電子雲の経度方向波動関数について

時間に依存する水素原子様の電子殻の波動関数
極座標のラプラシアンで表すとまずこうなって



時間と空間の変数分離のために波動関数Ψで両辺割り算するとこう


変数分離をするとこう

まずは時間と空間の微分方程式が分離できて


さらに動径方向と2種類の角度θ、φに分けるとこう

(最初とここのrの意味合いが異なるのでごめんなさい、最初らへんのrは3次元空間ベクトルとしてのrで、ここでのrは動径方向のスカラーとしてのrです)



さらに、2種類の角度θ(緯度)とφ(経度)について分離して

緯度θに関する微分方程式はこうなんだけど

それはおいといて


経度に関する微分方程式は、めっちゃ初歩の微分方程式でコレ


いわゆるひとつの定数係数の同次2階微分方程式

ただし、B2が正か負かで振る舞いが全然違ってくる。

波動関数U6が指数関数になるか三角関数になるかくらい違う。

指数関数だとたぶん発散するから成立しない。
exp(imφ)みたいな形になるはず
おそらくこの制限が、磁気量子数mが「いくつまで」ってやつだと思う。

あとはmが離散値を取る話だけど、これはたぶん境界値問題かな。
ぐるっと360度回って連続じゃなきゃならないから、そこで離散の制限を受けるんだと思う

それで、このwikipediaのΦ(φ)だけど、複素数になってるのはたぶん微分方程式として計算しやすいからだよね。
振り子の問題の変数が時間tじゃなくて角度φになっただけの話だから
角度φにしても距離xにしても、時間みたいに初期値(0F微分)と初速度(1F微分)の初期値問題じゃなくて
0階微分同士の境界値問題になるんだけどね

振り子の微分方程式を解く際に

Aexp(iωt)+Bexp(-iωt)
を
Acoswt+Bsinwt→Acos(wt+d)　(量子を人間が観測する際は位相は割りとどうでもいい)

ってしたやつ
あのexp(i)のやつが複素数だから、解を実数にするようにAとBが都合のいい複素数(複素共役)になってくれるやつね

たぶんそれだ


これで経度方向の波動関数の規格化は理解できたとして
あとは緯度方向の波動関数の規格化をどうやってんのか探らなきゃいかん。

動径方向がラゲールで、緯度方向がルジャンドルの陪関数だっけね
自作で数値計算したいんだよね～


ルジャンドルの関数(多項式)が、まるで水素原子を一旦球面の極座標にしたあと
高さzに関する円筒座標の関数P(z)に戻してるってのが個人的に興味深い

緯度のルジャンドルに関して-1から1まで、経度に関しては0から2πまで積分して規格化をするらしい
緯度は高さzだと-1から1だけど、θで言えば-π/2から+π/2ね
あれ？基準どこだっけ？
昼間地球儀のこと考えてたから0度を赤道に考えてたけど
量子力学の流儀だと確か、真上(原子の北極)が0度じゃなかったっけ？いや南極か？