ、x,y,zの順番で成立するのであって、逆回りつまりx,z,yやz,y,x、y,x,zでは符号が逆になって
[Lx,Lz]=-iLy
[Ly,Ly]=-iLx
[Ly,Lx]=-iLz

となります。詳しくは、レビチビタ記号を参照ください。

また、[,]は交換関係と呼び、たとえばAとBという行列であれば
[A,B]=AB-BA
と定義されます。

普通の数では交換法則があるので一般に交換関係はゼロに保たれるのですが
行列の積あるいは微分演算子が絡む場合などでは交換関係は一般に成立しません。

特に、AとBが物理量の場合、量子力学において交換関係がゼロでない際は不確定性原理が効いてきて、物理量A,B両方の精度を一定以上上げることが原理的にできなくなります。
(※将来的に、小澤の不等式も絡んでくる可能性は低くないと思います)


話を元に戻して、LxとLyの交換関係を実際に計算してみますと



実は
Lzというのは量子化された数で対角化されるはずなので
A^2/2=1であるべきで、A=√2であることが求められます。


つまり

が本当の姿だったのだ！