水素原子の電子雲ジェネレータ＆ビューア完成！

退屈なおうち時間の合間に楽しんでもらおうと思って、ようやく完成させました！
水素原子様の電子雲、ジェネレータとビューアです！
(何十年越しの夢だったろう…自粛期間はすぎましたが、とりあえずまた計画を立ち上げられてよかった…！)




ExcelファイルDLはこちらから！ 

ｓ

なんとなくシュタゲをヨイショする日

ドクターペッパーが最近うちらの町のコンビニでも売られている
前から気になっていた、「1885年から」の文字。

バック・トゥ・ザ・フューチャーでドクター・エメット・ブラウンがデロリアンごと雷に打たれて飛ばされた時代

彼が誰かから聞いたレシピでドクターペッパーを発明していたら、その設計図は円環の理に導かれて情報が無から生まれてしまう。


なんてことを幾度となく妄想したものの、ドクターペッパーとBTTFの相性は世間にはほとんど知れ渡っていないようだ

そもそも、BTTFはコーラを割りと出していた。ペプシだかコーラだかはよくわからない


BTTFなどのタイムマシンものを元にしつつ
洗練した作品の1つにシュタゲがあって、ドクペの悔しさに目を付けたのかどうかは知らないが、シュタゲの主人公はドクペが大好きである。

ミスターブラウンという人物も出てきており、この辺の配役については鳥肌が出るほど実によくできている。

BTTFが1980年代のタイムマシンものの集大成とするなら
シュタゲはそれをさらに洗練した、2000(2010)年代のタイムマシンものの集大成と見てほぼ間違いないと思う


（今覚えている人はあまりいないかもしれないが、サマータイムマシン・ブルースもいい線いってたと思う。どうして商品の宣伝みたいな部分が多いのかが不思議で、フジテレビ系列でしか放送できないみたいなのがちょっと残念）

ラゲール備忘録

差分方程式化。

ずっと前だったから忘れてたけど、なるほどルジャンドルよりラゲールの方が簡単な気はした。
先にラゲールに手を出して正解だったようだ。


変数ρ(r)の範囲は0から40まで。刻み幅は0.02だとまだちょっと発散するから
0.01にすれば収まりそう。4000行使うことになるが
そうすれば、入力規則で量子数を整数に縛れる。




・関数直交判定ツール
・ルンゲクッタによる容量圧縮
・入力規則のアピール
・変数関数変形動画

ルジャンドル陪多項式の検算

まずいきなり訂正です。
またしても同じ式を訂正することになってしまいました…。
昨日の訂正日記


sqrt(sumsq()*dz/count())

と書いていましたが、正しくは

sqrt(sumsq()*dz)

で、個数で割って平均を取るというのが間違っておりました。
てっきり実効値とまったく同じものと思いこんでいたらしく、いつからそう思っていたのか謎です


この間違いが見つかったのは今さっき解析解と照らし合わせていたときのことで、正しく計算しますと、このように解析解と数値解はほぼ一致します。
量子数lとmが大きい場合は、おそらく刻み幅dzを細かくとらないと一致しないのではないかと思います

またしても訂正です。

さっきの日記の規格化の式が間違っておりました。



=sqrt(average())
とか
=sqrt(sum()/count()) とかでいいです。
（ぶっちゃけ=sqrt(sumsq()/count())


ではなく


=sqrt(average())
とか
=sqrt(sum()*dz/count()) とかでいいです。
（ぶっちゃけ=sqrt(sumsq()*dz/count())

dzをしっかり掛け算して、積分(あるいは和を取る)してください

ルジャンドル陪多項式の偶奇と規格化

きのうの続きですが、訂正があります。

この図の2番目の関数Pの初期値ですが、if(E7=0,0.01,1)ではなく
正しくはif(E7=0,1,0.01)でした。



さて、z=0からz=1まで入力していきますと
たとえばl=m=1ですと、以下のような感じになります。



これを、負のzにも拡張しましょう。
偶関数の場合は、負の変数zでの関数Pの振る舞いは
P(-z)=P(z)ですし
奇関数の場合は、
P(-z)-P(z)なので、

z=1の下に以下のように符号反転したzを並べて

先ほどと同様にl+mの偶奇に合わせて、関数の偶奇を決めます。
つまり、l+mの偶奇のセルであるE7セルに応じて、zがプラスの0.05の関数Pの値を符号反転するかそのままか分岐させて、順番にコピペしていきます。
(絶対参照などにご注意ください)



そうして、いちおうの関数が出来上がってきました。
たとえば、l=m=1の偶関数ならこうで

l=1、m=0の奇関数ならこのような感じになります




最後に、規格化をします。
これは、ある範囲の中に、粒子のいる確率が総合して１００％になるようにするものです
5月20日の日記を参考にします。

（絶対値の）2乗を取って範囲内で積分したものが１になればよいので、

このような列を設け、みなさん大好きなsum関数で和をとり
データの個数で割って平均を取ってから、その平方根を取ります。(電圧の実効値RMSと一緒です)
=sqrt(average())
とか
=sqrt(sum()/count())
とかでいいです。
（ぶっちゃけ=sqrt(sumsq()/count())もありですが）

この値が、規格化定数となるため、算出した関数をこの定数で割ると、規格化されます。

ルジャンドル陪多項式をExcelに実装してみよう！

おとといの続きです。
ルジャンドル陪多項式を数値的に算出してます。


dz=0.05と定め、とりあえず量子数lとmをl=m=0としておきます。


z=0から始めて、z=1までdzだけ増えるようにしてみます。



それから、関数の偶奇を決める項目を設けます。
このルジャンドル陪多項式は偶関数か奇関数しかありません。
偶関数だったら0、奇関数だったら1となるように、量子数mの下に0か1の数値を入れます



関数Pの偶奇が反映されるように初期値を2つ決めます。
位置に関する2階微分方程式なので初期条件では変なのですが、境界条件は計算しづらいので
偶関数か奇関数しかないことを利用して、初期条件のように計算しています。

実は、量子数lとmの和の偶奇が関数の偶奇に関係してくるので
=mod(l+m,2)と入力してしまいます
2で割った余りを意味しています。


さらに、1-z^2が頻出するので、関数Pの右隣に1-z^2の列も作っておくと便利です

そして、3つ目の関数Pから、計算開始です！

この式を入れますが、

3番目のPの式に代入する1-z^2やzに3番目ではなく2番目のzの値を参照しています。

僕も今これに気づいたのですが、3番目のPに3番目のzを参照するより、2番目のzを参照するほうがグラフの見た目が綺麗だということに気が付きました。
そして、こうすることで、z=±1のときの1-z^2、つまり0除算を直前で回避することができるようです。


これをz=1まで続けると、ルジャンドル陪多項式の半分ができあがりです。

相対・絶対・複合参照にお気を付け下さい

ルジャンドル陪多項式を数値計算で算出してみよう！

水素原子様の波動関数の一部である、球面調和関数の
緯度方向に関する微分方程式


を解くと、ルジャンドルの陪多項式が得られます。


これを、数値的に解いてみることにします。


まず、上述の微分方程式を差分方程式に変えます。
zの関数P(z)のzによる1階微分は

このように色々定義できますが、2階微分との絡みがあるため、今回は3つ目を採用しようと思います

また、2階微分のほうは

このように差分化されますね。


これを踏まえて微分方程式を差分方程式として解いていってみましょう

元の式はこのようになり

今回はP1とP0を初期値として与えてP2を求めるようにしたいので、この式をP2の式に変形します。





今日はおねむなんでこの辺で。
発散項どうにかならんかなぁ
そもそもの微分方程式の両辺に1-z^2をかけちゃったらどうなるやろか

ルジャンドル攻略wiki

家族のことを考えるたびにイラついてまったく創作意欲が出なくて申し訳ない


ルジャンドル陪多項式に関しては関数の偶奇も、発散・収束の判別も全部ネタバレ攻略サイトを見ながらの数値計算になってしまった。

ラゲールの陪多項式のときはまだ、発散・収束は考慮に入れられてたんだけどなあ
(関数の偶奇はネタバレ見てた気もする)

まず俺のブログを見るためにパソコンを買え

ところどころ白背景で隠すときがある
時代に俺は合わせない
ついでに動作確認しないことも宣言しておく
(だるいもん。多種多仕様なんてそんなもんホビロン　YOヒ゜。゜ヒ)

隠された文字を読みたくば、騙されたと思って本当に騙されながら
パソコンを買え

また2日BOSEにしてしまった

というのもね、ここの無料サーバの残り容量がね、いくつだっけ
残り69MBしかないんですよ。



そんな中、gif動画をバリバリ貼り付けていたらすぐに使いきっちゃうし
更新しなければ永遠に使いきれないじゃないすか


遠くない未来に適度に使いきりたいんです。
それでほかのブログかなんかに引っ越したりしてみて
それでいてここのブログにはテキストのみ毎日くだらない1文字2文字くらいとか投稿して
「主は放置しました」広告を出させない！


そういうことしたいんです。当面の夢です


だから、静止画が適任だとは思ってるんですよね。

gifが必要にもなるとは思うんで、どこかのサーバ借りようかな
できればまだゴーストタウン化しなそうなSNS、ピクシブはまだ町としては生きてるんだろうか
というかピクシブに貼ったところで会員以外も見れるのかいまだによくわかってない


ちょっと今から実験してみますね
共有とかのボタンどこいったんだ？
pixiv「球面調和関数の世界地図」
これだとどうなるん？（作品URLにじかリン）

＝＝＝＝＝＝＝
追記
今回のイラストはともかく、前回のイラストはログインしてない人でも見れるっぽい
(興味を持ってクリックするかどうかは別として)

セキュリティ上は大丈夫そうだけど、センシティブな可能性ってなんだよ
直前のうごイラは大丈夫で今回のがダメってなんやねんふざけんなしｗｗｗｗｗ
割りと不可解に思ってるユーザーさんがいるみたいねー
ツイッターの凍結とかと同じような理屈かなぁ
しょーがねえなあこれだからヒューマギアは（あまつめし

おわり

球面調和関数の世界地図

3日くらい坊主にして申し訳ない！

球面調和関数の世界地図の進捗はこれです！
l=3、m=2の例
上下が緯度、中央が赤道で、左右が経度

まだルジャンドる前の緯度方向微分方程式を差分に

変数θとθの関数Θが紛らわしいので、ここからはFという名前にします


内側から順に、微分を差分にしていきます。


差分化はここで完了です。

あとは、F2の式に整理するだけです。


以上です

ルジャンドル陪関数の規格化

ルジャンドル陪関数P(z)を微分方程式から数値計算で算出したんですよ。

wikiに書いてある方法だと、一旦zの関数P(z)として出すんですけど
(zは電子の回転軸z軸の変位みたいなもんです)

規格化するときに解析的な書き方だと、z=cosθとしてからP(cosθ)の2乗を取って
さらにsinθを掛け算して積分するんです。



どうにかしてdzかdθかどっちかに統一したくてですね

じゃあ規格化の積分のときにdθをdzに置換すればいいじゃないかってなりまして

z=cosθなので、dz/dθ=-sinθですし、
θ=0の場合はz=1、
θ=πの場合はz=-1なので


この当たり前の式たったこれだけになるんですよ。
なぜか掛け算してたsinθがきれいさっぱり消えるんです。



＝＝＝＝＝＝＝
ただ、こういうアプローチもいいんですが、
ルジャンドル陪関数を導出する微分方程式

が、z=±1で発散してしまうので、できればジワジワ近づけたいんですよね。
でも微小量を変化させるのは面倒くさいなあと。

だったらdθ使えばいいんじゃね？
ってなりましてね、
さすが人類の叡智の結晶と言いましょうか
原子の緯度の基準を赤道ではなく北極に取った神采配と言いましょうか
dθは固定のまま、θ=0,π付近ではじわじわと発散ポイントに向かってくれるわけですよ


じゃあその、ルジャンドル陪関数を求める微分方程式の
変数がzじゃなくてθのやつはどこにあんの？


探しだしましたよ昨日の寝る前に！(スクショしといてよかった～)
球面調和関数のページの「Y(θ,φ)の意義」の項目のですね
折りたたまれてる「証明」のところを開くと


(kは方位量子数lに読みかえ可能です)
っていう元々の微分方程式があるんですよ！

数値的にはこちらを解いても何の問題もないため、これを直接解くことで
発散ポイントであるz=±1(原子の北極と南極)を精度よく算出することができるはずなんです

そのあと、規格化の際にもθで規格化が可能なのです

球面調和関数の2重積分

あんまりブランクが長いんで、勘違いしてたことがありましてね

たとえばここのdzx軌道の波動関数で、球面調和関数Θ(θ)Φ(φ)の極座標表現が

Θ(θ)Φ(φ)∝sinθcosθcosφ

って傾向があって、規格化定数を求めるとしますよ


波動関数の2乗を取って、sinθを掛け算して2重積分するじゃないですか。

僕は何を血迷ったのか、θに関する積分とφに関する積分が積になっているので、部分積分が必要なんじゃないかとかわけのわからない勘違いをし始めましてね
そもそも2重積分の2要素って、足し算じゃなく掛け算でしか結合できないのに、何を考えているんだ自分？ってなったんですよ。


しかも、わざわざ変数分離してんだから、これは2重積分なんてもんじゃなくて
θに関する積分とφに関するただの積分の積に分けることが可能じゃないですか。
なにやってだアホーって感じですよ




今はちょっと、ルジャンドル陪関数が数値的に解けてきたので、これを規格化する準備をしています。
解析的には変数をtという回転軸方向の変位に一旦直して、半分くらい円筒座標系みたいな感じにしてから、tをcosθに置き換えて、最終的にcosθの式にしてからcosθで積分して規格化するんですけど
数値計算だったら、そもそも微分方程式を解く際に変数はtである必要なくね？
って思ったので、その辺も考慮に入れる予定です。変数をcosθにしたまま、dθで微分した微分方程式でも解けるんじゃないかと企て中です