私はあと2回コピペネタを残しているｗｗｗｗ(2p軌道)

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係数を無視して、球面調和関数の
Y=sinθcosφ
と
Y=sinθsinφ

先日はpzをやったので、今回どちらがpxでどちらがpyなのか。


球面座標系の定義から見ていきましょう。
pzはz方向にタマタマが2つあったので、pyはy方向、pxはx方向にタマタマが2つ並んでいると予想できます。
ですので、φ=0で|Y|=1になるほうがpxで、もう一方がpyなのだと仮定し、計算を進めていきましょう。


Y=sinθcosφがpxだとすると、これを

x=|Y|sinθcosφ
y=|Y|sinθsinφ
z=|Y|cosθ

に代入して


x=|sinθcosφ|sinθcosφ
y=|sinθcosφ|sinθsinφ
z=|sinθcosφ|cosθ


sinθcosφ>0のとき
(x-0.5)^2+y^2+z^2=0.5^2

sinθcosφ<0のとき
(-x+0.5)^2+y^2+z^2=0.5^2


となることを証明すればよい

どちらにしても


(x-0.5)^2+y^2+z^2=0.5^2
こうなるので、x,y,zを代入すると

(|sinθcosφ|sinθcosφ-0.5)^2+(|sinθcosφ|sinθsinφ)^2+(|sinθcosφ|cosθ)^2=0.5^2

(sinθcosφsinθcosφ-0.5)^2+(sinθcosφsinθsinφ)^2+(sinθcosφcosθ)^2=0.5^2

 
sinθcosφの2乗でまとめると
 
さらにカッコの中をsinθの2乗でまとめると
 
おわり


＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
はい次py

Y=sinθsinφがpyだとすると、これを

x=|Y|sinθcosφ
y=|Y|sinθsinφ
z=|Y|cosθ

に代入して


x=|sinθsinφ|sinθcosφ
y=|sinθsinφ|sinθsinφ
z=|sinθsinφ|cosθ


sinθsinφ>0のとき
x^2+(y-0.5)^2+z^2=0.5^2

sinθsinφ<0のとき
x^2+(-y+0.5)^2+z^2=0.5^2


となることを証明すればよい

どちらにしても


x^2+(y-0.5)^2+z^2=0.5^2
こうなるので、x,y,zを代入すると

x^2+(y-0.5)^2+z^2=0.5^2

(|sinθsinφ|sinθcosφ)^2+(|sinθsinφ|sinθsinφ-0.5)^2+(|sinθsinφ|cosθ)^2=0.5^2

(sinθsinφsinθcosφ)^2+(sinθsinφsinθsinφ-0.5)^2+(sinθsinφcosθ)^2=0.5^2



sinθsinφの2乗でまとめると



さらにカッコの中をsinθの2乗でまとめると


おわり