角運動量の代数、状態の数を3つから5つに増やしてみました

前回のあらすじ

状態が3つある角運動量の代数(行列力学？)の上昇演算子？についてる√2のルーツを探りました。


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今回は状態を5つにしてみます。つまり、5行5列の行列が計算対象になります。

上昇演算子？は以下のように

下降演算子？も以下のように定義されます。


A,Bはあとで定まる未定の定数です。


L+=Lx+iLy
L-=Lx-iLy
の式から、LxとLyを求めると、以下のようになるので

[Lx,Ly]=iLzからLzを求めます。

LxLyとLyLxはそれぞれ

このようになりますが、あとで引き算すると、非対角成分はどうせゼロになるので、計算は省きます。

この対角成分が固有値、つまり2,1,0,-1,-2になってほしいので、そうなるようにAとBを定めます。
A^2=2*2=4
-A^2+B^2=2*1=2

A=±2なので
-4+B^2=2
B^2=2+4=6
B=±√6
と定まりました。

つまり、

が本当の姿だったのだ！


これの便利なところは、同じ種類に属するLx,Ly,Lzは固有値が共通ということです。
つまり、Lzで固有値が0,±1、±2とわかっているので、
LxとLyの固有値も、0、±1、±2と、わざわざ5次の行列式を展開して、
5次方程式を解かなくてもわかってしまうのです。
なんなら5次方程式も、λ(λ^2-1)(λ^2-4)=0と、因数分解した状態で逆算できてしまうので
展開してやれば方程式が算出できます。


Lxの固有値方程式にいきなり固有値をぶち込んでExcelに計算させたのがこちら
(あ、λの符号が…ｱｯ…ｱｯ…ﾏｱｲｲﾔ！)

同様にLyもExcelで計算可能です。
ただ行列の中身に虚数単位を掛け算してるだけなんで、それを抜かせば実数行列として計算できますよ