pzの球面調和関数が2つの小さなタマタマなのを証明する

小ネタしかないので今日のブログはブツブツしています


係数を除けば、Y=cosθなので、これを

x=|Y|sinθcosφ
y=|Y|sinθsinφ
z=|Y|cosθ

に代入すると


x=|cosθ|sinθcosφ
y=|cosθ|sinθsinφ
z=|cosθ|cosθ


cosθ>0のとき
x^2+y^2+(z-0.5)^2=0.5^2

cosθ<0のとき
x^2+y^2+(-z+0.5)^2=0.5^2


となることを証明すればよい

どちらにしても


x^2+y^2+(z-0.5)^2=0.5^2

こうなるので、x,y,zを代入すると

(|cosθ|sinθcosφ)^2+(|cosθ|sinθsinφ)^2+(|cosθ|cosθ-0.5)^2=0.5^2

(cosθsinθcosφ)^2+(cosθsinθsinφ)^2+(cosθcosθ-0.5)^2=0.5^2


cosθの2乗でまとめると


さらにカッコの中をsinθの2乗でまとめると


おわり