3次元水素原子様のパイロットウェーブ、つくりかた

2018年3月26日の、3次元井戸型ポテンシャルについてのブログを参考に、水素原子様の電子殻の、2p軌道の電子雲を描いてみました。


今回異なるのは、直交座標ではなく球面座標になったところです。
妥当な計算かどうかもよくわからないので、結果だけ表示するのではなく
途中の計算過程も公開しようと思います。


wikipediaの、水素原子様の波動関数のページを見てみると、長ったらしいページの途中に
具体的な波動関数が記述されているので、それを使います。


今回は2p、とりわけ2pzについて描画したので
動径方向の波動関数RはR2pを

(r：距離、a0：ボーア半径、Z：原子番号で、今回Z=a0=1とします)
球面調和関数Θ(θ)Φ(φ)は、表の2段目(l=1、m=0)の

(θとφはそれぞれ、wikiの「球面座標系」を参照してください
なので、φとθの範囲は0°≦φ＜360°、0°≦θ≦180°となります。
φとθの取り違えと、θの範囲にご注意ください。θの範囲は分野によっては-90°～90°のときもあります)


をそれぞれ用います。


さっそくExcelでの実装に移ってみましょう。

r=5*rand()
φ°=360*rand()
θ°=180*rand()
(rand()は0～1の一様乱数を返す関数です)

とそれぞれ入力し、1000行ほど繰り返します。
(rのrandに掛け算した5は、なんとなくです)

次に、φとθの単位を°からradに変換するために、pi()/180を掛け算します。

それから、これを直交座標系に変換します。
x=r*sin(θ)*cos(φ)
y=r*sin(θ)*sin(φ)
z=r*cos(θ)

なので、これを反映させます。


それではいよいよ、波動関数を実装してみます。
(PCユーザーの方は、図をクリックすると等倍表示に拡大されます)  
 
Rrには先ほどの

にrを掛け算したものを用い、

ΘΦにも先ほどの

この式を入力してください


それから、「確率」の列には
RrとΘΦを掛け算して、さらに2乗した数値を入力します
確率=(R*r*Θ*Φ)^2

そして、図の中央付近の列の、「判定」の列には
if(確率>0.5,1,0)
を入力します。

この「確率」の列には0か1のどちらかしか入らないのですが
1000行ほどある確率の列全体の半分くらいが1になるように、「確率」の列に適切な定数を掛け算して、調整してください。



このままだと、再計算のたびに乱数の値がうごくので、
x,y,z,判定の列を、「値のみコピー」して別のところに貼り付けます




そうして張り付けたのがこちらになります。

ここで、x,y,z,判定のラベルに、2つ以上の書式を設定してください。
今回は「中央よせ」と「太字」を設定しました。
こうすることで、並べ替えが行えるようになるので、「判定」を基準に降順で並べ替えると
以下のようになります。



この表の、判定が「1」となっている上半分くらいを範囲に、y-zをグラフ化してみると、
このようになります。(合ってんのかなあ？「2pz軌道　波動関数」とかで、特に「画像検索」の「アニメーション」を選択して検索すると、他の方の計算結果が参照できます)


回してみました1

回してみました2



合ってるかどうかについては、「一様乱数」界隈が気になりますね…


pixivのほうにもスクロール用を挙げておきました